上海市杨浦高级中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷

这是一份上海市杨浦高级中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷，共13页。

一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.不等式的解集是__________.
2.已知集合，，若，则实数的取值范围是__________.
3.若平面向量，，，则向量，的夹角为__________.
4.在的展开式中（其中是正整数），各项的系数和为729，则项的系数为__________.
5.已知函数是奇函数，当时，，当时，__________.
6.已知（是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，则__________.
7.等差数列的首项，公差为，若，则__________.
8.已知，，是不同的平面，l，m，n是不同的直线，下列命题中：
（1）若，，，则；（2）若，，，则；
（3）若，，，则且；（4）若，，，则，所有真命题的序号是__________.
9.已知是第二象限角终边上的一个点，且，将OP绕原点O顺时针旋转至，则点的坐标为__________.
10.如图，沿东西方向相距4海里的两个小岛A，B，岛上按照了信号接收塔，舰艇P沿着某种确定的圆锥曲线轨迹航行，A，B是曲线的焦点，当P在小岛B正北方向处时，测得距小岛B3海里.当舰艇航行至小岛B西偏南60°的处时，测得距小岛B1.5海里.在以线段AB中点为圆心，1海里为半径的圆形海域内布满暗礁（不包含边界），舰艇P在航行的过程中，会放下巡逻船Q，巡逻船在以PB为直径的圆域内全面巡逻，舰长认为不会有触礁的风险，理由是__________.
11.已知正数a，b，c满足，，则的最小值为__________.
12.已知数列是有无穷项的等差数列，，公差，若满足条件：①38是数列的项；②对任意的正整数，，都存在正整数，使得.则满足这样的数列的个数是__________种.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑，
13.函数的最小正周期是（ ）
A.B.C.D.
14.下列函数在区间上为严格减函数的是（ ）
A.B.C.D.
15.在正方体中，，点是线段AB上靠近点的三等分点，在三角形内有一动点（包括边界）则的最小值是（ ）
A.2B.C.3D.
16.已知点P，Q分别是抛物线和圆上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（ ）
A.6B.C.D.
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知等差数列的公差，前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前2n项和.
18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“准奇函数”.
（1）已知函数，试问是否为“准奇函数”？说明理由：
（2）若为定义在上的“准奇函数”，试求实数的取值范围.
19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，在圆锥PO中，AC为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，点在线段BC上，，.
（1）证明：平面BOP；
（2）若圆锥PO的侧面积为，求二面角的余弦值.
20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知函数，其中为实常数.
（1）若，解关于的方程；
（2）讨论函数的奇偶性；
（3）当时，用定义证明函数在上是严格增函数，并解不等式.
21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
中国古典园林洞门、洞窗具有增添园林意境，丰富园林文化内涵的作用，门、窗装饰图案成为园林建筑中具有文化价值以及文化内涵的装饰.如图1所示的一种椭圆洞窗，由椭圆和圆组成，，是椭圆的两个焦点，圆以线段为直径，
图1 图2 图3
（1）设计如图所示的洞窗，椭圆的离心率应满足怎样的范围？
（2）经测量椭圆的长轴为4分米，焦距为2分米.
（i）从射出的任意一束光线照在左侧距椭圆中心4坟墓的竖直墙壁上，如图2所示.建模小组的同学用长绳拉出椭圆洞窗的切线AB，B为切点，然后用量角器探究猜测是定值，请帮他们证明上述猜想.
（ii）建模小组的同学想设计一个如图3的四边形装饰，满足：点是上的一个动点，P，Q关于原点对称，过和分别做圆的切㦱，交于R，S，求四边形装饰面积的取值范围.
2024-2025学年上海市杨浦高级中学高三年级上学期高三
开学考数学试卷参考答案
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.【答案】
【解析】或或.
2.【答案】
【解析】，，.
3.【答案】
【解析】，，.
4.【答案】60
【解析】由题意知，则项的系数为.
5.【答案】
【解析】设，则，则.
6.【答案】
【解析】由题意知另一个根为，则，.
7.【答案】
【解析】，.
8.【答案】（3）（4）
【解析】（1）错误，直线m需要属于平面；（2）两直线还可以是异面，故错误；
（3）正确；（4）正确.
9.【答案】
【解析】设，
（舍），，
，，
.
10.【答案】无论P在何处，以PB为直径的圆均与布满暗礁的圆外切
【解析】以AB所在的轴为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则
，，由题意知，，，
，，，
则可知舰艇航行的轨迹方程是双曲线，且，，
则方程为，暗礁区域的圆心为，半径为1，
设，以PB为直径的圆域内全面巡逻，设圆心为，则圆心，
半径为，则，
则无论在何处，以PB为直径的圆均与布满暗礁的圆外切.
11.【答案】2
【解析】由题意知，当时取等号，故，当时取等号，
综上，当，，时，的最小值为2.
12.【答案】69
【解析】根据题意，设是数列中的任意一项，则，均是中的项，
设，，则，
因为，所以，即数列的每一项均是整数，
所以数列的每一项均是自然数，则为整数，而，则是正整数，
由题意，设，则是数列中的项，故是数列中的项，
设，则，
变形可得：，
因为，且，故是的约数，
所以、2、19、37、、、、，
当时，，得、2、…、38、39，
故、37、…2、1、0，共39种可能；
当时，，得、2、…、18、19、20，
故、36、…2、0，共20种可能；
当时，，得、2、3，
故、19/0，共3种可能；
当时，，得、2，
故、1，共2种可能；
当时，，得，故，共1种可能；
当时，，得，故，共1种可能；
当时，，得，故，共1种可能；
当时，，得，故，共1种可能；
综上，满足题意的数列共有种.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）
每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13.【答案】A
14.【答案】C
【解析】由基本初等函数的单调性即可得C，故选C.
15.【答案】C
【解析】如图，以D为坐标原点，分别以DA、DC、所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
由正方体的对称性可知，平面，，，，
设关于平面的对称点为，，，
由等体积法求得到平面的距离，，则.
设，则，即，
，可得的最小值是.故选：C.
16.【答案】C
【解析】设点的坐标为，是轴上一点，
由抛物线的性质知点的坐标为，则，，
令，则，
将，代入化简得，即点满足，
所以，
设点坐标为，，
所以.故选：C.
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.【答案】（1）（2）
【解析】（1）由，，可得，，
即，由于，可得，，
解得，，则.
（2），
可得数列的前2n项和.
18.【答案】（1）不是；（2）
【解析】（1）要想为“准奇函数”，存在满足，
只需有解，整理得：无解，
不是“准奇函数”.
（2）因为为定义在的“准奇函数”，
所以在上有解，即在上有解，
令，在上有解，
又对勾函数在上单调递减，在上单调递增，且时，；时，，
，的值域为，，解得，
故实数的取值范围是.
19.【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）因为平面，，故以为坐标原点，
为轴正方向，为轴正方向，与同向的方向为轴正方向，
建立空间直角坐标系，设，
故，，，，，
则，，，
因为，，
故，，又，所以平面.
（2）由题意，圆锥侧面积，所以，，
由（1）知，为平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，而，
故，取，可得，
则，即二面角的余弦值为.
20.【答案】（1）或；（2）见解析；（3）
【解析】（1）由题意，，，
由可得或，或.
（2）函数定义域，
①当为奇函数时，，
，，；
②当为偶函数时，，
，，.
③当时，函数为非奇非偶函数，
（3）当时，，任取，，设，
，
又，，所以，故，即，
函数在上是严格增函数，因此，
解集为.
21.【答案】（1）；（2）（i）见解析；（ii）
【解析】（1）由题意可知椭圆满足，
故.
（2）（i）由测量数据可得，，
故，，墙壁所在直线，
易知直线斜率存在，设，可得，
设切线，联立，
则，
相切可得，
则，
则，
切点，
，
故，，，，
故，则.
（ii）设动点，则，不妨设过点的两条切线法向量为，
过点的两条切线法向量为，均为非零向量，
故切线方程为和，
则满足和.
由此可知两组切线分别对应平行，四边形是平行四边形，过圆心做一组邻边的垂线，由全等三角形进一步可证明平行四边形是菱形.
下面研究菱形的面积：
过作PR的垂线GH，则，由，
设，则有：，解得，则，
其中的取值范围是，
设，在上是单调函数，故的取值范围是.