初中数学人教版（2024）八年级上册13.1.1 轴对称单元测试巩固练习

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册13.1.1 轴对称单元测试巩固练习，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时间:60分钟 满分:100分
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)

1.(2022·辽宁盘锦双台子区期末)下列由黑白棋子摆成的图案中,是轴对称图形的是( )
A B C D
2.(2022·福建福州鼓楼区期中改编)在平面直角坐标系中,若点(2,m)与点(n,3)关于x轴对称,则(m+n)2 023的值为( )
A.0 B.-1 C.1 D.32 023
3.如图是3×3的正方形网格,其中已有2个小方格被涂成了黑色.现在要从编号为①—④的小方格中选出1个也涂成黑色,使黑色部分依然是轴对称图形,不能选择的是( )
A.① B.② C.③ D.④
4.(2022·四川遂宁期末)若等腰三角形的一个外角等于70°,则它的底角的度数为( )
A.35° B.70° C.110° D.55°
5.(2022·河南周口期末)元旦联欢会上,同学们玩抢凳子游戏,在与A,B,C三名同学距离相等的位置放一个凳子,谁先抢到凳子谁获胜.如果将A,B,C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点,那么凳子应该放在△ABC的( )
A.三边中线的交点处
B.三边垂直平分线的交点处
C.三边上高的交点处
D.三条角平分线的交点处
6.(2022·山东菏泽期中)如图,在△ABC中,AB=AC,AD,BE分别是△ABC的中线和角平分线.若∠CAD=20°,则∠ABE的度数为( )
A.20°B.35°C.40°D.70°

(第6题) (第7题)
7.如图,直线a,b相交形成的夹角中,锐角为52°,交点为O,点A在直线a上,直线b上存在点B,使以点O,A,B为顶点的三角形是等腰三角形,这样的点B有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
8.(2022·广东广州天河区期末)在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,若按如图所示的尺规作图方法作出线段BD,则下列结论错误的是( )
A.AD=BD
B.∠BDC=72°
C.S△ABD∶S△BCD=BC∶AC
D.△BCD的周长=AB+BC
9.(2022·山东烟台期末)如图,∠AOB=60°,点P在射线OA上,OP=22,点M,N在射线OB上(点M在点N的左侧),且PM=PN.若MN=4,则OM的长为( )
A.7 B.8 C.9 D.11

(第9题) (第10题)
10.(2022·辽宁大连期末)如图,∠ABC=30°,点D是∠ABC内部的一点,连接BD.若BD=1m,点E,F分别是边BA,BC上的动点,则△DEF的周长的最小值为( )
B.1m D.2m
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
11.新风向 开放性试题汉字是世界上最古老的文字之一,字形结构体现人类追求均衡对称、和谐稳定的天性,黑体的汉字“王”“中”“田”等都是轴对称图形,请再写出两个这样的汉字: .
12.(2022·安徽合肥庐阳区期末改编)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,线段AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连接BE.若CE=3,则AE= .

(第12题) (第13题)
13.如图,在△ABC中,AB=AD=DC,若∠BAD=24°,则∠C的度数为 .
14.新风向 新定义试题(2021·江苏苏州期末)定义:等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值k(k>1)称为这个等腰三角形的优美比.若在等腰三角形ABC中,
∠A=36°,则它的优美比为 .
15.(2022·河南济期末)在平面直角坐标系中,对△ABC进行如图所示的轴对称变换.若原来点A的坐标是(a,b),则经过第2 023次变换后,点A所对应的坐标是 .
16.(2021·北京西城区期末)如图,△ABC是等边三角形,AD⊥BC于点D,DE⊥AC于点E.若AD=12,则△EDC与△ABC的面积比是 .
选择填空题答题区
三、解答题(共6小题,共52分)
17.(6分)(2022·湖北十堰期末节选)如图,△ABC的顶点A,B,C都在小正方形的格点上,利用网格线按下列要求画图.
(1)画出△A1B1C1,使它与△ABC关于直线l成轴对称;
(2)在直线l上找一点P,使点P到点A,B的距离之和最短.(要求:不写作法,保留作图痕迹)
18.(8分)(2022·湖北十堰郧阳区期中改编)某市发生地震后,为了抢救伤员,一架救援直升机从该市A地起飞,运送一批地震伤员沿正北方向到机场N,如图.上午8时,直升机从A地出发,以200 km/h的速度向正北方向飞行,9时到达B地,此时,机场的导航站传来信息:在C处有一座高山,因受天气影响,高山周围80 km内能见度低,飞行时会遇到危险.经测量得∠NAC=15°,∠NBC=30°.问该直升机继续向机场N飞行是否有危险,请说明理由.
19.(8分) 新风向 开放性试题(2022·江苏南京鼓楼区期中)证明:有两个角相等的三角形是等腰三角形.
已知:如图,在△ABC中, .
求证: .
证明:
20.(8分)如图,在等边三角形ABC的外侧作直线AP,点C关于直线AP的对称点为点D,连接AD,BD,其中BD交直线AP于点E.
(1)依题意补全图形;
(2)若∠PAC=15°,求∠AEB的度数;

21.(10分)新风向 探究性试题(2022·河北石家庄裕华区期末)
【问题】如图,在△ABC中,点D为BC边上一点,BD=BA.EF垂直平分AC,交AC于点E,交BC于点F,连接AD,AF.若∠B=30°,∠BAF=90°,求∠DAC的度数.
【探究】如果把【问题】中的条件“∠B=30°”去掉,其他条件不变,那么∠DAC的度数会变吗?请说明理由.
22.(12分)如图,在△ABC中,AB=BC=AC=12 cm,现有两点M,N分别从点A,B同时出发,沿三角形的边运动,已知点M的速度为1 cm/s,点N的速度为2 cm/s.当点N第一次到达点B时,M,N同时停止运动.
(1)当点M,N运动几秒时,M,N两点重合?
(2)当点M,N运动几秒时,可得到等边三角形AMN?
(3)当点M,N在BC边上运动时,能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN?如果能,请求出此时M,N运动的时间.
第十三章 轴对称
选择填空题答案速查
1.D
高分锦囊
判断一个图形是不是轴对称图形,关键看能否找到这样一条直线,使这个图形沿这条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合.
2.B ∵点(2,m)与点(n,3)关于x轴对称,∴m=-3,n=2,∴(m+n)2 023=(2-3)2 023=-1.
3.D
图示速解 如图,将编号为④的小方格涂成黑色,黑色部分不是轴对称图形.
4.A 由题意可得,与等腰三角形的这个外角相邻的内角等于110°.∵三角形的内角和为180°,∴底角不可能等于110°,∴底角度数为12×(180°-110°)=35°.
5.B ∵三角形的三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等,∴凳子应放在△ABC的三边垂直平分线的交点处.
6.B ∵AD是△ABC的中线,AB=AC,∠CAD=20°,
【关键】等腰三角形的“三线合一”
∴∠CAB=2∠CAD=40°,∴∠ABC=12×(180°-40°)=70°.∵BE是△ABC的角平分线,∴∠ABE=12∠ABC=35°.
一题多解
∵AD是△ABC的中线,AB=AC,∠CAD=20°,∴AD⊥BC,∴∠C=90°-20°=70°,
∴∠ABC=∠C=70°.又BE是△ABC的角平分线,∴∠ABE=12∠ABC=35°.
7.A
图示速解 如图,要使△OAB为等腰三角形,应分三种情况讨论:①当OB=AB时,作线段OA的垂直平分线,与直线b的交点为B1;②当OA=AB时,以点A为圆心,OA的长为半径作圆,与直线b交于点B2;③当OA=OB时,以点O为圆心,OA的长为半径作圆,与直线b交于点B3,B4.故选A.
8.C ∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°.由作图痕迹可知BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠ABD=∠A=36°,
【关键】由尺规作图可以得出BD平分∠ABC
∴AD=BD,∠BDC=72°.故A,B选项不符合题意.由以上可知∠C=∠BDC,∴BD=BC,∴AD=BC.∵S△ABD∶S△BCD=AD∶CD,∴S△ABD∶S△BCD=BC∶CD.
【关键】两三角形同高不同底
故C选项符合题意.∵BD=AD,△BCD的周长=BC+CD+BD,∴△BCD的周长=BC+CD+AD=BC+AC=AB+BC.故D选项不符合题意.
C 如图,过点P作PC⊥OB于点C,
∵∠AOB=60°,∴∠OPC=90°-∠AOB=30°.∵OP=22,∴OC=12OP=11.∵PM=PN,MN=4,∴MC=12MN=2,∴OM=OC-MC=11-2=9.
10.B (转化思想)如图,作点D关于AB的对称点G,作点D关于BC的对称点H,连接GH交AB于点E,交BC于点F,此时△DEF的周长有最小值,连接GB,BH.由线段垂直平分线的性质可得,GE=ED,DF=FH,由轴对称的性质得BG=BD,BD=BH,∴ED+DF+EF=GE+EF+FH=GH,此时△DEF的周长最小值为GH.∵∠GBA=∠ABD,∠DBC=∠CBH,BD=m,∴∠GBH=2∠ABC=2×30°=60°,∴△GBH是等边三角形,∴GH=BG=BD=m,∴△DEF的周长的最小值为m.
【关键】发现△GBH是等边三角形
11.甲,本(答案不唯一,只要是轴对称图形即可)
12.6 ∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠CBA=60°.∵DE是线段AB的垂直平分线,
∴BE=AE,∴∠ABE=∠A=30°,∴∠CBE=60°-30°=30°.
∵∠C=90°,CE=3,∴BE=2CE=2×3=6,∴AE=6.
13.39° ∵AB=AD,∠BAD=24°,∴∠B=∠ADB=12×(180°-24°)=78°.
又AD=DC,∴∠C=∠CAD=12∠ADB=12×78°=39°.
14.2 (分类讨论思想)当∠A为顶角时,则底角∠B=∠C=72°,此时,优美比=72°36°=2;当∠A为底角时,则顶角为108°,此时,优美比=36°108°=13(不合题意,舍去).
15.(-a,b) 第1次变换后,点A在第四象限;第2次变换后,点A在第三象限;第3次变换后,点A在第二象限;第4次变换后,点A在第一象限,回到原始位置,…,以此类推,每4次变换为一组循环.因为2 023÷4=505……3,所以第2 023次变换后,点A在第二象限,坐标为(-a,b).
16.18 ∵△ABC是等边三角形,∴∠C=∠BAC=60°.
∵AD⊥BC,∴BD=CD,∠DAC=12∠BAC=30°.∵AD=12,∴DE=12AD=6.∵DE⊥AC,∴∠EDC=90°-∠C=90°-60°=30°,∴EC=12DC,∴BC=4EC.∵S△EDC=12ED·EC=12×6×EC=3EC,
S△ABC=12AD×BC=12×12×BC=6BC=24EC,∴S△EDCS△ABC=3EC24EC=18.
17.【参考答案】(1)如图,△A1B1C1即为所求作.(3分)
(2)如图,点P即为所求作.(6分)
18.【参考答案】该直升机继续向机场N飞行无危险.(1分)
理由:如图,过点C作CD⊥AN于点D,
∵∠NAC=15°, ∠NBC=30°,
∴∠ACB=15°,CD=12BC,
∴∠ACB=∠NAC,
∴BC=AB.(5分)
由题意可得,AB=200 km,
∴BC=200 km,
∴CD=100 km.
∵100>80,
∴该直升机继续向机场N飞行无危险.(8分)
19.【参考答案】已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C.(2分)
求证:△ABC是等腰三角形.(4分)
证明:如图,过点A作AD⊥BC,垂足为点D.
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°.
在△ABD和△ACD中,
∠B=∠C,∠ADB=∠ADC,AD=AD,
∴△ABD≌△ACD(AAS),
∴AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形.(8分)
20.【参考答案】(1)补全图形如图所示.
(3分)
(2)在等边三角形ABC中,
AC=AB,∠BAC=60°.
由对称可知AD=AC,∠PAD=∠PAC=15°,
∴∠BAD=90°,AB=AD,
∴∠ABD=∠D=45°,
∴∠AEB=∠D+∠PAD=60°.(8分)
21.思路导图
【参考答案】【问题】
∵AB=BD,∠B=30°,
∴∠BAD=∠ADB=180°-30°2=75°.
∵∠BAF=90°,
∴∠AFB=90°-30°=60°.
∵EF垂直平分AC,
∴∠CAF=∠C.
∵∠AFB=∠C+∠CAF=2∠C,
∴∠C=∠CAF=12∠AFB=30°,
∴∠CAD=∠ADB-∠C=75°-30°=45°.(5分)
【探究】不变.(6分)
理由:∵AB=BD,
∴∠BAD=∠ADB=180°-∠B2=90°-12∠B.
∵∠BAF=90°,
∴∠AFB=90°-∠B.
∵EF垂直平分AC,
∴∠CAF=∠C.
∵∠AFB=∠C+∠CAF=2∠C,
∴∠C=∠CAF=12∠AFB=45°-12∠B,
∴∠CAD=∠ADB-∠C=90°-12∠B-(45°-12∠B)=45°.(10分)
22.【参考答案】(1)设当点M,N运动x s时,M,N两点重合,
由题意,可得x×1+12=2x,解得x=12.
故当点M,N运动12 s时,M,N两点重合.(2分)
(2)设当点M,N运动t s时,可得到等边三角形AMN,
此时AM=t,AN=AB-BN=12-2t,
∴t=12-2t,解得t=4.(4分)
故当点M,N运动4 s时,可得到等边三角形AMN.(5分)
(3)当点M,N在BC边上运动时,能得到以MN为底边的等腰三角形.(6分)
若△AMN是以MN为底边的等腰三角形,则AN=AM,
∴∠AMN=∠ANM,
∴∠AMC=∠ANB.
∵在△ABC中,AB=BC=AC,
∴△ACB是等边三角形,
∴∠C=∠B=60°.(8分)
在△ACM和△ABN中,
∠AMC=∠ANB,∠C=∠B,AC=AB,
∴△ACM≌△ABN,
∴CM=BN.(10分)
设当点M,N运动时间为y s时,△AMN是以MN为底边的等腰三角形,
∴CM=y-12,NB=36-2y,
∴y-12=36-2y,
解得y=16.
故能得到以MN为底边的等腰三角形AMN,此时M,N运动的时间为16 s.(12分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
填空
11.
12.
13.
14.
15.
16.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
B
D
A
B
B
A
C
C
B
11.甲,本(答案不唯一)
12.6
13.39°
14.2
15.(-a,b)
16.18