重庆市四川外国语大学附属外国语学校2024-2025学年高三上学期第二次月考（9月）数学试题

这是一份重庆市四川外国语大学附属外国语学校2024-2025学年高三上学期第二次月考（9月）数学试题，共12页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
（满分150分，120分钟完成）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知是定义在上的减函数，则α的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．C．D．
6．出知，，且，，则（ ）
A．或B．或C．D．
7．若函数满足对恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知，，当时，，则的最大值为（ ）
A．B．CD．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．若，，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．命题“，”的否定是“，”
10．已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．当时，是的—个周期
B．将的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，若是奇函数，则的最小值为2
C．若存在，使得，则的取值范围是
D．存在，使得在上单调递减
11．设，用表示不超过的最大整数，则函数被称为高斯函数：例如，，已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数是偶函数
B．函数是周期函数
C．函数的图像关于直线对称
D．方程只有1个实数根
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上）
12．已知是定义在上的奇函数，且当时，．若，则______．
13．已知函数在区间上恰有三个零点，则的取值范围是______．
14．已知函数，，若存在实数使在上有2个零点，则的取值范围为______．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（13分）的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，设
（1）求：
（2）若的面积等于，求的周长的最小值，
16．（15分）某种产品的质量以其质量指标衡量，并依据质量指标值划分等级如表：
从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分布直方图：
（1）根据以上抽样调查的数据，能否认为该企业生产这种产品符合“一、二等品至少要占到全部产品的的规定”？
（2）在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率：
（3）该企业为提高产品的质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值近似满足，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？
17．（15分）已知函数
（1）若，讨论的单调性：
（2）若，已知函数，若恒成立，求a的取值范围，
18．（19分）已知双曲线：的焦距为4，离心率为2．，分别为C的左、右焦点，两点，都在上．
（1）求的方程；
（2）若，求直线AB的方程；
（3）若且，，求四个点，，，所构成的四边形的面积的取值范围．
19．（19分）对于函数，若实数满足，则称为的不动点，已知函数
（1）当时，求证：；
（2）当时，求函数的不动点的个数：
（3）设，证明：
重庆外国语学校9月第二次月考
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题）
1．B2．A．3．B．4．D
5．解：设切点为，对求导可得：，切线的斜率为
可得切线方程为：，把点代入可得
化为，令，，，
函数在上单调递增，在上单调递减，可得时函数取得极大值，．时，，；时，：时，与函数的图象最多有一个交点，不符合题意，舍去，时，由过点可以作曲线的两条切线，与函数的图象有两个交点，，故选：C
6．解：因为，，所以，所以，即．因为，所以．因为，所以
所以，则，
因为，所以．因为，所以．因为，所以，所以，所以．故选：D．
7．解：由，则，即，
故关于对称，又，则由二次函数性质可知在上单调递减，在上单调递增，故对，有，即，即，即，解得或，即不等式的解集为．故选：C．
8．D
9．ACD
10．解：对于A：当时，，可得最小正周期为，可得是的一个周期，正确：对于B：由题意得到，因为是奇函数，所以，解得，，当时，最小此时为2，正确：对于C：因为，当时，，
当时，．又存在，使得，所以当时，，解得：，正确：对于D:存在，若在上单调递减，由复合函数的单调性可得：．因为，所以，故可得：，解得，因为，，则必有．所以同时满足的必然小于0，这与矛盾，错误。故选：ABC．
11．解：根据题意，已知，则函数的定义域为．因为，所以为偶函数．当时，，当时。．当时，，…因为为偶函数，所以函数的图象如下图所示
由可知，在内，
当，时，
当，且，时，
当或，时，，因为，所以为偶函数，则函数的图象如下图所示
显然不是周期函数，故选项A正确，B错误，C错误：
对于方程．当时，方程有一个实数根，当时，，此时，方程没有实数根，当时，，此时，方程没有实数根，所以方程只有1个实数根，故D正确；故选：AD．
12．-2．
13．解：根据题意，可得时，，即分别取，在区间上的零点大小到大排列依次为因为区间上恰有三个零点，所以，解得，即的取值范围是，故答案为：．
14．解：令得，且在上递增，对于，函数图象关于对称，且开口向上。
①当时，显然只有一个交点，不符题意（图①）；
②当时，总能找到，使得两函数有两个交点（图②）；
③当时，的图象的右半部分至多与在轴上方的图象产生两个交点，此时只需研究与的图象即可，事实上，此时过点做的切线，只要是切点落在内即可（图③）．
设切点为，且，所以切线方程为，将代入整理得：，，，令得．易知时，，故在递减．，即，综上可知，当时，存在实数使在上有2个零点．故答案为：
15．解：（1）因为．由正弦定理得，显然，所以．所以，．所以，
（2）依题意，．所以，当且仅当时取等号．又由余弦定理得，，当且仅当时取等号．所以的周长最小值为．
16．解：（1）根据抽样调查数据，一、二等品所占比例的估计值为，由于该估计值小于0.92，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占到全部产品的的规定”；
（2）由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为0.375，0.5和0.125，
故在样本中，一等品3件，二等品4件，三等品1件；
再从这8件产品中随机抽取4件，一、二、三等品都有的情形有2种，
①一等品2件，二等品1件，三等品1件；②一等品1件，二等品2件，三等品1件，
故所求的概率为；
（3）“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为“质量提升月”活动后，产品质量指标值近似满足，则数学期望：所以“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了．
17．解：（1），则．当时，，所以在上单调递增：当时，令，，所以在上单调递增，在上单调递减，综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）由，得，即．
令，则，即不等式在恒成立，
设，则，令，，所以在上单调递减，在上单调递增，则，所以，即实数的取值范围为
18：解（1）由题意，，解得 的方程为；
（2）根据题意知，直线的斜率不为0，设直线的方程为，
，得，、都在右支上，由，得．
由已知可得，，，，
结合，可得，解得，满足，则直线的方程为；
（3），，，且，，
则，分别在双曲线的两支上，不妨设，都在轴上方，
又，则在第二象限，在第一象限，如图所示，
延长交双曲线于点，延长交双曲线于点，由对称性可知，四边形为平行四边形，且面积为四边形的2倍，由题设，直线的方程为，直线的方程为，由（2）可知
，，两条直线与的距离
令，，则在上为单调增函数，，当，即时取最小值12，
四个点，，，所构成的四边形的面积的取值范围是．
19．（1）证明：时，，所以，当且仅当时取等号，所以在上单调递增，所以．
（2）解：当时，，
令，则方程的正实数解的个数就是函数的不动点的个数，令，，则，
当时，，所以在上是单调递增的；
当时，，所以在上是单调递减的；
所以，当时，取得最小值；
因为，，所以方程有2个正实数解，
所以当时，函数有2个不动点，
（3）证明：由（1）知，当时，，即时，
设，，则，即
设，，则所以，
即，所以；
所以
即
质量指标值m
等级
三等品
二等品
一等品