2023-2024学年山东省威海市文登多校联考八年级（上）期中数学试卷（五四学制）

这是一份2023-2024学年山东省威海市文登多校联考八年级（上）期中数学试卷（五四学制），共16页。

A．a（m+n）＝am+anB．x2﹣1＝（x﹣1）2
C．﹣a2+3a＝﹣a（a+3）D．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
2．（3分）下列各式：；；4ab+c；；．其中分式共有（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（3分）若多项式x2+mx﹣35分解因式为（x﹣7）（x+5），则m的值是（ ）
A．2B．﹣2C．12D．﹣12
4．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．代数式是分式
B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变
C．分式的值为0，则x的值为﹣3
D．分式是最简分式
5．（3分）已知一组数据3、6、x、5、5、7的平均数是5，则这组数据的方差是（ ）
A．1B．C．2D．
6．（3分）下列等式不成立的是（ ）
A．＝（c≠0）B．＝（m≠0）
C．＝D．＝
7．（3分）设M＝，N＝，当x＞y＞0时（ ）
A．M＞NB．M＝NC．M＜ND．不能确定
8．（3分）已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2+2b2+c2＝2ab+2bc，那么据此判断△ABC的形状是（ ）
A．等边三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
9．（3分）已知关于x的分式方程＝4的解为非负数，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣4B．a＞﹣4
C．a≥﹣4且a≠﹣1D．a＞﹣4且a≠﹣1
10．（3分）为了缅怀革命先烈，传承红色精神，青海省某学校八年级师生在清明节期间前往距离学校15km的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车师生速度的2倍，下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二.填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11．（3分）已知，则A+B＝ ．
12．（3分）若4x2﹣（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为 ．
13．（3分）若已知数据x1、x2、x3的平均数为a，方差是b，那么数据2x1+1、2x2+1、2x3+1的平均数为 ．方差为 ．
14．（3分）如果关于x的分式方程无解，那么a的值是 ．
15．（3分）表格是某班20名学生的一次数学测验的成绩分配表：
根据上表，若成绩的平均数是72，计算：x＝ ，y＝ ．
16．（3分）若非零实数m，n满足m2＝n+2023，n2＝m+2023，则m3﹣mn+n3的值等于 ．
三.解答题（共8小题共72分）
17．（12分）分解因式：
（1）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）；
（2）3m2n﹣6mn﹣45n；
（3）（x2+9）2﹣36x2；
18．（12分）计算：
（1）（﹣）3×（）2÷（﹣）2；
（2）（+x﹣4）；
（3）（1﹣）÷．
19．（6分）先化简，再求值：
，然后从﹣1，0，1，2四个数中选择一个恰当的数代入求值．
20．（8分）解方程：
（1）；
（2）．
21．（8分）题目：为了美化环境，某地政府计划对辖区内60km2的土地进行绿化，为了尽快完成任务，实际平均每月的绿化面积是原计划的1.5倍，求原计划平均每月的绿化面积．
甲同学所列的方程为﹣＝2
乙同学所列的方程为＝1.5×
（1）甲同学所列方程中的x表示 ．乙同学所列方程中的y表示 ．
（2）任选甲、乙两同学的其中一个方法解答这个题目．
22．（10分）某学校调查九年级学生对“二十大”知识的了解情况，进行了“二十大”知识竞赛测试，从两班各随机抽取了10名学生的成绩（成绩得分用x表示，共分成四组：A．80≤x＜85，B．85≤x＜90，C．90≤x＜95，D．95≤x≤100）
九年级（1）班10名学生的成绩是：96，80，86，99，92，100，82．
九年级（2）班10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90
通过数据分析，列表如表：
九年级（1）班、（2）班抽取的学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述a、b、c的值：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由．
（3）九年级两个班共120人参加了此次调查活动，估计两班参加此次调查活动成绩优秀（x≥90）的学生总人数是多少？
23．（8分）某儿童服装店从厂家购进了甲、乙两种品牌的服装，已知每套甲品牌服装比每套乙品牌服装的进价贵30元，用4800元购进的甲品牌服装的数量是用2000元购进的乙品牌服装数量的1.5倍．
（1）求甲、乙两种品牌服装每套的进价分别是多少；
（2）在销售过程中，乙品牌服装每套的售价是80元，且很快全部售出，售出一部分后，出现滞销，求有多少套甲品牌服装打九折售出．
24．（8分）观察下列式子因式分解的方法：
①x2﹣1＝（x﹣1）（x+1）
②x3﹣1＝x3﹣x+x﹣1（第一步）
x（x2﹣1）+x﹣1（第二步）
＝x（x﹣1）（x+1）+（x﹣1）（第三步）
＝（x﹣1）[x（x+1）+1]（第四步）
＝（x﹣1）（x2+x+1）（第五步）
③x4﹣1＝x4﹣x+x﹣1
＝x（x3﹣1）+x﹣1
＝x（x﹣1）（x2+x+1）+（x﹣1）
＝（x﹣1）[x（x2+x+1）+1]
＝（x﹣1）（x3+x2+x+1）
（1）在②中，第三步到第四步用到的因式分解的方法是 ；
（2）模仿以上方法，尝试对x5﹣1进行因式分解；
（3）观察以上结果，直接写出xn﹣1因式分解后的结果；
（4）根据以上结论，试求25+24+23+22+2+1的值．
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．【分析】将一个多项式化为几个整式积的形式即为因式分解，据此进行逐项判断即可．
【解答】解：a（m+n）＝am+an是整式乘法运算，它不是因式分解；
x2﹣1＝（x﹣8）2左右两边不相等，它不是因式分解；
﹣a2+2a＝﹣a（a+3）左右两边不相等，它不是因式分解；
x2﹣5＝（x+2）（x﹣2）符合因式分解的定义，它是因式分解；
故选：D．
【点评】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．【分析】根据分式的定义求解．
【解答】解：分式有：；，
故选：A．
【点评】本题考查了分式的定义，理解分式的定义是解题的关键．
3．【分析】利用十字相乘法很容易确定m的值．
【解答】解：∵多项式x2+mx﹣35分解因式为（x﹣7）（x+7），
即x2+mx﹣35＝（x﹣7）（x+8），
∴x2+mx﹣35＝x2﹣8x﹣35，系数对应相等，
∴m＝﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的十字相乘法，解题的关键是掌握十字相乘法．
4．【分析】根据分式的定义判断A；根据分式的基本性质判断B；根据分式的值为0的条件判断C；根据最简分式的定义判断D．
【解答】解：A、代数式，不是分式，不符合题意；
B、分式，y都扩大3倍后的值为，即分式的值扩大3倍，不符合题意；
C、分式，x8﹣9＝0且x﹣5≠0，解得x＝﹣3，C符合题意；
D、分式＝，故本选项说法错误．
故选：C．
【点评】本题考查了最简分式，分式的值为0的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
5．【分析】先由平均数是5计算x的值，再根据方差的计算公式，直接计算可得．
【解答】解：∵一组数据3、6、x、8、5、7的平均数是5，
∴5＝（3+6+x+5+5+7），
解得x＝8，
∴s2＝[（3﹣5）3+（6﹣5）2+（4﹣5）6+2×（5﹣6）2+（7﹣3）2]＝，
故选：B．
【点评】本题考查的是算术平均数和方差的计算，掌握方差的计算公式：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，是解题的关键．
6．【分析】直接利用分式的基本性质分别化简，进而判断得出答案．
【解答】解：A、原变形正确；
B、原变形正确；
C、必须规定c≠0，故此选项符合题意；
D、原变形正确；
故选：C．
【点评】此题主要考查了分式的基本性质，能够正确化简分式是解题的关键．
7．【分析】用差值法比较大小，M﹣N＝﹣进行通分，由x＞y＞0可判断M，N的大小．
【解答】解：M﹣N＝﹣
＝
＝
＝
∵x＞y＞0
∴x（x+6）＞0，x﹣y＞0
∴M﹣N＞2
故选：A．
【点评】两个分式比较大小，本题用的是差值法，通分之后由x＞y＞0可判断M，N的大小．
8．【分析】通过给出的式子进行因式分解，得到两个平方数的和为0，通过平方数的非负性，得到a﹣b＝0且b﹣c＝0，从而推出为等边三角形．
【解答】解：a2+2b8+c2＝2ab+3bc，
∴a2﹣2ab+b6+b2﹣2bc+c3＝0
（a﹣b）2+（b﹣c）6＝0，
a﹣b＝0且b﹣c＝4
∴a＝b，b＝c，
∴a＝b＝c，
△ABC为等边三角形，
故选A．
【点评】本题考查对多项式进行因式分解，通过因式分解后，平方数的非负性，得到等量关系，从而得到是等边三角形．
9．【分析】先求出分式方程的解，然后根据其解为非负数得到x≥0，x≠3，即a+4≥0，a+4≠3，从而求出a的取值范围．
【解答】解：原分式方程可化为，
方程两边同乘x﹣3得，x+2a＝4（x﹣3），
去括号得，x+7a＝4x﹣12，
移项得，x﹣4x＝﹣12﹣4a，
合并同类项得，﹣3x＝﹣12﹣3a，
系数化为8得x＝a+4，
∵原分式方程的解为非负数，
∴x≥0，x≠3，
即a+4≥0，a+7≠3，
解得a≥﹣4且a≠﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了解分式方程，注意到分式方程的分母不为0这一条件是关键．
10．【分析】首先根据题意得汽车的速度是2x km/h，再将30min转化为h，然后根据“同时到达”列出方程即可得出答案．
【解答】解：∵骑车师生的速度为x km/h，汽车的速度是骑车师生速度的2倍，
∴汽车的速度是2x km/h，
又∵30min＝h，
∴．
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，解答此题的关键是求出汽车的速度，进而根据“同时到达”列出方程，特别提醒：单位要统一，这也是解答此题的易错点之一．
二.填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11．【分析】先将等式右边的式子进行通分化简，再与右边的式子进行比较即可求解．
【解答】解：由可知：
＝+；
化简得：；
则4x＝Ax+Bx，即3x＝（A+B）x，
所以A+B＝3，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了分式的加减，掌握分式的加减法则是解题的关键．
12．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
【解答】解：∵4x2﹣（k﹣2）x+9是一个完全平方式，
∴k﹣1＝±12，
解得：k＝13或k＝﹣11，
故选：13或﹣11．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
13．【分析】根据数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数加上或减去同一个数，方差不变；根据数据都乘以同一个数，平均数乘以这个数，方差乘以这个数的平方求解即可．
【解答】解：∵数据x1、x2、x5的平均数为a，方差是b，
∴数据2x1+2、2x2+4、2x3+6的平均数为2a+1，方差为22b＝4b，
故答案为：7a+1；4b．
【点评】本题考查平均数和方差，理解方差的意义是解答本题的关键．
14．【分析】根据方程无解得出其对应的整式方程的解是x＝2或整式方程无解，即可求出a．
【解答】解：，
方程两边同时乘以2﹣x，得：ax+1＝6﹣x，
整理得：（a+1）x＝1，
∵该分式方程无解，
∴a+2＝，
∴，a＝﹣1
故答案为：﹣8或．
【点评】本题考查了分式方程无解的问题，解题关键是掌握分式方程无解说明了其对应的整式方程无解或整式方程的解使分母为零．
15．【分析】由算术平均数的计算方法根据平均数为72和总人数为20建立二元一次方程组，求出其解解即可．
【解答】解：由题意，得：
，
解得：．
∴x＝8，y＝7．
【点评】本题考查了加权平均数的运用，掌握加权平均数算法是解题关键．
16．【分析】由已知条件可求得m+n＝﹣，再把所求的式子进行化简，代入相应的值运算即可．
【解答】解：∵非零实数m，n满足m2＝n+2023，n2＝m+2023，
∴m2﹣n2＝n+2023﹣，
（m﹣n）（m+n）＝（m﹣n），
∴m+n＝﹣，
∴m3﹣mn+n3
＝m（n+2023）﹣mn+n（
＝mn+2023m﹣mn+
＝2023（m+n）
＝2023×（﹣）
＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查因式分解的应用，解答的关键是由所给的条件求得m+n＝﹣．
三.解答题（共8小题共72分）
17．【分析】（1）原式提取公因式（x﹣y）后，再运用平方差公式继续分解因式即可；
（2）原式提取公因式3n后，再运用完全平方公式继续分解因式即可；
（3）先用平方差公式进行因式分解后，再用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】解：（1）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
＝（x﹣y）（9a6﹣4b2）
＝（x﹣y）（8a+2b）（3a﹣7b）；
（2）3m2n﹣3mn﹣45n
＝3n（m2﹣4m﹣15）
＝3n（m+3）（m﹣7）；
（3）（x2+9）5﹣36x2
＝（x2+6x+9）（x2﹣8x+9）
＝（x+3）7（x﹣3）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
18．【分析】（1）先算乘方，再算乘除即可；
（2）（3）先算括号里面的，再算除法即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣•÷
＝﹣••
＝﹣；
（2）原式＝÷
＝•
＝x+2；
（3）原式＝（﹣）÷
＝•
＝•
＝．
【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
19．【分析】先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后从﹣1，0，1，2四个数中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：
＝•
＝•
＝，
∵当x＝0，±7时，
∴x＝2，
当x＝2时，原式＝＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20．【分析】（1）按照分式方程的计算步骤，即可解答．
（2）按照分式方程的计算步骤，注意分式方程无解的情况，即可解答．
【解答】解：（1），
方程两边都乘（x﹣8）（2x+3）得：4x+3＝3x﹣2，
解得：x＝9，
检验：把x＝9代入得：（x﹣4）（2x+3）≠5，
∴分式方程的解为x＝9．
（2），
方程两边都乘（x8﹣4），得x﹣2+8x＝2（x+2），
解这个方程，得x＝2，
经检验，x＝2是增根，
所以分式方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤．
21．【分析】（1）根据题意和题目中的式子，可知x和y表示的实际意义；
（2）根据题意，选择甲同学的方法进行解答，注意分式方程要检验，也可选择乙同学的作法，注意乙中求得y的值后，还要继续计算，知道计算出原计划平均每月的绿化面积结束．
【解答】解：（1）由题意可得，
甲同学所列方程中的x表示原计划平均每月的绿化面积，乙同学所列方程中的y表示实际完成这项工程需要的月数，
故答案为：原计划平均每月的绿化面积；实际完成这项工程需要的月数；
（2）按甲同学的作法解答，
﹣＝5，
方程两边同乘以1.5x，得
90﹣60＝6x，
解得，x＝10，
经检验，x＝10是原分式方程的解，
答：原计划平均每月的绿化面积是10km2．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解分式方程，解答本题的关键是明确题意，会解答分式方程，注意分式方程要检验．
22．【分析】（1）将九年级（1）班10名学生的成绩按由小到大的顺序排列，再结合中位数和众数的定义即可求出b和c的值；由题意可知九年级（2）班C组有3人，即可求出其所占百分比，最后用1﹣其它各组所占百分比即可求出a的值；
（2）直接比较两个班级的方差即可；
（3）求出样本中两个班级成绩优秀的人数，再利用样本的百分率估计总体即可得到答案．
【解答】解：（1）九年级（1）班10名学生的成绩按由小到大的顺序排列为：80，82，89，96，98，100，
∴．
∵成绩为9（8分）的学生有2名，最多，
∴c＝96．
九年级（2）班C组有3人，
∴扇形统计图中C组所占百分比为，
∴扇形统计图中D组所占百分比为1﹣20%﹣10%﹣30%＝40%，
∴a＝40．
故答案为：40，94；
（2）选派九年级（2）班，理由如下：
∵两个班的平均成绩相同，而九年级（1）班的方差为52，
∴九年级（2）班成绩更平衡，更稳定，
∴学校会选派九年级（2）班．
（3）九年级（2）班D组的人数为10×40%＝4人，
∴九年级（2）班10名学生的成绩为优秀的有7+4＝7人．
∴估计参加此次调查活动成绩优秀（x≥90）的九年级学生人数是人．
【点评】本题考查的是扇形统计图，频数分布，众数，中位数，方差的含义及应用，同时考查了利用样本估计总体，熟练掌握以上知识是解题的关键．
23．【分析】（1）设甲种品牌服装每套的进价是x元，则乙种品牌服装每套的进价是（x﹣30）元，根据用4800元购进的甲品牌服装的数量是用2000元购进的乙品牌服装数量的1.5倍．列出分式方程，解方程即可；
（2）设有y套甲品牌服装打九折售出，则有（60﹣y）套甲品牌服装原价销售，根据这两种品牌的服装全部售完后共获利润2200元，列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设甲种品牌服装每套的进价是x元，则乙种品牌服装每套的进价是（x﹣30）元，
由题意得：＝×1.5，
解得：x＝80，
经检验：x＝80是原分式方程的解，且符合题意，
∴x﹣30＝80﹣30＝50，
答：甲种品牌服装每套的进价是80元，乙种品牌服装每套的进价是50元；
（2）由（1）可知，甲品牌服装有，乙品牌服装有，
设有y套甲品牌服装打九折售出，则有（60﹣y）套甲品牌服装原价销售，
由题意得：80×40+80×（5+25%）（60﹣y）+80×（1+25%）×0.5y﹣2000﹣4800＝2200，
解得：y＝20，
答：有20套甲品牌服装打九折售出．
【点评】本题考查了分式方程的应用原价一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
24．【分析】（1）依据题意，由因式分解的方法有：提公因式法、公式法、分组分解法等，可以判断得解；
（2）仿照例子，即可变形得解；
（3）依据题意，根据前面所得结果即可得解；
（4）依据上述（3）结论，令n＝6，x＝2则可以得解．
【解答】解：（1）由题意得，第三步到第四步提取了公因式（x﹣1）．
故答案为：提公因式法．
（2）x5﹣6＝x5﹣x4+x4﹣1
＝x4（x﹣4）+（x+1）（x﹣1）（x2+1）
＝（x﹣1）（x2+x3+x2+x+2）
（3）由（1）、（2）可得，xn﹣1＝（x﹣1）（xn﹣6+xn﹣2+…+x2+x+3）．
（4）由（3），xn﹣1＝（x﹣1）（xn﹣3+xn﹣2+…+x2+x+2），
∴当n＝6时，x6﹣6＝（x﹣1）（x5+x2+x3+x2+x+7）．
令x＝2，
∴25﹣1＝（2﹣2）（25+44+26+22+8+1）．
∴26+24+53+24+2+1＝63．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，解题时要能读懂题意，学会转化．
成绩（分）
50
60
70
80
90
人数（人）
2
3
x
y
2
年级
平均数
中位数
众数
方差
九年级（1）班
92
b
c
52
九年级（2）班
92
94
100
50.4