2023-2024学年山东省泰安市新泰市八年级（上）期中数学试卷（五四学制）

这是一份2023-2024学年山东省泰安市新泰市八年级（上）期中数学试卷（五四学制），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）使分式有意义的x取值范围是（ ）
A．x≠0B．x≠1C．x≠﹣1D．x≠±1
2．（4分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（2﹣a）（1﹣a）＝（a﹣2）（a﹣1）
B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
C．x2+4x+4＝（x+2）2
D．x2+2x+1＝x（x+2）+1
3．（4分）在一次数学测试，某小组五名同学的成绩（单位：分）如下表（有两个数据被遮盖）：
那么被遮盖的两个数据依次是（ ）
A．80、2B．80、10C．78、2D．78、10
4．（4分）6x3y2﹣3x2y3分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A．3xyB．3x2yC．3x2y3D．3x2y2
5．（4分）计算的结果为（ ）
A．B．C．D．x+1
6．（4分）在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式，由公式提供的信息（ ）
A．样本数据共5个B．样本的中位数是4
C．样本的平均数是3.8D．样本的众数是4
7．（4分）在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分剪拼成一个矩形（如图）．通过计算图形（阴影部分），验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a2﹣ab＝a（a﹣b）
8．（4分）若把分式中的a，b同时变为原来的3倍（ ）
A．变为原来的3倍B．变为原来的
C．不±8D．变为原来的
9．（4分）我国的航天事业经过六十年的发展，取得了辉煌的成绩．航天事业可分为三部分：空间技术、空间应用、空间科学．某校为了了解学生掌握航天知识的情况，进行了相关竞赛（成绩实行100分制）：
这个班学生成绩的众数、中位数分别是（ ）
A．90，85B．11，85C．90，90D．90，87.5
10．（4分）关于x的分式方程＝3的解是正数，则字母m的取值范围是（ ）
A．m＞3B．m＜3C．m＞﹣3D．m＜﹣3
11．（4分）“我市为处理污水，需要铺设一条长为4000米的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，结果提前20天完成任务．”根据题意可得方程，则方程中x表示（ ）
A．实际每天铺设管道的长度
B．实际施工的天数
C．原计划每天铺设管道的长度
D．原计划施工的天数
12．（4分）阳阳同学在复习老师已经批阅的作业本时，发现有一道填空题破了一个洞（如图所示），■表示破损的部分．则破损部分的式子可能是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（每小题4分，共24分，只要求填最后结果）
13．（4分）计算：20232﹣20222＝ ．
14．（4分）2023年9月25日，杭州亚运会男子10米气步枪个人决赛，我国18岁小将盛李豪打破世界纪录夺金．如图是盛李豪10次的射击成绩．这10次射击成绩的众数、中位数、平均数分别为 （按顺序填）．
15．（4分）若关于x的方程﹣＝﹣1无解，则m的值是 ．
16．（4分）当x取 时，多项式x2+4x+4取得最小值．
17．（4分）某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元，2元，1元．某天销售情况如图所示 元．
18．（4分）某超市销售一种计算机，每个售价48元，后来计算机雨进价降低了4%，从而使超市销售这种计算机的利润率提高了5%．则这种计算机原来每个进价是 ．
三、解答题（本题共7个小题，共78分，解答题写出文字说明、证明过程或推演步骤）
19．（10分）把下列各式因式分解：
（1）m（m﹣5）﹣2（5﹣m）2；
（2）﹣4x3+8x2﹣4x．
20．（10分）先化简：，再从﹣2，0，1，2中选取一个合适的x的值代入求值．
21．（10分）解方程：
（1）；
（2）﹣1．
22．（12分）某校为了解八年级学生参加社会实践活动情况，随机调查了本校部分八年级学生在第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了统计图①和图②，回答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 ，图①中的m的值为 ；
（2）求本次抽样调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数；
（3）若该校八年级学生有1200人，估计参加社会实践活动时间大于7天的学生人数．
23．（10分）【发现问题】现有图1中的A，B，C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形
例：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，可以得到等式a2+2ab+b2＝（a+b）2．
（1）【小试牛刀】请把表示图3面积的多项式因式分解（直接写出等式即可）．
（2）【自主探索】请利用图1的卡片，将多项式2a2+5ab+3b2因式分解，并画出图形．
24．（14分）如图反映了九年级两个班的体育成绩．
（1）不用计算，根据条形统计图，你能判断哪个班学生的体育成绩好一些吗？
（2）你能从图中观察出各班学生体育成绩等级的“众数”吗？
（3）依次将不及格、及格、中、良好、优秀记为55分，65分，75分，95分，先分别估算一下两个班学生体育成绩的平均值，看看你估计的结果怎么样．
（4）九年级（1）班学生体育成绩的平均数、中位数和众数有什么关系？你能说说其中的理由吗？
25．（12分）杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举办，杭州亚运会吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人，分别取名“琮琮”“莲莲”“宸宸”．一个批发兼零售的商店规定：凡一次购买印有吉祥物的小彩旗300支以上（不包括300支），购买300支以下（包括300支），只能按零售价付款，如果给八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款，如果多购买60支，那么可以按批发价付款
（1）若设八年级的学生总数为x，求x的取值范围．
（2）若按批发价购买360支与按零售价购买300支付款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？
2023-2024学年山东省泰安市新泰市八年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1．【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：x2﹣1≠7，
∴x≠±1
故选：D．
【点评】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件，本题属于基础题型．
2．【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．等式从左到右的变形，故本选项不符合题意；
B．等式从左到右的变形，故本选项不符合题意；
C．等式从左到右的变形，故本选项符合题意；
D．等式从左到右的变形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
3．【分析】根据平均数的计算公式先求出丙的得分，再根据方差公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：
80×5﹣（81+79+80+82）＝78（分），
则C的得分是7（7分）；
方差＝[（81﹣80）5+（79﹣80）2+（78﹣80）2+（80﹣80）2+（82﹣80）2]＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了方差：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．
4．【分析】分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式．
【解答】解：6x3y6﹣3x2y2＝3x2y4（2x﹣y），
因此6x6y2﹣3x4y3的公因式是3x5y2．
故选：D．
【点评】本题主要考查公因式的确定，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．
5．【分析】根据分式相加减和平方差公式的运算法则求解即可．
【解答】解：＝＝＝＝＝＝，
故选C．
【点评】本题考查了分式相减和平方差公式的运算法则，准确的计算是解决本题的关键．
6．【分析】由方差的计算公式得出这组数据为5、4、4、3、3，再根据中位数、众数和平均数的定义求解即可．
【解答】解：由方差的计算公式知，这组数据为5、4、6、3、3，
所以这组数据的样本容量为5，中位数为4，平均数为，
故选：D．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是根据方差的计算公式得出样本的具体数据及中位数、众数和平均数的定义．
7．【分析】这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2；因为拼成的长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），根据“长方形的面积＝长×宽”代入为：（a+b）×（a﹣b），因为面积相等，进而得出结论．
【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2；
拼成的长方形的面积：（a+b）×（a﹣b），
所以得出：a4﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：A．
【点评】此题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部分面积，进而根据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出结论．
8．【分析】先根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行计算即可．
【解答】解：根据题意得：＝＝＝×，
所以若把分式中的a，则分式的值变为原来的．
故选：D．
【点评】本题考查了分式的基本性质，能正确根据分式的基本性质进行计算是解此题的关键．
9．【分析】根据中位数和众数的定义求解即可．
【解答】解：由表知，这组数据中90出现11次，
所以这组数据的众数为90；
由题意可知，样本容量为50、26个数据的平均数、26个数据分别、90，
所以这组数据的中位数是：＝90．
故选：C．
【点评】本题主要考查中位数和众数，解题的关键是掌握中位数和众数的定义．
10．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程解为正数确定出m的范围即可．
【解答】解：分式方程去分母得：2x﹣m＝3x+7，
解得：x＝﹣m﹣3，
由分式方程的解为正数，得到﹣m﹣3＞2，
解得：m＜﹣3，
故选：D．
【点评】此题考查了分式方程的解，始终注意分式方程分母不为0这个条件．
11．【分析】根据方程中的实际意义求解即可．
【解答】解：由方程可得，
方程中x表示实际每天铺设管道的长度．
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的实际应用题，能正确分析题目中的等量关系是解题的关键．
12．【分析】根据题意残损部分的式子为•+，再计算即可．
【解答】解：残损部分的式子为•+
＝﹣
＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
二、填空题（每小题4分，共24分，只要求填最后结果）
13．【分析】根据平方差公式进行因式分解便可简便运算．
【解答】解：原式＝（2023+2022）×（2023﹣2022）
＝4045．
故答案为：4045．
【点评】本题主要考查了有理数的运算，因式分解的应用，应用平方差公式进行因式分解是解题的关键．
14．【分析】根据众数、中位数以及平均数的概念求解．
【解答】解：10次成绩为：
10.3，10.4，10.4，10.6，10.7，10.5，
出现次数最多的是10.6，则众数为10.6，
中位数为：＝10.5，
平均数为：（10.3+10.4+10.5+10.6+10.6+10.5+10.7+10.7+10.8+10.8）÷10＝10.6．
故答案为：10.3，10.6．
【点评】本题考查了众数、中位数、平均数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
15．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【解答】解：去分母得：3﹣2x+mx﹣8＝﹣x+3，
整理得：（m﹣1）x＝4，
当m﹣1＝0，即m＝3时；
当m﹣1≠0时，x﹣8＝0，方程无解＝3，
故答案为：1或．
【点评】此题考查了分式方程的解，分式方程无解分为最简公分母为0的情况与分式方程转化为的整式方程无解的情况．
16．【分析】利用配方法以及非负数的性质求解
【解答】解：∵x2+4x+5＝（x+2）2，
又∵（x+8）2≥0，
∴当x＝﹣8时，x2+4x+6取得最小值，最小值为0，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查配方法的应用，非负数的性质等知识解题的关键是掌握配方法的应用．
17．【分析】根据加权平均数的定义列式计算可得．
【解答】解：这天销售的矿泉水的平均单价是5×10%+3×15%+5×55%+1×20%＝2.25（元），
故答案为：8.25．
【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
18．【分析】本题的等量关系为利润＝售价﹣进价，利润率＝，由题意可知计算机原先的利润率+5%＝进价降价后的利润率．
【解答】解：设这种计算器原来每个进价为x元，
根据题意得：＝，
48﹣x+4.05x＝50﹣x，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的根，
答：这种计算器原来每个的进价是40元．
故答案为：40元．
【点评】本题考查了可化为一元一次方程的分式方程，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．
三、解答题（本题共7个小题，共78分，解答题写出文字说明、证明过程或推演步骤）
19．【分析】根据因式分解法即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝m（m﹣5）﹣2（m﹣3）2
＝（m﹣5）（m﹣7m+10）
＝﹣（m﹣5）（m﹣10）
（2）原式＝﹣4x（x2﹣2x+1）
＝﹣2x（x﹣1）2
【点评】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用因式分解法，本题属于基础题型．
20．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝÷（﹣）
＝÷
＝﹣÷
＝﹣•
＝﹣，
当x＝8，2，﹣2时；
当x＝5时，原式＝﹣．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．【分析】（1）方程两边都乘2x（x﹣2）得出4（x﹣2）+2＝5（x﹣2），求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘3（x﹣2）得出3（5x﹣4）＝4x+10﹣3（x﹣2），求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：（1），
方程两边都乘4x（x﹣2），得4（x﹣6）+2＝5（x﹣2），
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，7x（x﹣2）≠0，
所以分式方程的解为x＝8；
（2）﹣1，
＝﹣1，
方程两边都乘2（x﹣2），得3（4x﹣4）＝4x+10﹣8（x﹣2），
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，3（x﹣2）＝5，
所以分式方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
22．【分析】（1）根据5天的人数和所占的百分比求出抽样调查总人数，用6天的人数除以总人数即可求出m的值；
（2）根据众数、中位数和平均数的计算公式分别进行解答即可；
（3）用八年级的人数乘以参加社会实践活动时间大于7天的学生人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为：14÷35%＝40（人），
m%＝×100%＝20%；
故答案为：40，20；
（2）在这组样本数据中，5出现了14次，
则众数是2天；
将这组数据从小到达排列，其中处于中间的两个数都是6，有，
则这组样本数据的中位数是6天；
这组数据的平均数是：＝6.7（天）；
（3）根据题意得：
1200×（10%+10%）＝240（人），
答：估计参加社会实践活动时间大于7天的学生人数有240人．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
23．【分析】（1）利用面积的两种求法解决因式分解问题；
（2）先因式分解，确定矩形的长，宽，画出图形即可．
【解答】解：（1）由图可知，图3的面积为 a2+8ab+2b2，
又∵图3的面积又等于一个长为（a+2b），宽为（a+b）的长方形面积，
∴a2+3ab+2b2＝（a+3b）（a+b）；
（2）如图所示，下图是由2张A卡片，3张C卡片拼成的．
同理可得 8a2+5ab+3b2＝（2a+3b）（a+b）；
【点评】本题考查因式分解的应用，完全平方公式的几何背景，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的射线解决问题．
24．【分析】（1）根据条形统计图中优秀、良好、不及格的人数情况估计即可；
（2）根据众数的定义解答即可；
（3）先估计，再计算验证即可；
（4）根据九年级（1）班的条形统计图，和平均数、中位数、众数的意义判断即可．
【解答】解：（1）∵九年级（2）班不及格的人数比九年级（1）班不及格的人数少；
九年级（2）班优秀和良好的人数比九年级（1）班优秀和良好的人数多；
∴九年级（2）班学生的体育成绩好一些；
（2）根据众数的定义，知：学生体育成绩等级的“众数”均为：中；
（3）根据条形统计图可估计：九年级（1）班学生体育成绩的平均值为中，九年级（2）班学生体育成绩的平均值高于中．
九年级（1）班体育成绩的平均值为：＝75；
九年级（2）班体育成绩的平均值为：＝78，
结果计算与估计基本相同；
（4）九年级（1）班学生体育成绩的平均数、中位数和众数相同．
理由如下：九年级（1）班优秀人数和不及格人数相同，及格人数和良好人数相同，中位数，故九年级（1）班学生体育成绩的平均数．
【点评】本题考查条形统计图，平均数，中位数，众数，从统计图中获取有用信息，理解相关概念的意义是解题的关键．
25．【分析】（1）根据“给八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款；多购买60支，可以按批发价付款”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围；
（2）由按批发价购买360支与按零售价购买300支付款相同，可得出批发价是零售价的，利用单价＝总价÷数量，结合批发价是零售价的，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：，
解得：240＜x≤300，
答：x的取值范围为240＜x≤300；
（2）∵按批发价购买360支与按零售价购买300支付款相同，
∴批发价是零售价的＝．
根据题意得：×＝，
解得：x＝300．
经检验，x＝300是所列方程的解．
答：这个学校八年级学生有300人．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出分式方程．
组员
甲
乙
丙
丁
戊
方差
平均成绩
得分
81
79
■
80
82
■
80
成绩（分）
70
75
80
85
90
95
100
人数（人）
2
3
8
7
11
10
9