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四川省成都市石室阳安学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题
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这是一份四川省成都市石室阳安学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：每小题5分，满分40分.
1.某校高一年级有810名学生，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为72的样本，则抽取男生和女生的人数分别为40，32，则该校高一年级的女生人数为（ ）
A.450B.360C.400D.320
2.知平面，直线，直线不在平面内，下列说法正确的是（ ）
A.若，，则B.若，，则
C.若，，则D.若，，则
3.某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是（ ）
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A.007B.253C.328D.860
4.某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，抽得10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的75%分位数为（ ）
A.93B.93.5C.94D.94.5
5.已知向量，，若，则（ ）
A.B.0C.1D.2
6.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
A.B.C.D.
7.装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（ ）
A.①B.①②C.②③D.①②③
8.已知事件，互斥，它们都不发生的概率为，且，则（ ）
A.B.C.D.
二、多选题：每小题6分，满分18分.
9.某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（ ）
A.考生参赛成绩的平均分约为72.8分
B.考生参赛成绩的第75百分位数约为82.5分
C.分数在区间内的频率为0.2
D.用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间应抽取30人
10.根据不同年龄段学生身心发展特点，小学生每天睡眠时间应达到10小时，初中生应达到9小时，高中生应达到8小时.某机构调查了1万个学生时间利用信息得出如图所示的折线统计图，则以下判断错误的有（ ）
A.高三年级学生平均学习时间最长
B.中小学生的平均睡眠时间都没有达到标准，其中高中生平均睡眠时间最接近标准
C.大多数年龄段学生平均睡眠时间长于学习时间
D.与高中生相比，大学生平均学习时间大幅下降，释放出的时间基本是在睡眠
11.不透明盒子里装有除颜色外完全相同的2个黑球、3个白球，现从盒子里随机取出2个小球，记事件“取出的两个球是一个黑球、一个白球”，事件“两个球中至多一个黑球”，事件“两个球均为白球”，则（ ）
A.B.C.D.
三、填空题：每小题5分，满分15分.
12.体育课上甲、乙两名同学进行投篮比赛（甲、乙各投篮一次），甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.8，则甲、乙两人恰好有一人投中的概率为______.
13.某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，样本中有39名女员工，女员工的平均体重为，标准差为6；有21名男员工，男员工的平均体重为，标准差为4.则样本中所有员工的体重的标准差为______.
14.已知函数，其中系数、，任取一个函数有零点的概率是______.
四、解答题：15题13分，16－17题15分，18－19题17分，满分77分.
15.如图，在正方体中，是棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）若正方体棱长为2，求三棱锥的体积.
16.已知不透明的盒子中装有标号为1，2，3的小球各2个（小球除颜色､标号外均相同）.
（1）若一次取出3个小球，求取出的3个小球上标号均不相同的概率；
（2）若有放回地先后取出2个小球，求取出的2个小球上标号不相同的概率.
17.为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，重庆市政府积极鼓励居民节约用水.计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中.
（1）求直方图中，的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；
（2）设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由；
（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由.
18.如图，平面，为圆的直径，，分别为棱，的中点.
（1）证明：平面.
（2）证明：平面平面.
19.某校高一年级有男生200人，女生100人.为了解该校全体高一学生的身高信息，按性别比例进行分层随机抽样，抽取总样本为30的样本，并观测样本的指标价（单位：），计算得男生样本的身高平均数为169，方差为39.下表是抽取的女生样本的数据；
记抽取的第个女生的身高为（，2，3，…，10）样本平均数，方差.
参考数据：，，
（1）若用女生样本的身高频率分布情况代替该校高一女生总体的身高频率分布情况，试估计该校高一女生身高在范围内的人数；
（2）用总样本的平均数和标准差分别估计该校高一学生总体身高的平均数和标准差，求，的值；
（3）如果女生样本数据在之外的数据称为离群值，试剔除离群值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差.
成都石室阳安学校2024－2025学年度上期高2023级9月月考
数学参考答案
1.B【详解】由分层抽样可得高一年级的女生人数为.
2.D【详解】因为，对于A，若，，则有可能在平面内，故A错误；
对于B，若，又，则，又，所以或在平面内，故B错误；
对于C，若，，则有可能与平面相交但不垂直，故C错误；
对于D，若，，则，又，则，故D正确.
3.A【详解】从第5行第6列开始向右读取数据，第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，第四个是007，故A正确.
4.A【详解】将比赛得分从小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，因为，所以这组数据的75%分位数是第8个数93.
5.D【详解】，，.因为，所以，则，解得.
6.A【详解】依题意在12组随机数中三次投篮恰有两次命中的有：137，271，436共3个，所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率
7.B【详解】解：设事件｛装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球｝，则所以包含的基本事件为：{（红，红），（红，白），（红，黑），（白，白），（白，黑），（黑，黑）}，
事件{两球都不是白球}={（红，红），（红，黑），（黑，黑）}；
事件{两球恰有一个白球｝={（红，白），（白，黑）}，
事件{两球至少有一个白球}={（红，白），（白，白），（白，黑）}，
事件{两球都为白球}={（白，白）}，
由互斥事件及对立事的定义可知事件与事件与是互斥而非对立的事件.
8.D【详解】由题可知，，
又，所以，解得，所以.
9.BC【详解】对于A，平均成绩为，A错误；对于B，由频率分布直方图知，分数在内的频率为0.7，在内的频率为0.9，因此第75百分位数位于内，第75百分位数为，B正确；对于C，分数在区间内的频率为，C正确；对于D，区间应抽取人，D错误.
10.AD【详解】对于选项A：根据图象可知，高三年级学生平均学习时间没有高二年级学生平均学习时
间长，故A错误；对于选项B：根据图象可知，中小学生的平均睡眠时间都没有达到标准，其中高中生平均睡眠时间最接近标准，故B正确；
对于选项C：根据图象可知，学习时间长于睡眠时间的有初二、初三、高一、高二、高三，占比为，睡眠时间长于学习时间的占比为，所以大多数年龄段学生平均睡眠时间长于学习时间，故C正确；
对于选项D：从高三到大学一年级，学习时间减少了（小时/天），睡眠时间增加了（小时/天），故D错误.
11.AB【详解】记3个白球为，，，2个黑球为，，随机取出2个小球的事件如下，，，，，，，，，，，
事件对应的基本事件有，，，，，，所以，故A正确；事件对应的基本事件有，，，，，，，，，所以，事件对应的基本事件有，，，所以，又，故D错误；
其中对应的基本事件有，，，，，，，，，所以，故B正确；
对应的基本事件有，，，，，，所以，故C错误.
【详解】记“甲投中”，“乙投中”，则，，，，所以甲、乙两人恰好有一人投中的概率为.
13.【详解】依题意样本中所有员工的体重的平均值为，则样本中所有员工的体重的方差，所以样本中所有员工的体重的方差为120，标准差为.
14.【详解】由已知，函数解析式共有种不同的情况，若函数有零点，则相应的一元二次方程的，即，所以有，；，；，；，；，；，共6种情况，由古典概型概率公式可得.
15.【详解】（1）连接交于，连接，
因为在正方体中，底面是正方形，
则是的中点，又是的中点，
则是的中位线，
故，又面，面，
所以平面
（2）因为正方体中，平面，
所以.
16.【详解】（1）分别记6个小球为，，，，，，从中任取3个小球有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种.
3个小球上标号均不相同的有：，，，，，，，，共8种，所以取出的3个小球上标号均不相同的概率为.
（2）每次取球都有6种取法，所以总的取法有种取法.2个小球上标号相同的取法有：，，，，，，，，，，，共12种取法，所以2个小球上标号相同的概率为，所以取出的2个小球上标号不相同的概率.
17.【详解】（1）由频率分布直方图可得寻，
又，则，，
该市居民用水的平均数估计为：
（2）由频率分布直方图可得，月均用水量不超过2吨的频率为：，
则月均用水量不低于2吨的频率为：，
所以全市40万居民中月均用水量不低于2吨的人数为：（万）；
（3）由频率分布直方图知月均用水量不超过6吨的频率为：0.88，月均用水量不超过5吨的频率为0.73，则85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），，，解得，即标准为5.8吨.
18.【详解】（1）因为，分别为棱，的中点，
所以，因为平面，平面，所以平面；
（2）因为为圆的直径，所以.
因为平面，平面，
所以，又，，平面，
所以平面，
由（1）知，所以平面，
又平面，所以平面平面.
19.【详解】（1）因女生样本中，身高在范围内的占比为，
故该校高一女生身高在范围内的人数估计为；
（2）记总样本的平均数为，标准差为，
由题意，设男生样本（20人）的身高平均数为，方差为，
女生样本（10人）的身高平均数为，方差，
则，，
故，；
（3），，则，即，约为，
由样本数据知，，为离群值，
剔除169后，女生样本（9人）的身高平均数为：；
由可得，，
则剔除169后，女生样本（9人）的身高的方差为：抽取次序
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
身高
155
158
156
157
160
161
159
162
169
163
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
D
A
A
D
A
B
D
BC
AD
AB
一、单选题：每小题5分，满分40分.
1.某校高一年级有810名学生，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为72的样本，则抽取男生和女生的人数分别为40，32，则该校高一年级的女生人数为（ ）
A.450B.360C.400D.320
2.知平面，直线，直线不在平面内，下列说法正确的是（ ）
A.若，，则B.若，，则
C.若，，则D.若，，则
3.某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是（ ）
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A.007B.253C.328D.860
4.某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，抽得10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的75%分位数为（ ）
A.93B.93.5C.94D.94.5
5.已知向量，，若，则（ ）
A.B.0C.1D.2
6.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
A.B.C.D.
7.装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（ ）
A.①B.①②C.②③D.①②③
8.已知事件，互斥，它们都不发生的概率为，且，则（ ）
A.B.C.D.
二、多选题：每小题6分，满分18分.
9.某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（ ）
A.考生参赛成绩的平均分约为72.8分
B.考生参赛成绩的第75百分位数约为82.5分
C.分数在区间内的频率为0.2
D.用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间应抽取30人
10.根据不同年龄段学生身心发展特点，小学生每天睡眠时间应达到10小时，初中生应达到9小时，高中生应达到8小时.某机构调查了1万个学生时间利用信息得出如图所示的折线统计图，则以下判断错误的有（ ）
A.高三年级学生平均学习时间最长
B.中小学生的平均睡眠时间都没有达到标准，其中高中生平均睡眠时间最接近标准
C.大多数年龄段学生平均睡眠时间长于学习时间
D.与高中生相比，大学生平均学习时间大幅下降，释放出的时间基本是在睡眠
11.不透明盒子里装有除颜色外完全相同的2个黑球、3个白球，现从盒子里随机取出2个小球，记事件“取出的两个球是一个黑球、一个白球”，事件“两个球中至多一个黑球”，事件“两个球均为白球”，则（ ）
A.B.C.D.
三、填空题：每小题5分，满分15分.
12.体育课上甲、乙两名同学进行投篮比赛（甲、乙各投篮一次），甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.8，则甲、乙两人恰好有一人投中的概率为______.
13.某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，样本中有39名女员工，女员工的平均体重为，标准差为6；有21名男员工，男员工的平均体重为，标准差为4.则样本中所有员工的体重的标准差为______.
14.已知函数，其中系数、，任取一个函数有零点的概率是______.
四、解答题：15题13分，16－17题15分，18－19题17分，满分77分.
15.如图，在正方体中，是棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）若正方体棱长为2，求三棱锥的体积.
16.已知不透明的盒子中装有标号为1，2，3的小球各2个（小球除颜色､标号外均相同）.
（1）若一次取出3个小球，求取出的3个小球上标号均不相同的概率；
（2）若有放回地先后取出2个小球，求取出的2个小球上标号不相同的概率.
17.为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，重庆市政府积极鼓励居民节约用水.计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中.
（1）求直方图中，的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；
（2）设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由；
（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由.
18.如图，平面，为圆的直径，，分别为棱，的中点.
（1）证明：平面.
（2）证明：平面平面.
19.某校高一年级有男生200人，女生100人.为了解该校全体高一学生的身高信息，按性别比例进行分层随机抽样，抽取总样本为30的样本，并观测样本的指标价（单位：），计算得男生样本的身高平均数为169，方差为39.下表是抽取的女生样本的数据；
记抽取的第个女生的身高为（，2，3，…，10）样本平均数，方差.
参考数据：，，
（1）若用女生样本的身高频率分布情况代替该校高一女生总体的身高频率分布情况，试估计该校高一女生身高在范围内的人数；
（2）用总样本的平均数和标准差分别估计该校高一学生总体身高的平均数和标准差，求，的值；
（3）如果女生样本数据在之外的数据称为离群值，试剔除离群值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差.
成都石室阳安学校2024－2025学年度上期高2023级9月月考
数学参考答案
1.B【详解】由分层抽样可得高一年级的女生人数为.
2.D【详解】因为，对于A，若，，则有可能在平面内，故A错误；
对于B，若，又，则，又，所以或在平面内，故B错误；
对于C，若，，则有可能与平面相交但不垂直，故C错误；
对于D，若，，则，又，则，故D正确.
3.A【详解】从第5行第6列开始向右读取数据，第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，第四个是007，故A正确.
4.A【详解】将比赛得分从小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，因为，所以这组数据的75%分位数是第8个数93.
5.D【详解】，，.因为，所以，则，解得.
6.A【详解】依题意在12组随机数中三次投篮恰有两次命中的有：137，271，436共3个，所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率
7.B【详解】解：设事件｛装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球｝，则所以包含的基本事件为：{（红，红），（红，白），（红，黑），（白，白），（白，黑），（黑，黑）}，
事件{两球都不是白球}={（红，红），（红，黑），（黑，黑）}；
事件{两球恰有一个白球｝={（红，白），（白，黑）}，
事件{两球至少有一个白球}={（红，白），（白，白），（白，黑）}，
事件{两球都为白球}={（白，白）}，
由互斥事件及对立事的定义可知事件与事件与是互斥而非对立的事件.
8.D【详解】由题可知，，
又，所以，解得，所以.
9.BC【详解】对于A，平均成绩为，A错误；对于B，由频率分布直方图知，分数在内的频率为0.7，在内的频率为0.9，因此第75百分位数位于内，第75百分位数为，B正确；对于C，分数在区间内的频率为，C正确；对于D，区间应抽取人，D错误.
10.AD【详解】对于选项A：根据图象可知，高三年级学生平均学习时间没有高二年级学生平均学习时
间长，故A错误；对于选项B：根据图象可知，中小学生的平均睡眠时间都没有达到标准，其中高中生平均睡眠时间最接近标准，故B正确；
对于选项C：根据图象可知，学习时间长于睡眠时间的有初二、初三、高一、高二、高三，占比为，睡眠时间长于学习时间的占比为，所以大多数年龄段学生平均睡眠时间长于学习时间，故C正确；
对于选项D：从高三到大学一年级，学习时间减少了（小时/天），睡眠时间增加了（小时/天），故D错误.
11.AB【详解】记3个白球为，，，2个黑球为，，随机取出2个小球的事件如下，，，，，，，，，，，
事件对应的基本事件有，，，，，，所以，故A正确；事件对应的基本事件有，，，，，，，，，所以，事件对应的基本事件有，，，所以，又，故D错误；
其中对应的基本事件有，，，，，，，，，所以，故B正确；
对应的基本事件有，，，，，，所以，故C错误.
【详解】记“甲投中”，“乙投中”，则，，，，所以甲、乙两人恰好有一人投中的概率为.
13.【详解】依题意样本中所有员工的体重的平均值为，则样本中所有员工的体重的方差，所以样本中所有员工的体重的方差为120，标准差为.
14.【详解】由已知，函数解析式共有种不同的情况，若函数有零点，则相应的一元二次方程的，即，所以有，；，；，；，；，；，共6种情况，由古典概型概率公式可得.
15.【详解】（1）连接交于，连接，
因为在正方体中，底面是正方形，
则是的中点，又是的中点，
则是的中位线，
故，又面，面，
所以平面
（2）因为正方体中，平面，
所以.
16.【详解】（1）分别记6个小球为，，，，，，从中任取3个小球有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种.
3个小球上标号均不相同的有：，，，，，，，，共8种，所以取出的3个小球上标号均不相同的概率为.
（2）每次取球都有6种取法，所以总的取法有种取法.2个小球上标号相同的取法有：，，，，，，，，，，，共12种取法，所以2个小球上标号相同的概率为，所以取出的2个小球上标号不相同的概率.
17.【详解】（1）由频率分布直方图可得寻，
又，则，，
该市居民用水的平均数估计为：
（2）由频率分布直方图可得，月均用水量不超过2吨的频率为：，
则月均用水量不低于2吨的频率为：，
所以全市40万居民中月均用水量不低于2吨的人数为：（万）；
（3）由频率分布直方图知月均用水量不超过6吨的频率为：0.88，月均用水量不超过5吨的频率为0.73，则85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），，，解得，即标准为5.8吨.
18.【详解】（1）因为，分别为棱，的中点，
所以，因为平面，平面，所以平面；
（2）因为为圆的直径，所以.
因为平面，平面，
所以，又，，平面，
所以平面，
由（1）知，所以平面，
又平面，所以平面平面.
19.【详解】（1）因女生样本中，身高在范围内的占比为，
故该校高一女生身高在范围内的人数估计为；
（2）记总样本的平均数为，标准差为，
由题意，设男生样本（20人）的身高平均数为，方差为，
女生样本（10人）的身高平均数为，方差，
则，，
故，；
（3），，则，即，约为，
由样本数据知，，为离群值，
剔除169后，女生样本（9人）的身高平均数为：；
由可得，，
则剔除169后，女生样本（9人）的身高的方差为：抽取次序
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
身高
155
158
156
157
160
161
159
162
169
163
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
D
A
A
D
A
B
D
BC
AD
AB
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