2023-2024学年山东省威海市荣成市16校联盟八年级（上）期中数学试卷（五四学制）

这是一份2023-2024学年山东省威海市荣成市16校联盟八年级（上）期中数学试卷（五四学制），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）多项式﹣8x2y3z+12xy2z3﹣24x3yz2的公因式是（ ）
A．﹣xyzB．﹣8x2y3C．﹣4xyzD．﹣2x2y2z2
2．（3分）下列关于分式的判断，正确的是（ ）
A．当x＝2时，的值为零
B．无论x为何值，的值总为正数
C．无论x为何值，不可能得整数值
D．当x≠3时，有意义
3．（3分）下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A．＝
B．
C．
D．
4．（3分）如所示4个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）如图，在新型俄罗斯方块游戏中（出现的图案可进行顺时针、逆时针旋转；向左、向右平移），已拼好的图案如图所示，你必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整的图形（ ）
A．顺时针旋转90°，向右平移
B．逆时针旋转90°，向右平移
C．顺时针旋转90°，向左平移
D．逆时针旋转90°，向左平移
6．（3分）若k为任意整数，则（2k+3）2﹣4k2的值总能（ ）
A．被2整除B．被3整除C．被5整除D．被7整除
7．（3分）如图，边长为a、b的长方形周长为12，面积为53b+ab3的值为（ ）
A．60B．120C．130D．240
8．（3分）已知关于x的分式方程＝4的解为非负数，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣4B．a＞﹣4
C．a≥﹣4且a≠﹣1D．a＞﹣4且a≠﹣1
9．（3分）如图，《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株橡？（椽，装于屋项以支持屋顶盖材料的木杆），则符合题意的方程是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD＝a（ ）
A．90°+aB．90°﹣aC．180°﹣aD．a
二、填空题（共6题，计18分）
11．（3分）分解因式：2x2y﹣4xy+2y＝ ．
12．（3分）已知关于x的分式方程有增根，则a的值为 ．
13．（3分）已知，则代数式的值为 ．
14．（3分）如图，已知点A（0，4），B（2，0），C（6，6），D（2，4），连接AB，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为 ．
15．（3分）已知实数m满足m2﹣m﹣1＝0，则2m3﹣3m2﹣m+9＝ ．
16．（3分）如图，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在AC边上，将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，则∠ABD的度数是 ．
三、解答题：（共72分）
17．（8分）因式分解：
（1）﹣x3﹣5x2+6x；
（2）9（a+b）2﹣（a﹣b）2．
18．（12分）计算：
（1）；
（2）先化简：，然后从0，1，2，3中选择你喜欢的x值代入求值；
（3）解方程：．
19．（5分）已知，求的值．
20．（5分）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，5），B（﹣3，1）（4，0），请按下列要求画图并填空．
（1）平移线段AB，使点A平移到点C，画出平移后所得的线段CD ；
（2）将线段AB绕点A逆时针旋转90°，画出旋转后所得的线段AE，连接BE，EC，判断△BEC的形状；
（3）在y轴上找出点F，使△ABF的周长最小，并直接写出点F的坐标为 ．
22．（10分）材料阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，例如：这样的分式就是真分式．我们知道，例如：．类似地，即整式与真分式的和的形式，例如：
；．
请根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：①分式是 分式（填“真”或“假”）；
②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：＝ ．
（2）把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，这个分式的值为整数．
23．（10分）第22届国际世界杯足球赛于2022年11月20日至12月18日在卡塔尔境内8座球场举行．某体育运动专卖店采购员预测某款型短袖T恤衫能畅销市场，就用6000元购进一批这种T恤衫，由于市场供不应求，所购数量是第一批购进量的2倍，由于供货紧张
（1）该店铺购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是多少元？
（2）如果两批T恤衫按相同的标价销售，最后断码的50件T恤衫按五折优惠售出，要使两批T恤衫全部售完后利润率不低于80%（除去450元的快递费用）
24．（13分）阅读材料，解决问题：
（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为5，12，求∠APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中 ；
（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题，△ABC中，∠CAB＝90°，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，判断并证明线段BE，CF之间的数量关系．
2023-2024学年山东省威海市荣成市16校联盟八年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、单选题（共10题，计30分）
1．【分析】根据多项式的公因式的确定方法，即可求解．
【解答】解：∵多项式﹣8x2y4z+12xy2z3﹣24x7yz2中，
各项系数绝对值的最大公约数是4，
各项相同字母x的最低次幂是x，
各项相同字母y的最低次幂是y，
各项相同字母z的最低次幂是z，
∴多项式﹣2x2y3z+12xy2z3﹣24x3yz3的公因式是﹣4xyz．
故选：C．
【点评】本题考查了确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
2．【分析】分式有意义的条件是分母不等于0．
分式值是0的条件是分子是0，分母不是0．
【解答】解：A、当x＝2时，分式无意义；
B、分母中x2+7≥1，因而第二个式子一定成立；
C、当x+1＝4或﹣1时，，故C错误；
D、当x＝0时，分式无意义．
故选：B．
【点评】分式的值是正数的条件是分子、分母同号，值是负数的条件是分子、分母异号．
3．【分析】依据分式的基本性质进行变化，分子分母上同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变．
【解答】解：A、a扩展了10倍，a2没有扩展，故A错误；
B、符号变化错误，故B错误；
C、正确；
D、约分后符号有误，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了分式的基本性质．在分式中，无论进行何种运算，如果要不改变分式的值，则所做变化必须遵循分式基本性质的要求．
4．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：A、不是中心对称图形；
B、是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、不是中心对称图形．
故选：B．
【点评】本题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
5．【分析】在俄罗斯方块游戏中，要使其自动消失，要把三行排满，需要旋转和平移，通过观察即可得到．
【解答】解：由图可知，把又出现的方块顺时针旋转90°．
故选：A．
【点评】本题考查了生活中的旋转现象与平移现象，准确观察又出现的方块与已经拼好的空格的形状是解题的关键，要注意看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，难度不大．
6．【分析】先根据完全平方公式进行计算，再合并同类项，分解因式后再逐个判断即可．
【解答】解：（2k+3）8﹣4k2
＝2k2+12k+9﹣6k2
＝12k+9
＝6（4k+3），
∵k为任意整数，
∴（4k+3）2﹣5k2的值总能被3整除，
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的应用，能求出（2k+3）2﹣4k2＝3（4k+3）是解此题的关键．
7．【分析】直接利用已知结合完全平方公式得出a2+b2＝26，再将原式变形得出答案．
【解答】解：∵边长为a、b的长方形周长为12，
∴a+b＝6，ab＝5，
∴（a+b）2＝36，
∴a2+2ab+b8＝36，
∴a2+b2＝36﹣3×5＝26，
∴a3b+ab8＝ab（a2+b2）
＝6×26
＝130．
故选：C．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确将原式变形是解题关键．
8．【分析】先求出分式方程的解，然后根据其解为非负数得到x≥0，x≠3，即a+4≥0，a+4≠3，从而求出a的取值范围．
【解答】解：原分式方程可化为，
方程两边同乘x﹣3得，x+7a＝4（x﹣3），
去括号得，x+2a＝4x﹣12，
移项得，x﹣4x＝﹣12﹣7a，
合并同类项得，﹣3x＝﹣12﹣3a，
系数化为8得x＝a+4，
∵原分式方程的解为非负数，
∴x≥0，x≠4，
即a+4≥0，a+7≠3，
解得a≥﹣4且a≠﹣3，
故选：C．
【点评】本题考查了解分式方程，注意到分式方程的分母不为0这一条件是关键．
9．【分析】利用单价＝总价÷数量，可求出一株椽的价钱为文，结合“少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵这批椽的价钱为6210文，这批椽有x株，
∴一株椽的价钱为文，
又∵每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，
∴3（x﹣7）＝．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10．【分析】由旋转的性质可知，BC＝CD，∠B＝∠EDC，∠A＝∠E，∠ACE＝∠BCD，因为∠BCD＝a，所以∠B＝∠BDC＝90°﹣，∠ACE＝a，由三角形内角和可得，∠A＝90°﹣∠B＝．所以∠E＝．再由三角形内角和定理可知，∠EFC＝180°﹣∠ECF﹣∠E＝180°﹣a．
【解答】解：由旋转的性质可知，BC＝CD，∠A＝∠E，
∵∠BCD＝a，
∴∠B＝∠BDC＝＝90°﹣，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝．
∴∠E＝．
∴∠EFC＝180°﹣∠ECF﹣∠E＝180°﹣a．
故选：C．
【点评】本题主要考查旋转的性质，三角形内角和等相关内容，由旋转的性质得出∠E和∠ECF的角度是解题关键．
二、填空题（共6题，计18分）
11．【分析】根据提公因式法，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案．
【解答】解：原式＝2y（x2﹣3x+1），
＝2y（x﹣5）2，
故答案为：2y（x﹣7）2．
【点评】本题考查了分解因式，利用提公因式法得出完全平方公是解题关键，注意分解要彻底．
12．【分析】根据题意可得（11﹣2a）x＝（3a﹣10），从而可得：x＝5或﹣，然后把x的值代入整式方程中进行计算，即可解答．
【解答】解：去分母得：x﹣5﹣（a﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣2），
整理得：（11﹣2a）x＝（3a﹣10），
由分式方程有增根得：
11﹣4a≠0，即：，
当时，即：a＝3，
当时，a不存在，
∴a＝5，
故答案为：6．
【点评】本题考查了分式方程有增根问题，先去分母，根据分式方程有增根进而可求解，熟练掌握分式方程分母为0时的解就是分式方程的增根是解题的关键．
13．【分析】先把分式等式相加，得出ab＝，代入分式，化简后得分式的值．
【解答】解：∵，
∴＝3，
把ab＝代入分式得：
＝
＝
＝
＝
＝
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了分式的加减运算和分式的值，解题的关键是掌握分式加减运算的法则，整体代入．
14．【分析】对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【解答】解：观察图象可知，旋转中心P的坐标为（4．
故答案为：（4，5）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
15．【分析】由已知条件可得m2﹣m＝1，将2m3﹣3m2﹣m+9先变形整理得2m（m2﹣m）﹣m2﹣m+9，然后将m2﹣m＝1代入整理可得﹣（m2﹣m）+9，再将m2﹣m＝1代入运算即可．
【解答】解：∵m2﹣m﹣1＝5，
∴m2﹣m＝1，
∴4m3﹣3m5﹣m+9
＝（2m5﹣2m2）﹣m8﹣m+9
＝2m（m4﹣m）﹣m2﹣m+9
＝6m﹣m2﹣m+9
＝﹣m7+m+9
＝﹣（m2﹣m）+6
＝﹣1+9
＝2，
故答案为：8．
【点评】本题考查因式分解的应用及代数式求值，将代数式拆项并因式分解得2m（m2﹣m）﹣m2﹣m+9是解题的关键．
16．【分析】由旋转的性质可得∠BAC＝∠CAD'＝45°，AD＝AD'，由等腰三角形的性质可得∠AD'D＝67.5°，∠D'AB＝90°，即可求∠ABD的度数．
【解答】解：∵将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，
∴∠BAC＝∠CAD'＝45°，AD＝AD'
∴∠AD'D＝67.5°，∠D'AB＝90°
∴∠ABD＝22.5°
故答案为：22.5°
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
三、解答题：（共72分）
17．【分析】（1）先提取公因式，再利用十字相乘法即可求解；
（2）变形后利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣x（x2+5x﹣3）
＝﹣x（x+6）（x﹣1）；
（2）原式＝[5（a+b）+（a﹣b）][3（a+b）﹣（a﹣b）]
＝（3a+2b+a﹣b）（3a+3b﹣a+b）
＝（3a+2b）（2a+8b）
＝4（2a+b）（a+4b）．
【点评】本题考查的是因式分解，熟知因式分解的提公因式法和公式法是解题的关键．
18．【分析】（1）根据分式的四则混合运算法则计算即可；
（2）先根据分式的四则混合运算法则计算，再代入合适的值计算即可；
（3）根据解分式方程的步骤计算即可，注意检验．
【解答】解：（1）
＝
＝；
（2）
＝
＝
＝x+x
＝2x，
当x＝3时，原式＝8×3＝6；
（3）去分母得：x﹣8+2x﹣1＝﹣2.5，
移项得：3x＝2+1﹣1.6，
合并同类项得：3x＝1.2，
系数化为1得：x＝0.7，
检验，当x＝0.5时，
∴原方程无解．
【点评】本题考查了分式的混合运算、分式的化简求值、解分式方程，熟练掌握运算法则与方法是解此题的关键．
19．【分析】将式子变形为，根据偶次方非负的性质得出，求出a、b的值，代入进行计算即可．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴a＝1，b＝﹣2，
∴．
【点评】本题考查了运用完全平方公式进行计算、求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键．
20．【分析】设？为m，利用分式方程的增根解答即可．
【解答】解：设？为m，则，
m+3（x﹣2）＝﹣4，
把x＝2代入得
m+3（4﹣2）＝﹣1，
∴m＝﹣7．
所以，原分式方程中“．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
21．【分析】（1）利用点A、C的坐标特征得到平移规律，然后利用此平移规律写出点D坐标，描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出B点所对应的E点，观察图形即可求解；
（3）作B点关于y轴对称点B’，连接AB'交y轴于F点，此时△ABF的周长最小．
【解答】解：（1）如图所示，D（2，
故答案为：（2，﹣7）；
（2）如图所示，BE2+EC2＝BC8，
∴△BEC的形状为直角三角形；
（3）作B点关于y轴对称点B’，连接AB'交y轴于F点，F（0，
故答案为：（0，7）．
【点评】本题考查了作图旋转变化，根据旋转的性质可知对应角度相等于旋转角，对应线段相等旋转后的线段，解题关键在于能够正确画出变化后的图形．
22．【分析】（1）①根据真分式的定义判断即可；
②根据材料中的方法变形即可得到结果；
（2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数x的值；
【解答】解：（1）①分式中，分子的次数小于分母的次数，
∴分式是真分式；
②，
故答案为：①真；②
（2）
＝
＝，
若这个分式的值为整数，
则x﹣3＝1或x﹣3＝﹣1或x﹣3＝5或x﹣3＝﹣2，
∴x＝8或x＝2或x＝5或x＝2．
【点评】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．【分析】（1）设该店铺购进第一批T恤衫每件的进价是x元，则购进第二批T恤衫每件的进价是（x+10）元，根据第二批这种T恤衫所购数量是第一批购进量的2倍，列出方程求解即可；
（2）设每件T恤衫的标价是y元，根据利润率不低于80%（除去450元的快递费用），列出不等式，再进行求解即可．
【解答】解：（1）设该店铺购进第一批T恤衫每件的进价是x元，则购进第二批T恤衫每件的进价是（x+10）元×2＝，
解得x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，
x+10＝40+10＝50．
答：该店铺购进第一批T恤衫每件的进价是40元，购进第二批T恤衫每件的进价是50元；
（2）6000÷40＝150（件），
15000÷50＝300（件），
设每件T恤衫的标价是y元，依题意有：
（150+300﹣50）y+50×0.4y﹣6000﹣15000﹣450≥（6000+15000）×80%，
解得y≥90．
答：每件T恤衫的标价至少是90元．
【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意并找出题中的数量关系并列出方程是解题的关键．
24．【分析】（1）根据旋转的性质可得△APP′为等边三角形，根据勾股定理逆定理可得△PP′C为直角三角形，从而求出答案；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，根据旋转证明△EAF≌△E′AF（SAS），再根据等腰三角形的性质求出∠E′CF＝90°，即可证明．
【解答】解：（1）∵△ACP′≌△ABP，
∴AP′＝AP＝5，CP′＝BP＝12，
由题意知旋转角∠PAP′＝60°，
∴△APP′为等边三角形，
∴PP′＝AP＝5，∠AP′P＝60°，
∵PP′5+P′C2＝CP2，
∴△PP′C为直角三角形，且∠PP′C＝90°，
∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C＝60°+90°＝150°，
故答案为：150°；
（2）EF2＝BE2+FC2，证明如下：
如图，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，
由旋转的性质得，AE′＝AE，∠CAE′＝∠BAE，
∴∠EAE′＝∠CAE′+∠CAE＝∠BAE+∠CAE＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAF＝∠E′AF，
∵AF＝AF，
∴△EAF≌△E′AF（SAS），
∴E′F＝EF，…．
∵∠CAB＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝∠ACE′＝45°，
∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，
由勾股定理得，E′F3＝CE′2+FC2，
即EF5＝BE2+FC2．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键．