2023-2024学年山东省泰安市泰山区八年级（上）期中数学试卷（五四学制）

这是一份2023-2024学年山东省泰安市泰山区八年级（上）期中数学试卷（五四学制），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．6x+12y+3＝3（2x+4y）B．a2﹣1＝（a﹣1）2
C．D．2x2﹣1＝2（x﹣1）（x+1）
2．（4分）张老师统计了某一小组8个人的数学成绩，成绩如下（单位：分）：85，85，77，97，86，这组数据的众数是（ ）
A．85B．86C．95D．97
3．（4分）分式可变形为（ ）
A．B．C．D．
4．（4分）如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算阴影部分的面积，则这个等式是（ ）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣ab＝a（a﹣b）
C．a2﹣b2＝（a﹣b）2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
5．（4分）如果一组数据x1，x2，…，xn的方差是6，则另一组数据x1+5，x2+5，…，xn+5的方差是（ ）
A．6B．11C．16D．20
6．（4分）已知多项式a2+b2+M可以在有理数范围内运用平方差公式分解因式，则单项式M可以是（ ）
A．2abB．﹣2abC．﹣3b2D．﹣10b2
7．（4分）若代数式x2﹣6x+b可化为（x﹣a）2，则b﹣a的值（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．（4分）关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．﹣3B．1C．2D．3
9．（4分）近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，路线a为全程25千米的普通道路，路线b包含快速通道，走路线b比路线a平均速度提高40%，时间节省20分钟，根据题意，可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（4分）某校七年级运动队为了备战校运动会需要购置一批运动鞋．已知该队伍有20名同学，统计表如下表．由于不小心弄脏了表格，有两个数据看不到．
下列关于鞋码说法中正确的是（ ）
A．中位数是40，众数是39
B．中位数与众数一定相等
C．平均数满足
D．平均数可能为39
11．（4分）如果a+2b＝2，那么代数式的值是（ ）
A．﹣2B．2C．D．
12．（4分）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程，则满足条件的整数a的值为（ ）
A．2或3B．2或7C．3或7D．2或3或7
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分。只要求填写最后结果）
13．（4分）若分式有意义，则x的取值范围是 ．
14．（4分）当x＝ 时，分式的值为0．
15．（4分）一组数据按从小到大的顺序排列为2，3，4，a，6，8这组数据的中位数是5，那么这组数据的众数为 ．
16．（4分）化简＝ ．
17．（4分）计算：20232﹣2022×2024＝ ．
18．（4分）当x＝ ，分式的值与分式的值互为相反数．
19．（4分）若（x+y）2＝9，（x﹣y）2＝5，则的值为 ．
20．（4分）观察下列因式分解中的规律：
①x2+3x+2＝（x+1）（x+2）；②x2+7x+10＝（x+2）（x+5）；
③3x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）；④4x2﹣2x﹣8＝（x+2）（x﹣4）；
利用上述系数特点分解因式x2+x﹣6＝ ．
三、解答题（本大题共7个小题，满分70分。解答应写出计算过程、文字说明或推演步骤）
21．（16分）分解因式．
（1）﹣2ax3+6ax2﹣10ax；
（2）a2（x﹣5y）+b2（5y﹣x）；
（3）m4﹣81n4；
（4）（3x﹣2y）2﹣（5x﹣3y）（x﹣y）．
22．（10分）计算：
（1）；
（2）．
23．（7分）先化简，再求值：，其中
24．（10分）解方程：
（1）；
（2）．
25．（9分）新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．各种品牌相继投放市场，一汽贸公司经销某品牌新能源汽车，今年每辆车的售价比去年减少2万元，若卖出的数量相同
26．（8分）甲、乙两名队员参加射击训练，各自射击10次的成绩分别被制成下列统计图．
根据以上信息，整理分析数据如下：
（1）写出表格中的a、b、c的值；
（2）已知乙队员射击成绩的方差为4.2，计算出甲队员射击成绩的方差，并判断哪个队员的射击成绩较稳定．
27．（10分）2023年第四届亚残运会在杭州举行，其吉祥物是良渚神鸟“飞飞”，可爱的“飞飞”受到众人的热捧．某工厂计划加急生产一批该吉祥物，两车间各加工2400个该吉祥物时，甲车间比乙车间少用2天．
（1）求甲乙两车间每天各加工多少个吉祥物？
（2）已知甲乙两车间加工该吉祥物每天的费用分别是1800元和1000元，该工厂计划生产15000个这种吉祥物，如果总加工费用不超过39000元
2023-2024学年山东省泰安市泰山区八年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分。每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确答案的字母代号选出来，填入下面答题栏中的对应位置）
1．【分析】判断一个式子是否是因式分解的条件是①等式的左边是一个多项式，②等式的右边是几个整式的积，③左、右两边相等，根据以上条件进行判断即可．
【解答】解：A、左右两边不相等，不符合题意；
B、（a﹣1）2＝a4﹣2a+1，左右两边不相等，不符合题意；
C、，是因式分解，符合题意；
D、7（x﹣1）（x+1）＝7（x2﹣1）＝3x2﹣2，左右两边不相等，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键．
2．【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．依此即可求解．
【解答】解：依题意得86出现了3次，次数最多，
故这组数据的众数是86．
故选：B．
【点评】此题考查了众数的定义，掌握众数是一组数据中出现次数最多的数据是解题关键．
3．【分析】根据分式的基本性质及变号法则变形处理．
【解答】解：．
故选：B．
【点评】本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．
4．【分析】这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2；因为拼成的长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），根据“长方形的面积＝长×宽”代入为：（a+b）×（a﹣b），因为面积相等，进而得出结论．
【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为：a2﹣b2；
拼成的长方形的面积为：（a+b）×（a﹣b），
所以得出：a7﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：D．
【点评】此题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部分面积，进而根据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出结论．
5．【分析】本题考查方差的求法，设数据x1，x2，…，xn的平均数为a，则数据x1+5，x2+5，…，xn+5的平均数为a+5，根据方差的定义计算即可．
【解答】解：设数据x1，x2，…，xn的平均数为a，则数据x7+5，x2+3，…，xn+5的平均数为a+5，
∵数据x3，x2，…，xn的方差是6，
∴，
∴数据x1+5，x2+5，…，xn+5的方差是，
＝
＝6，
故选：A．
【点评】本题考查了方差公式的运用，掌握方差公式是关键．
6．【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．
【解答】解：a2+b2+5ab＝（a+b）2，应用完全平方公式分解因式，故A选项错误；
a2+b6﹣2ab＝（a﹣b）2，应用完全平方公式分解因式，故B选项错误；
a4+b2﹣3b5＝a2﹣2b5，在有理数范围内无法分解因式，故C选项错误；
a2+b2﹣10b4＝a2﹣9b2＝（a+3b）（a﹣3b），应用平方差公式分解因式；
故选：D．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握公式法分解因式是关键．
7．【分析】根据完全平方公式得出﹣2ax＝﹣6x，a2＝b，求出a、b的值，再代入求出即可．
【解答】解：∵代数式x2﹣6x+b可化为（x﹣a）7，
∴﹣2ax＝﹣6x，a5＝b，
∴a＝3，b＝9，
∴b﹣a＝4﹣3＝6，
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解和完全平方公式，能熟记完全平方公式是解此题的关键．
8．【分析】增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【解答】解：去分母得：m+3＝x﹣3，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，
把x＝3代入m+5＝x﹣3得：m＝﹣3，
故选：A．
【点评】此题考查了分式方程的增根，理解增根概念是关键．
9．【分析】根据走两条路线速度间的关系，可得出走路线b的平均速度为（1+40%）x千米/时，利用时间＝路程÷速度，结合走“走路线b比路线a时间节省20分钟”，即可得出关于x的分式方程．
【解答】解：设走路线a的平均速度为x千米/小时，则走路线b的平均速度为（1+40%）x千米/时，
由题意得，，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找出等量关系是解答本题的关键．
10．【分析】根据平均数、众数、中位数的概念分析各个选项，即可得出答案．
【解答】解：A、由于38、42码的数和为10、40码对应的数不知，故错误；
B、由于38、42码的数和为10、40码对应的数不知，也就不能确定出中位数与众数是否相等；
C、当39码的数为10，平均数＝（38×5+39×10+41×3+42×7）÷20＝39.35；
当39码的数为0，40码的数为10时；
∴这组数据的平均数满足39＜，故本选项正确；
D、当39码的数为10，平均数＝（38×5+39×10+41×3+42×2）÷20＝39.35；
当39码的数为0，40码的数为10时；
∴这组数据的平均数满足39＜，
所以平均数不可能是39，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查平均数、众数、中位数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．众数是数据中出现次数最多的数，中位数是数据从小到大排列后，最中间的数（或中间两数的平均数）是中位数．
11．【分析】先计算同分母分式的减法，再将分子、分母因式分解，最后约分，继而将a+2b＝2代入计算可得．
【解答】解：
＝
＝
＝，
∵a+2b＝8，
∴原式＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的加减法，掌握分式的加减法则是解题关键．
12．【分析】先解不等式组，再解分式方程，从而确定a的取值，进而解决此题．
【解答】解：解不等式组，得，
∵不等式组无解，
∴a﹣1≥3，
∴a≥2，
分式方程，
方程的两边同时乘（y﹣2），
得，ay﹣5﹣y+7＝3，
整理得，（a﹣1）y＝8，
∴，
∵方程有整数解，
∴a﹣4＝±1或±2或±2或±6，
∴a＝2或a＝7或a＝3或a＝﹣1或a＝4或a＝﹣2或a＝7或a＝﹣8，
∵a≥2，y≠2，
∴a≠4，
∴a＝2或a＝3或a＝6，
故选：D．
【点评】本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，熟练掌握不等式组和分式方程的解法是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分。只要求填写最后结果）
13．【分析】直接利用分式有意义则其分母不为零，进而得出答案．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x2﹣4≠0，
∴x≠±7，
故答案为：x≠±2．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件．
14．【分析】根据分子为零且分母不为零，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x﹣3＝0且3x+5≠0，
解得x＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了分式值为零的条件，利用分子为零且分母不为零得出不等式是解题关键．
15．【分析】本题考查了中位数和众数的定义，据中位数的定义，求出a的值，再由一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，可得出答案．
【解答】解：∵按从小到大的顺序排列为2，3，8，a，6，8这组数据的中位数是6，
∴，
解得：a＝6，
这组数据为：2，6，4，6，3，8，
因为6出现的次数最多，故众数为2．
故答案为：6．
【点评】本题考查了中位数和众数，掌握众数和中位数的定义是关键．
16．【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
17．【分析】运用平方差公式进行简便运算．
【解答】解：20232﹣2022×2024
＝20232﹣（2023﹣4）（2023+1）
＝20232﹣（20234﹣12）
＝20234﹣20232+1
＝6．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键．
18．【分析】根据题意列出分式方程，求出解即可得到x的值．
【解答】解：∵分式的值与分式，
∴，
去分母得：3﹣3x+4﹣x＝5，
解得：，
经检验是分式方程的解，
故答案为：．
【点评】此题考查了解分式方程，根据题意列出分式方程，求出解即可得到x的值．
19．【分析】根据完全平方公式变形求出xy的值即可．
【解答】解：∵（x+y）2＝9，（x﹣y）2＝5，
∴（x+y）2＝x3+2xy+y2＝2，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝5，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点评】本题考查分式的值与完全平方公式变形，根据完全平方公式变形求出xy的值即可．
20．【分析】根据上述因式分解的规律进行分解即可．
【解答】解：利用上述系数特点分解因式x2+x﹣6＝（x+3）（x﹣2），
故答案为：（x+3）（x﹣8）．
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，规律型：数字的变化类，理解上述因式分解的规律是解题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，满分70分。解答应写出计算过程、文字说明或推演步骤）
21．【分析】（1）直接提取公因式即可；
（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（3）利用平方差公式分解即可；
（4）原式展开合并后，利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣2ax（x2﹣6x+5）；
（2）原式＝a2（x﹣7y）﹣b2（x﹣5y）
＝（a2﹣b2）（x﹣5y）
＝（a﹣b）（a+b）（x﹣4y）；
（3）原式＝（m2+9n5）（m2﹣9n2）
＝（m2+9n6）（m+3n）（m﹣3n）；
（4）原式＝8x2﹣12xy+4y5﹣（5x2﹣2xy+3y2）
＝3x2﹣4xy+y3
＝（2x﹣y）2．
【点评】本题考查的是分解因式，熟知分解因式的提公因式法和公式法是解题的关键．
22．【分析】（1）先算除法再算减法即可；
（2）先算括号再算除法即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝
＝；
＝；
（2）原式＝
＝
＝．
【点评】该题主要考查了分式的混合运算问题，解题的关键是掌握分式的混合运算法则．
23．【分析】先算括号里，再算括号外，然后把，b＝3代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝，
当，b＝5时．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
24．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1），
去分母得：x+2+x2＝x2﹣6x，
解得：，
检验：当时，x2﹣8x≠0，
∴是分式方程的解；
（2），
去分母得：（x﹣1）7＝（x+1）2+5，
解得：x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，（x+4）（x﹣1）＝0，
∴x＝﹣2是分式方程的增根，原分式方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是关键．
25．【分析】设今年每辆车的销售价格为x万元，则去年的销售价格为（x+2）万元/辆，根据“销售数量与去年一整年的相同”可列方程．
【解答】解：设今年每辆车的销售价格为x万元，
根据题意，得＝，
解得：x＝6．
检验：当x＝8时，x（x+2）≠8 ．
答：今年1﹣5月份每辆车的销售价格为2万元．
【点评】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意，确定相等关系．
26．【分析】（1）利用加权平均数的计算公式、中位数、众数的概念解答；
（2）利用方差的计算公式求出S甲2，根据方差的性质判断即可．
【解答】解：（1）a＝（3+4+4+8+3+8+7+4+10+9）＝7，c＝2；
（2）S甲2＝×[（2﹣7）2×2+（6﹣7）5×2+（7﹣5）2×4+（3﹣7）2×6+（9﹣7）5×1]＝1.8，
则S甲2＜S乙2，
∴甲队员的射击成绩较稳定．
【点评】本题考查的是加权平均数、方差的计算，掌握加权平均数的计算公式、方差的计算公式是解题的关键．
27．【分析】（1）设乙车间每天加工x个吉祥物，则甲车间每天加工1.5x个吉祥物，根据两车间各加工2400个该吉祥物时，甲车间比乙车间少用2天．列出分式方程，解方程即可；
（2）设乙车间加工m天，根据该工厂计划生产15000个这种吉祥物，总加工费用不超过39000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设乙车间每天加工x个吉祥物，则甲车间每天加工1.5x个吉祥物，
由题意得：﹣＝2，
解得：x＝400，
经检验，x＝400是原方程的解，
∴4.5x＝1.7×400＝600，
答：甲车间每天加工600个吉祥物，乙车间每天加工400个吉祥物；
（2）设乙车间加工m天，则甲车间要加工天，
由题意得：1800×+1000m≤39000，
解得：m≥30，
答：乙车间至少加工30天．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
鞋码
38
39
40
41
42
人数
5
3
2
队员
平均/环
中位数/环
众数/环
甲
7
b
7
乙
a
7.5
c