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数学人教版（2024）第五章 一元一次方程5.1 方程教案设计
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这是一份数学人教版（2024）第五章 一元一次方程5.1 方程教案设计，共12页。
课时目标
1.通过引入实际问题情境,让学生在算式、代数两种方式下解决问题,体会由算术到代数是数学的一大进步,从而培养学生分析、归纳和抽象概括的思维能力,初步认识建立数学模型的思想.
2.经历用含有未知数的等式表示实际问题中的相等关系,感悟方程的现实意义,理解方程的概念,培养学生获取信息、分析问题、处理问题的能力,提升方程模型的应用意识.
3.通过数学背景材料,让学生理解并掌握方程、一元一次方程及其相关概念的内涵,培养学生的阅读理解、拓展探究的能力,增强学生的数学应用意识,调动学生学习数学的主动性.
学习重点
寻找相等关系列出方程,方程、一元一次方程及其相关概念.
学习难点
寻找相等关系列出方程的意识和过程.
课时活动设计
情境引入
问题:甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发.甲队从距大本营1 km的一号营地出发,每小时行进1.2 km;乙队从距大本营3 km的二号营地出发,每小时行进0.8 km.多长时间后,甲队在途中追上乙队?
学生先独立思考、作答,然后小组交流合作,最后选派学生代表板演展示,教师巡视指导.
解:甲队追上乙队所用的时间为3-11.2-0.8=20.4=5(小时).
教师适时追问:(1)这是算术解法,同学们,你们知道这样做的根据吗?
(2)你还有其它的解决方法吗?
教师引导学生尝试通过列方程的方法来解决这个问题.
解:设x小时后,甲队在途中追上乙队.当甲队追上乙队时,甲队距大本营的路程为(1.2x+1)km,乙队距大本营的路程为(0.8x+3)km.因为甲队在途中追上乙队,即甲队距大本营的路程=乙队距大本营的路程,于是1.2x+1=0.8x+3.
设计意图:通过设置这个学生熟悉的行程问题,让学生尝试用自身拥有的数学知识(算术方法)解决,然后逐步引导学生用含有未知数的式子表示有关的量,并进一步依据相等关系列出含有未知数的等式——方程,目的在于突出方程的根本特征,为引出方程的概念作铺垫.
探究新知
探究1 方程的概念和列方程
教师请同学们按照教学活动1中的方法,先设出未知数,再根据问题中的相等关系列出含有未知数的等式.
学习先独立思考解答下列两个问题,然后再进行小组谈论,最后选派代表板演展示.
问题1:用买3个大水杯的钱,可以买4个小水杯,大水杯的单价比小水杯的单价多5元,两种水杯的单价各是多少元?
分析:根据题意,可知3个大水杯的总价=4个小水杯的总价,大水杯的单价-小水杯的单价=5,总价=数量×单价.因此,只要设出大水杯的单价或小水杯的单价,就可以列出方程了.
解:设大水杯的单价为x元,那么小水杯的单价为(x-5)元.因为用买3个大水杯的钱,可以买4个小水杯,所以3x=4(x-5).
由这个含有未知数x的等式可以求出大水杯的单价,进而可以求出小水杯的单价.
问题2:如图是一枚长方形的庆祝中国共产党成立100周年纪念币,其面积是4 000 mm2,长和宽的比为8?5(即宽是长的58).这枚纪念币的长和宽分别是多少毫米?
分析:根据题意,可知这个长方形的宽=58×长方形的长,长方形的面积=长×宽,因此,只要设出长方形的长或宽,就可以列出方程了.
解:设这枚纪念币的长为x mm,则纪念币的宽可以表示为58x mm,面积可以表示为58x2 mm2.已知纪念币的面积为4 000 mm2,所以58x2=4 000.
由这个含有未知数x的等式可以求出这枚纪念币的长,进而可以求出纪念币的宽.
教师引导学生归纳:像这样,先设出字母表示未知数,然后根据问题中的相等关系,列出一个含有未知数的等式,这样的等式叫作方程.
教师适时追问:(1)你能解释这些方程的左边、右边各表示什么意思吗?
(2)对于根据问题中的相等关系列方程,说说你的体会?
学生思考,小组讨论交流.
教师引导学生归纳:分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程,是用数学解决实际问题的一种方法.这个过程可以表示如下:
实际问题方程
教师进一步指出:用算术方法解题时,列出的算式表示用算术方法解题的计算过程,其中只含有已知数,不含未知数;而方程是根据问题中的相等关系列出的等式,其中既含有已知数,也含有用字母表示的未知数,这为解决许多问题带来了方便.
探究2 解方程和方程的解
问题3:请同学们尝试解方程1.2x+1=0.8x+3.
学生先独立解答,然后再小组交流,教师巡视指导.
解:可以发现,当x=5时,左边=1.2×5+1=7,右边=0.8×5+3=7,这时方程左右两边的值相等.
教师引导学生归纳:
一般地,使方程左、右两边的值相等的未知数的值,叫作方程的解.例如,x=5就是方程1.2x+1=0.8x+3的解.求方程的解的过程,叫作解方程.
判断未知数是否为方程的解的具体步骤:
(1)把未知数的值分别代入方程的左、右两边进行计算;
(2)若左边=右边,则这个未知数是方程的解;反之,则不是.
探究3 一元一次方程的概念
问题4:观察下列方程,你有什么发现.
1.2x+1=0.8x+3;3x=4(x-5).
先让学生独立思考,自主探索,然后将分析结果在小组内进行交流,形成共识,最后由学生代表回答问题,教师巡视指导学生的学习情况.
解:这些方程中只有1个未知数x,且未知数x的次数都是1.
引导学生归纳出一元一次方程的概念:一般地,如果方程中只含有一个未知数(元),且含有未知数的式子都是整式,未知数的次数都是1,这样的方程叫作一元一次方程.
设计意图:通过设置一系列问题,突出方程的根本特征,使学生认识到从算式到方程是更有力、更方便的数学工具,从算术方法到代数方法是数学的一大进步.初步培养了学生由实际问题抽象出方程模型的能力.
典例精讲
例1 根据下列问题,设未知数并列出方程:
(1)某校女生占全体学生数的52%,比男生多80人,这所学校有多少名学生?
(2)如图,一块正方形绿地沿某一方向加宽5 m,扩大后的绿地面积是500 m2,求正方形绿地的边长.
分析:(1)根据题意,可知女生人数-男生人数=80,并且女生人数=全体学生数×52%,因此,只需设出全体学生数就可以列出方程了;(2)由题意,可知扩大后的绿地的长=正方形绿地的长+5,扩大后的绿地面积=500,所以只需设出原来绿地的长就可以列出方程了.
解:(1)设这所学校的学生数为x,那么女生数为0.52x,男生数为(1-0.52)x,根据“女生比男生多80人”,列得方程0.52x-(1-0.52)x=80.
(2)设正方形绿地的边长为x m,那么扩大后的绿地面积为(x2+5x)m2,根据“扩大后的绿地面积是500 m2”,列得方程x2+5x=500.
例2 (1)x=2,x=32是方程2x=3的解吗?
(2)x=10,x=20是方程3x=4(x-5)的解吗?
解:(1)当x=2时,方程2x=3的左边=2×2=4,右边=3,方程左、右两边的值不相等,所以x=2不是方程2x=3的解;
当x=32时,方程2x=3的左边=2×32=3,右边=3,方程左、右两边的值相等,所以x=32是方程2x=3的解.
(2)当x=10时,方程3x=4(x-5)的左边=3×10=30,右边=4×(10-5)=20,方程左、右两边的值不相等,所以x=10不是方程3x=4(x-5)的解;
当x=20时,方程3x=4(x-5)的左边=3×20=60,右边=4×(20-5)=60,方程左、右两边的值相等,所以x=20是方程3x=4(x-5)的解.
例3 2x+1=0.8x+3,3x=4(x-5),0.52x-(1-0.52)x=80,它们有什么共同特征?
解:(1)只含有一个未知数x;(2)未知数x的次数都是1;(3)整式方程.
设计意图:将列方程解决实际问题这一本章的教学难点分散在本章教学的每一节课中是设置这一系列教学活动的目的,化整为零地培养学生由实际问题抽象出方程模型的能力,持续渗透建模思想.教学中,通过先让学生独立思考、然后再进行小组合作的学习活动,既能培养学生的阅读理解能力、分析问题、解决问题的能力,又能提高学生的抽象思维能力.
巩固训练
1.x=3是下列哪个方程的解( B )
A.2x+7=11 B.5x-8=2x+1 C.3x=1 D.-x=3
2.小芬买了15份礼物,共花了900元,已知每份礼物内都有1包饼干及每支售价20元的棒棒糖2支,若每包饼干的售价为x元,则依题意可列出下列哪一个一元一次方程( C )
A.15(2x+20)=900B.15x+20×2=900
C.15(x+20×2)=900D.15×x×2+20=900
3.当m= 3或1 时,关于x的方程x|2-m|+1=0是一元一次方程.
4.下列式子中,哪些是方程,哪些是一元一次方程?并说明理由.
①2x+1;②2m+15=3;③3x-5=5x+4;④x2+2x-6=0;⑤-3x+1.8=3y;⑥3a+9>15.
解:上述式子是方程的有②③④⑤,其中②③是一元一次方程.理由:①是含有未知数的式子,不是等式;⑥是不等式;而②③④⑤是含有未知数的等式,符合方程的定义,其中④未知数的次数是2,⑤含有两个未知数,只有②③符合一元一次方程的定义,因此它们是一元一次方程.
5.根据下列问题,设未知数并列出方程:
(1)某长方形足球场的周长为310米,长和宽之差为25米,求这个足球场的宽;
(2)《数学学习方法报》每份0.6元,《数学周报》每份0.5元,小明用10元钱买了两种报纸共18份,他买的两种报纸各多少份?
解:(1)设这个足球场的宽为x米,则长为(x+25)米,依题意,得2x+2(x+25)=310.
(2)设《数学学习方法报》买了x份,则《数学周报》买了(18-x)份,
则有0.6x+0.5(18-x)=10.
设计意图:通过练习,巩固方程及一元一次方程的概念,促进学生对知识的理解,使学生更加深刻地把握概念的内涵和外延,持续体会数学建模思想.
课堂小结
1.这节课你学到了哪些知识?
2.在探寻方程的有关概念的学习过程中,你学到了哪些数学方法?积累了哪些活动经验?
3.在利用列方程解实际问题的过程中,对你有哪些启示?
设计意图:通过课堂小结的形式,让学生回顾知识点,形成知识体系,有利于学生养成回顾梳理知识的习惯.
课堂8分钟.
1.教材第118页习题5.1第1,2,3,5,6题.
2.七彩作业.
5.1.1 从算式到方程
1.解决数学实际问题的方式:
(1)算式方法.
(2)用含有未知数的等式表示问题中的相等关系.
2.方程:含有未知数的等式叫作方程.
3.用方程的方法解决实际问题是更方便的数学工具.
4.方程的解、解方程的概念.
5.一元一次方程的概念.
教学反思
5.1.2 等式的性质
课时目标
1.通过使学生亲身经历运用所学知识探索等式的性质的过程,激发学生的数学学习兴趣,增强学生学好数学的信心,进而培养学生自主探究和实践能力.
2.通过让学生从事自主学习、合作交流等数学活动,理解并掌握等式的性质,在实际操作中学习知识,在解决问题中深化认知,发展和提高学生的应用意识.
3.通过使学生经历利用等式的性质解方程的过程,逐步培养学生观察、分析、概括的逻辑思维能力,从而渗透“化归”的思想.
学习重点
等式的性质和运用.
学习难点
应用等式的性质把简单的一元一次方程化成“x=m”的形式.
课时活动设计
情境引入
用观察的方法我们可以求出简单的一元一次方程的解.你能用这种方法求出下列方程的解吗?
(1)3x-5=22; (2)0.28-0.13y=0.27y+1.
学生独立思考解答,然后小组交流,最后选派学生代表板演展示,教师巡视指导.
解:对于(1),通过观察,可以看出x=9是方程的解;但是(2)不容易直接看出来.
追问:既然不容易直接看出来,那么我们还能借助哪些知识来解这个方程呢?
设计意图:设置悬念,引出等式的性质的讨论,为后面逐步过渡到用等式的性质讨论方程的解法作铺垫.
探究新知
探究1 等式的性质
问题1:请同学们填空,使式子成立.
(1)如果m=n,那么n= m ;
(2)如果x+2x=3x,那么3x=x+ 2x ;
(3)如果a=3,b=3,那么a = b.(填“>”“=”或“<”)
学生独立思考解答,然后小组交流,最后选派学生代表板演展示,教师巡视指导.
教师归纳:诸如m+n=n+m,x+2x=3x,3×3+1=5×2,3x+1=5y这样的式子,都是等式.我们可以用a=b表示一般的等式.
首先,给出关于等式的两个基本事实:
(1)等式两边可以交换.如果a=b,那么b=a;
(2)相等关系可以传递.如果a=b,b=c,那么a=c.
思考:在小学,我们已经知道:等式两边同时加(或减)同一个正数,同时乘同一个正数,或同时除以同一个不为0的正数,结果仍相等.引入负数后,这些性质还成立吗?
完成下列题目,试试你的猜想是否成立.
问题2:用适当的数或整式填空,使所得结果仍是等式.
(1)如果3x=-2x-1,那么3x+ 2x =-1,两边同时 加2x ;
(2)如果12x=5,那么x= 10 ,两边同时 乘2 ;
(3)如果13x-2=x-12,那么13x- x =-12+ 2 ,两边同时 加2-x .
学生独立思考解答,然后小组交流,最后选派学生代表板演展示,教师巡视指导.
教师根据学生回答情况作出评价,适时进行追问:
(1)在运用等式的性质时,等式的两边要做怎样的变化?
(2)在等式两边同除以一个数时,应注意什么?
师生共同归纳:等式的性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等.
用符号语言描述:如果a=b,那么a±c=b±c.
等式的性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.
用符号语言描述:如果a=b,那么ac=bc;如果a=b,c≠0,那么ac=bc.
探究2 利用等式的性质解方程
问题3:利用等式的性质解下列方程:
(1)x+3=5; (2)3x+2=8.
学生独立思考,小组交流讨论,并派学生代表上台板演.
解:(1)方程两边减3,得x+3-3=5-3.
于是x=2.
(2)方程两边减2,得3x+2-2=8-2.
化简,得3x=6.
方程两边除以3,得x=2.
教师引导学生归纳:一般地,从方程解出未知数的值从后,通常需要代入原方程检验,看这个值能否使方程左、右两边的值相等.例如,将x=2代入方程3x+2=8的左边,得3×2+2=8.方程左、右两边的值相等,所以x=2是方程3x+2=8的解.
解以x为未知数的方程,就是把方程逐步转化为x=m(常数)的形式,等式的性质是转化的重要依据.
设计意图:设置上述教学环节,让学生借助具体的式子来验证等式的两条性质,加深对等式的性质的认知,同时又用文字语言和符号语言两种形式来描述这些性质,目的在于让学生切实理解等式的性质,体会如何用数学的符号语言抽象概括地表示它们.
典例精讲
例1 根据等式的性质填空,并说明依据:
(1)如果2x=5-x,那么2x+ =5;
(2)如果m+2n=5+2n,那么m= ;
(3)如果x=-4,那么 ·x=28;
(4)如果3m=4n,那么32m= ·n.
解:(1)2x+ x =5;根据等式的性质1,等式两边加x,结果仍相等.
(2)m= 5 ;根据等式的性质1,等式两边减2n,结果仍相等.
(3) -7 ·x=28;根据等式的性质2,等式两边乘-7,结果仍相等.
(4)32m= 2 ·n;根据等式的性质2,等式两边除以2,结果仍相等.
例2 利用等式的性质解下列方程:
(1)x+7=26; (2)-5x=20; (3)-13x-5=4.
分析:要使方程x+7=26转化为x=m(常数)的形式,需要去掉方程左边的7,利用等式的性质1,方程两边减7就得出x的值.类似地,利用等式的性质,可以将另外两个方程转化为x=m的形式.
解:(1)方程两边减7,得x+7-7=26-7.
于是x=19.
(2)方程两边除以-5,得-5x-5=20-5.
于是x=-4.
(3)方程两边加5,得-13x-5+5=4+5.
化简,得-13x=9.
方程两边乘-3,得x=-27.
设计意图:通过例题,让学生在观察等式的两边的变化情况后运用等式的性质做题,进一步加深学生对等式性质的准确把握,同时有助于引导学生利用等式的性质研究方程的解法,对于需要运用两次等式的性质来解方程的题目,需要学生有一定的思维顺序,能够锻炼学生的思维能力.
巩固训练
1.如果mx=my,那么下列等式中不一定成立的是( D )
A.mx+1=my+1 B.mx-3=my-3
C.-12mx=-12my D.x=y
2.下列方程的变形,符合等式的性质的是( D )
A.由2x-3=7得2x=7-3 B.由-3x=5得x=5+3
C.由2x-3=x-1得2x-x=-1-3D.由-14x=1得x=-4
3.用适当的数或整式填空,使所得的式子仍是等式,并注明根据.
(1)如果x+2=3,那么x=3+ -2 ,根据是 等式的性质1 ;
(2)如果4x=3x-7,那么4x- 3x =-7,根据是 等式的性质1 ;
(3)如果-2x=6,那么x= -3 ,根据是 等式的性质2 ;
(4)如果12x=-4,那么x= -8 ,根据是 等式的性质2 .
4.利用等式的性质解方程:
(1)x-4=1;(2)3x+5=0.
解:(1)方程两边加4,得x-4+4=1+4.于是x=5.
(2)方程两边减5,得3x+5-5=0-5.
整理,得3x=-5.
方程两边除以3,得3x3=-53.于是x=-53.
设计意图:通过巩固训练,进一步巩固学生对等式的性质的认识,让学生充分认识到如何应用等式的性质去解题.
课堂小结
1.本节课你学到了什么知识?
2.在运用等式的性质解题时,应该注意什么?
3.在运用等式的性质解方程时,你获得了哪些宝贵的经验?
设计意图:通过课堂小结的形式,让学生回顾知识点,形成知识体系,有利于学生养成回顾梳理知识的习惯,让学生在对课堂所学有系统认知的基础上,深化对知识的理解程度.
课堂8分钟.
1.教材第118页习题5.1第4,7,8,10,11题.
2.七彩作业.
5.1.2 等式的性质
1.关于等式的两个基本事实:
等式两边可以交换.如果a=b,那么b=a.
相等关系可以传递.如果a=b,b=c,那么a=c.
2.等式的基本性质:
等式的性质1 等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等.
等式的性质2 等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.
教学反思
课时目标
1.通过引入实际问题情境,让学生在算式、代数两种方式下解决问题,体会由算术到代数是数学的一大进步,从而培养学生分析、归纳和抽象概括的思维能力,初步认识建立数学模型的思想.
2.经历用含有未知数的等式表示实际问题中的相等关系,感悟方程的现实意义,理解方程的概念,培养学生获取信息、分析问题、处理问题的能力,提升方程模型的应用意识.
3.通过数学背景材料,让学生理解并掌握方程、一元一次方程及其相关概念的内涵,培养学生的阅读理解、拓展探究的能力,增强学生的数学应用意识,调动学生学习数学的主动性.
学习重点
寻找相等关系列出方程,方程、一元一次方程及其相关概念.
学习难点
寻找相等关系列出方程的意识和过程.
课时活动设计
情境引入
问题:甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发.甲队从距大本营1 km的一号营地出发,每小时行进1.2 km;乙队从距大本营3 km的二号营地出发,每小时行进0.8 km.多长时间后,甲队在途中追上乙队?
学生先独立思考、作答,然后小组交流合作,最后选派学生代表板演展示,教师巡视指导.
解:甲队追上乙队所用的时间为3-11.2-0.8=20.4=5(小时).
教师适时追问:(1)这是算术解法,同学们,你们知道这样做的根据吗?
(2)你还有其它的解决方法吗?
教师引导学生尝试通过列方程的方法来解决这个问题.
解:设x小时后,甲队在途中追上乙队.当甲队追上乙队时,甲队距大本营的路程为(1.2x+1)km,乙队距大本营的路程为(0.8x+3)km.因为甲队在途中追上乙队,即甲队距大本营的路程=乙队距大本营的路程,于是1.2x+1=0.8x+3.
设计意图:通过设置这个学生熟悉的行程问题,让学生尝试用自身拥有的数学知识(算术方法)解决,然后逐步引导学生用含有未知数的式子表示有关的量,并进一步依据相等关系列出含有未知数的等式——方程,目的在于突出方程的根本特征,为引出方程的概念作铺垫.
探究新知
探究1 方程的概念和列方程
教师请同学们按照教学活动1中的方法,先设出未知数,再根据问题中的相等关系列出含有未知数的等式.
学习先独立思考解答下列两个问题,然后再进行小组谈论,最后选派代表板演展示.
问题1:用买3个大水杯的钱,可以买4个小水杯,大水杯的单价比小水杯的单价多5元,两种水杯的单价各是多少元?
分析:根据题意,可知3个大水杯的总价=4个小水杯的总价,大水杯的单价-小水杯的单价=5,总价=数量×单价.因此,只要设出大水杯的单价或小水杯的单价,就可以列出方程了.
解:设大水杯的单价为x元,那么小水杯的单价为(x-5)元.因为用买3个大水杯的钱,可以买4个小水杯,所以3x=4(x-5).
由这个含有未知数x的等式可以求出大水杯的单价,进而可以求出小水杯的单价.
问题2:如图是一枚长方形的庆祝中国共产党成立100周年纪念币,其面积是4 000 mm2,长和宽的比为8?5(即宽是长的58).这枚纪念币的长和宽分别是多少毫米?
分析:根据题意,可知这个长方形的宽=58×长方形的长,长方形的面积=长×宽,因此,只要设出长方形的长或宽,就可以列出方程了.
解:设这枚纪念币的长为x mm,则纪念币的宽可以表示为58x mm,面积可以表示为58x2 mm2.已知纪念币的面积为4 000 mm2,所以58x2=4 000.
由这个含有未知数x的等式可以求出这枚纪念币的长,进而可以求出纪念币的宽.
教师引导学生归纳:像这样,先设出字母表示未知数,然后根据问题中的相等关系,列出一个含有未知数的等式,这样的等式叫作方程.
教师适时追问:(1)你能解释这些方程的左边、右边各表示什么意思吗?
(2)对于根据问题中的相等关系列方程,说说你的体会?
学生思考,小组讨论交流.
教师引导学生归纳:分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程,是用数学解决实际问题的一种方法.这个过程可以表示如下:
实际问题方程
教师进一步指出:用算术方法解题时,列出的算式表示用算术方法解题的计算过程,其中只含有已知数,不含未知数;而方程是根据问题中的相等关系列出的等式,其中既含有已知数,也含有用字母表示的未知数,这为解决许多问题带来了方便.
探究2 解方程和方程的解
问题3:请同学们尝试解方程1.2x+1=0.8x+3.
学生先独立解答,然后再小组交流,教师巡视指导.
解:可以发现,当x=5时,左边=1.2×5+1=7,右边=0.8×5+3=7,这时方程左右两边的值相等.
教师引导学生归纳:
一般地,使方程左、右两边的值相等的未知数的值,叫作方程的解.例如,x=5就是方程1.2x+1=0.8x+3的解.求方程的解的过程,叫作解方程.
判断未知数是否为方程的解的具体步骤:
(1)把未知数的值分别代入方程的左、右两边进行计算;
(2)若左边=右边,则这个未知数是方程的解;反之,则不是.
探究3 一元一次方程的概念
问题4:观察下列方程,你有什么发现.
1.2x+1=0.8x+3;3x=4(x-5).
先让学生独立思考,自主探索,然后将分析结果在小组内进行交流,形成共识,最后由学生代表回答问题,教师巡视指导学生的学习情况.
解:这些方程中只有1个未知数x,且未知数x的次数都是1.
引导学生归纳出一元一次方程的概念:一般地,如果方程中只含有一个未知数(元),且含有未知数的式子都是整式,未知数的次数都是1,这样的方程叫作一元一次方程.
设计意图:通过设置一系列问题,突出方程的根本特征,使学生认识到从算式到方程是更有力、更方便的数学工具,从算术方法到代数方法是数学的一大进步.初步培养了学生由实际问题抽象出方程模型的能力.
典例精讲
例1 根据下列问题,设未知数并列出方程:
(1)某校女生占全体学生数的52%,比男生多80人,这所学校有多少名学生?
(2)如图,一块正方形绿地沿某一方向加宽5 m,扩大后的绿地面积是500 m2,求正方形绿地的边长.
分析:(1)根据题意,可知女生人数-男生人数=80,并且女生人数=全体学生数×52%,因此,只需设出全体学生数就可以列出方程了;(2)由题意,可知扩大后的绿地的长=正方形绿地的长+5,扩大后的绿地面积=500,所以只需设出原来绿地的长就可以列出方程了.
解:(1)设这所学校的学生数为x,那么女生数为0.52x,男生数为(1-0.52)x,根据“女生比男生多80人”,列得方程0.52x-(1-0.52)x=80.
(2)设正方形绿地的边长为x m,那么扩大后的绿地面积为(x2+5x)m2,根据“扩大后的绿地面积是500 m2”,列得方程x2+5x=500.
例2 (1)x=2,x=32是方程2x=3的解吗?
(2)x=10,x=20是方程3x=4(x-5)的解吗?
解:(1)当x=2时,方程2x=3的左边=2×2=4,右边=3,方程左、右两边的值不相等,所以x=2不是方程2x=3的解;
当x=32时,方程2x=3的左边=2×32=3,右边=3,方程左、右两边的值相等,所以x=32是方程2x=3的解.
(2)当x=10时,方程3x=4(x-5)的左边=3×10=30,右边=4×(10-5)=20,方程左、右两边的值不相等,所以x=10不是方程3x=4(x-5)的解;
当x=20时,方程3x=4(x-5)的左边=3×20=60,右边=4×(20-5)=60,方程左、右两边的值相等,所以x=20是方程3x=4(x-5)的解.
例3 2x+1=0.8x+3,3x=4(x-5),0.52x-(1-0.52)x=80,它们有什么共同特征?
解:(1)只含有一个未知数x;(2)未知数x的次数都是1;(3)整式方程.
设计意图:将列方程解决实际问题这一本章的教学难点分散在本章教学的每一节课中是设置这一系列教学活动的目的,化整为零地培养学生由实际问题抽象出方程模型的能力,持续渗透建模思想.教学中,通过先让学生独立思考、然后再进行小组合作的学习活动,既能培养学生的阅读理解能力、分析问题、解决问题的能力,又能提高学生的抽象思维能力.
巩固训练
1.x=3是下列哪个方程的解( B )
A.2x+7=11 B.5x-8=2x+1 C.3x=1 D.-x=3
2.小芬买了15份礼物,共花了900元,已知每份礼物内都有1包饼干及每支售价20元的棒棒糖2支,若每包饼干的售价为x元,则依题意可列出下列哪一个一元一次方程( C )
A.15(2x+20)=900B.15x+20×2=900
C.15(x+20×2)=900D.15×x×2+20=900
3.当m= 3或1 时,关于x的方程x|2-m|+1=0是一元一次方程.
4.下列式子中,哪些是方程,哪些是一元一次方程?并说明理由.
①2x+1;②2m+15=3;③3x-5=5x+4;④x2+2x-6=0;⑤-3x+1.8=3y;⑥3a+9>15.
解:上述式子是方程的有②③④⑤,其中②③是一元一次方程.理由:①是含有未知数的式子,不是等式;⑥是不等式;而②③④⑤是含有未知数的等式,符合方程的定义,其中④未知数的次数是2,⑤含有两个未知数,只有②③符合一元一次方程的定义,因此它们是一元一次方程.
5.根据下列问题,设未知数并列出方程:
(1)某长方形足球场的周长为310米,长和宽之差为25米,求这个足球场的宽;
(2)《数学学习方法报》每份0.6元,《数学周报》每份0.5元,小明用10元钱买了两种报纸共18份,他买的两种报纸各多少份?
解:(1)设这个足球场的宽为x米,则长为(x+25)米,依题意,得2x+2(x+25)=310.
(2)设《数学学习方法报》买了x份,则《数学周报》买了(18-x)份,
则有0.6x+0.5(18-x)=10.
设计意图:通过练习,巩固方程及一元一次方程的概念,促进学生对知识的理解,使学生更加深刻地把握概念的内涵和外延,持续体会数学建模思想.
课堂小结
1.这节课你学到了哪些知识?
2.在探寻方程的有关概念的学习过程中,你学到了哪些数学方法?积累了哪些活动经验?
3.在利用列方程解实际问题的过程中,对你有哪些启示?
设计意图:通过课堂小结的形式,让学生回顾知识点,形成知识体系,有利于学生养成回顾梳理知识的习惯.
课堂8分钟.
1.教材第118页习题5.1第1,2,3,5,6题.
2.七彩作业.
5.1.1 从算式到方程
1.解决数学实际问题的方式:
(1)算式方法.
(2)用含有未知数的等式表示问题中的相等关系.
2.方程:含有未知数的等式叫作方程.
3.用方程的方法解决实际问题是更方便的数学工具.
4.方程的解、解方程的概念.
5.一元一次方程的概念.
教学反思
5.1.2 等式的性质
课时目标
1.通过使学生亲身经历运用所学知识探索等式的性质的过程,激发学生的数学学习兴趣,增强学生学好数学的信心,进而培养学生自主探究和实践能力.
2.通过让学生从事自主学习、合作交流等数学活动,理解并掌握等式的性质,在实际操作中学习知识,在解决问题中深化认知,发展和提高学生的应用意识.
3.通过使学生经历利用等式的性质解方程的过程,逐步培养学生观察、分析、概括的逻辑思维能力,从而渗透“化归”的思想.
学习重点
等式的性质和运用.
学习难点
应用等式的性质把简单的一元一次方程化成“x=m”的形式.
课时活动设计
情境引入
用观察的方法我们可以求出简单的一元一次方程的解.你能用这种方法求出下列方程的解吗?
(1)3x-5=22; (2)0.28-0.13y=0.27y+1.
学生独立思考解答,然后小组交流,最后选派学生代表板演展示,教师巡视指导.
解:对于(1),通过观察,可以看出x=9是方程的解;但是(2)不容易直接看出来.
追问:既然不容易直接看出来,那么我们还能借助哪些知识来解这个方程呢?
设计意图:设置悬念,引出等式的性质的讨论,为后面逐步过渡到用等式的性质讨论方程的解法作铺垫.
探究新知
探究1 等式的性质
问题1:请同学们填空,使式子成立.
(1)如果m=n,那么n= m ;
(2)如果x+2x=3x,那么3x=x+ 2x ;
(3)如果a=3,b=3,那么a = b.(填“>”“=”或“<”)
学生独立思考解答,然后小组交流,最后选派学生代表板演展示,教师巡视指导.
教师归纳:诸如m+n=n+m,x+2x=3x,3×3+1=5×2,3x+1=5y这样的式子,都是等式.我们可以用a=b表示一般的等式.
首先,给出关于等式的两个基本事实:
(1)等式两边可以交换.如果a=b,那么b=a;
(2)相等关系可以传递.如果a=b,b=c,那么a=c.
思考:在小学,我们已经知道:等式两边同时加(或减)同一个正数,同时乘同一个正数,或同时除以同一个不为0的正数,结果仍相等.引入负数后,这些性质还成立吗?
完成下列题目,试试你的猜想是否成立.
问题2:用适当的数或整式填空,使所得结果仍是等式.
(1)如果3x=-2x-1,那么3x+ 2x =-1,两边同时 加2x ;
(2)如果12x=5,那么x= 10 ,两边同时 乘2 ;
(3)如果13x-2=x-12,那么13x- x =-12+ 2 ,两边同时 加2-x .
学生独立思考解答,然后小组交流,最后选派学生代表板演展示,教师巡视指导.
教师根据学生回答情况作出评价,适时进行追问:
(1)在运用等式的性质时,等式的两边要做怎样的变化?
(2)在等式两边同除以一个数时,应注意什么?
师生共同归纳:等式的性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等.
用符号语言描述:如果a=b,那么a±c=b±c.
等式的性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.
用符号语言描述:如果a=b,那么ac=bc;如果a=b,c≠0,那么ac=bc.
探究2 利用等式的性质解方程
问题3:利用等式的性质解下列方程:
(1)x+3=5; (2)3x+2=8.
学生独立思考,小组交流讨论,并派学生代表上台板演.
解:(1)方程两边减3,得x+3-3=5-3.
于是x=2.
(2)方程两边减2,得3x+2-2=8-2.
化简,得3x=6.
方程两边除以3,得x=2.
教师引导学生归纳:一般地,从方程解出未知数的值从后,通常需要代入原方程检验,看这个值能否使方程左、右两边的值相等.例如,将x=2代入方程3x+2=8的左边,得3×2+2=8.方程左、右两边的值相等,所以x=2是方程3x+2=8的解.
解以x为未知数的方程,就是把方程逐步转化为x=m(常数)的形式,等式的性质是转化的重要依据.
设计意图:设置上述教学环节,让学生借助具体的式子来验证等式的两条性质,加深对等式的性质的认知,同时又用文字语言和符号语言两种形式来描述这些性质,目的在于让学生切实理解等式的性质,体会如何用数学的符号语言抽象概括地表示它们.
典例精讲
例1 根据等式的性质填空,并说明依据:
(1)如果2x=5-x,那么2x+ =5;
(2)如果m+2n=5+2n,那么m= ;
(3)如果x=-4,那么 ·x=28;
(4)如果3m=4n,那么32m= ·n.
解:(1)2x+ x =5;根据等式的性质1,等式两边加x,结果仍相等.
(2)m= 5 ;根据等式的性质1,等式两边减2n,结果仍相等.
(3) -7 ·x=28;根据等式的性质2,等式两边乘-7,结果仍相等.
(4)32m= 2 ·n;根据等式的性质2,等式两边除以2,结果仍相等.
例2 利用等式的性质解下列方程:
(1)x+7=26; (2)-5x=20; (3)-13x-5=4.
分析:要使方程x+7=26转化为x=m(常数)的形式,需要去掉方程左边的7,利用等式的性质1,方程两边减7就得出x的值.类似地,利用等式的性质,可以将另外两个方程转化为x=m的形式.
解:(1)方程两边减7,得x+7-7=26-7.
于是x=19.
(2)方程两边除以-5,得-5x-5=20-5.
于是x=-4.
(3)方程两边加5,得-13x-5+5=4+5.
化简,得-13x=9.
方程两边乘-3,得x=-27.
设计意图:通过例题,让学生在观察等式的两边的变化情况后运用等式的性质做题,进一步加深学生对等式性质的准确把握,同时有助于引导学生利用等式的性质研究方程的解法,对于需要运用两次等式的性质来解方程的题目,需要学生有一定的思维顺序,能够锻炼学生的思维能力.
巩固训练
1.如果mx=my,那么下列等式中不一定成立的是( D )
A.mx+1=my+1 B.mx-3=my-3
C.-12mx=-12my D.x=y
2.下列方程的变形,符合等式的性质的是( D )
A.由2x-3=7得2x=7-3 B.由-3x=5得x=5+3
C.由2x-3=x-1得2x-x=-1-3D.由-14x=1得x=-4
3.用适当的数或整式填空,使所得的式子仍是等式,并注明根据.
(1)如果x+2=3,那么x=3+ -2 ,根据是 等式的性质1 ;
(2)如果4x=3x-7,那么4x- 3x =-7,根据是 等式的性质1 ;
(3)如果-2x=6,那么x= -3 ,根据是 等式的性质2 ;
(4)如果12x=-4,那么x= -8 ,根据是 等式的性质2 .
4.利用等式的性质解方程:
(1)x-4=1;(2)3x+5=0.
解:(1)方程两边加4,得x-4+4=1+4.于是x=5.
(2)方程两边减5,得3x+5-5=0-5.
整理,得3x=-5.
方程两边除以3,得3x3=-53.于是x=-53.
设计意图:通过巩固训练,进一步巩固学生对等式的性质的认识,让学生充分认识到如何应用等式的性质去解题.
课堂小结
1.本节课你学到了什么知识?
2.在运用等式的性质解题时,应该注意什么?
3.在运用等式的性质解方程时,你获得了哪些宝贵的经验?
设计意图:通过课堂小结的形式,让学生回顾知识点,形成知识体系,有利于学生养成回顾梳理知识的习惯,让学生在对课堂所学有系统认知的基础上,深化对知识的理解程度.
课堂8分钟.
1.教材第118页习题5.1第4,7,8,10,11题.
2.七彩作业.
5.1.2 等式的性质
1.关于等式的两个基本事实:
等式两边可以交换.如果a=b,那么b=a.
相等关系可以传递.如果a=b,b=c,那么a=c.
2.等式的基本性质:
等式的性质1 等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等.
等式的性质2 等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.
教学反思
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