湖南省长沙市湘一立信中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题（原卷及解析版）

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2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题藉上答题无效；
3．答题时、请考生注意各大题号后面的答题提示；
4．请注意卷面、保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁；
5．答卷上不准使用涂改波、涂改胶和贴纸；
6．本试卷时量120分钟，满分120分．
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合，故此选项错误；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. a2•a3＝a6B. 2ab+3ab＝5a2b2C. a8÷a4＝a2D. （a3）2＝a6
【答案】D
【解析】
【分析】利用合并同类项的法则，幂的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：A、a2•a3=a5，故该选项不符合题意；
B、2ab+3ab=5ab，故该选项不符合题意；
C、a8÷a4=a4，故该选项不符合题意；
D、（a3）2=a6，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，解答的关键对相应的运算法则的掌握．
3. 二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5的顶点坐标是（ ）
A. （﹣1，5）B. （1，5）C. （﹣1，﹣5）D. （1，﹣5）
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的顶点式求出解即可，即：二次函数的顶点坐标为
【详解】解：因为y＝﹣（x﹣1）2+5是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为（1，5）．
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式，熟练掌握顶点式的特点是关键
4. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A. 4cm，5cm，9cmB. 8cm，8cm，15cmC. 5cm，5cm，10cmD. 6cm，7cm，14cm
【答案】B
【解析】
【分析】结合“三角形中较短的两边之和大于第三边”，分别套入四个选项中得三边长，即可得出结论．
【详解】A.∵5+4=9，9=9，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
B.8+8=16，16＞15，
∴该三边能组成三角形，故此选项正确；
C.5+5=10，10=10，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
D.6+7=13，13＜14，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
故选B．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是：用较短的两边长相交于第三边作比较．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合三角形三边关系，代入数据来验证即可．
5. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是．
故选D．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键．
6. 函数中自变量取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分母不为0，即可求得的取值范围．
【详解】解：根据题意，可得，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了求函数自变量的取值范围问题，利用分母不为0求解是解题关键．
7. 一次函数的图象不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数图象的性质可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴一次函数的图象经过一、二、三象限，即不经过第四象限，
故选：
【点睛】此题考查了一次函数的图象与性质，熟记一次函数的图象有四种情况：
时，函数图象经过一、二、三象限，随的增大而增大；
时，函数图象经过一、三、四象限，随的增大而增大；
时，函数图象经过一、二、四象限，随的增大而减小；
时，函数图象经过二、三、四象限，随的增大而减小．
8. 下列命题中，为真命题的是（ ）
A. 六边形的内角和为
B. 多边形的外角和与边数有关
C. 矩形的对角线互相垂直
D. 三角形两边的和大于第三边
【答案】D
【解析】
【分析】六边形的内角和为：；多边形的外角和为，与边数无关；矩形的对角线互相平分且相等；三角形的任意两边之和大于第三边，据此即可得到答案．
【详解】解：A、六边形的内角和为，错误；
B、多边形的外角和与边数无关，都等于，错误；
C、矩形的对角线相等，错误；
D、三角形的两边之和大于第三边，正确；
故选：D．
【点睛】本题考查命题的真假，是易错题．关键是掌握六边形的内角和、多边形的外角和、矩形的性质和三角形三边关系．
9. 如图，一块直角三角板的60度的顶点A与直角顶点C分别在平行线上，斜边AB平分，交直线GH于点E，则的大小为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用角平分线的性质求得∠DAE的度数，利用平行线的性质求得∠ACE的度数，即可求解．
【详解】∵AB平分，∠CAB=60，
∴∠DAE=60，
∵FD∥GH，
∴∠ACE+∠CAD=180，
∴∠ACE=180-∠CAB-∠DAE=60，
∵∠ACB=90，
∴∠ECB=90-∠ACE=30，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．
10. 如图，在中，按以下步骤作图：
①分别过点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点；
②作直线PQ交AB于点D；
③以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M、连接AM、BM．
若，则AM的长为（ ）
A. 4B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据作图可知垂直平分，，是等腰直角三角形，据此即可求解．
【详解】解：由作图可得垂直平分，
则等腰直角三角形
∴由勾股定理得：
故选：B．
【点睛】本题考查了作垂线，等腰直角三角形的性质，勾股定理，掌握基本作图理解题意是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 分解因式：_______.
【答案】．
【解析】
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可
【详解】解：，
故答案为：．
12. 不等式组的解集是_______．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的解集．
【详解】
解不等式①得：x≥-1，
解不等式②得：x＜2，
∴不等式组的解集为：-1≤x＜2，
故答案为-1≤x＜2．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13. 如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB=________度．
【答案】50.
【解析】
【详解】∠ACB=∠AOB=×100°=50°．
考点：圆周角定理．
14. 2022年2月4日，第24届冬奥会在北京开幕，据统计中国地区观看开幕式的人数约为316000000人，请将数字316000000用科学记数法表示出来_________.
【答案】
【解析】
【分析】先确定表示数的整数位数，减去1得到n；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可．
【详解】∵316000000=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值大于1的数的科学记数法，确定表示数的整数位数，减去1得到n；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键．
15. 2023年3月5日是第60个全国学雷锋纪念日，湘江中学九年级（1）班的60名同学参与了献爱心活动，有15人每人捐30元、14人每人捐100元、10人每人捐70元、21人每人捐50元．在这次每人捐款的数值中，中位数是______．
【答案】50
【解析】
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
【详解】解：捐款从少到多依次为：15人每人捐30元、21人每人捐50元、10人每人捐70元、14人每人捐100元，处于中间的是第30个和第31个数，他们的所绢金额都为50元，
所以在这次每人捐款的数值中，中位数是50，
故答案为：50．
【点睛】本题考查了确定一组数据的中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数，先排好大小顺序是解题的关键．
16. 某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A、B、C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成以下三个步骤：
第一步，A同学拿出五张扑克牌给B同学；
第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学；
第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学．
请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为_______．
【答案】13
【解析】
【分析】本题考查了列代数式以及整式的加减，设开始发给、、三个同学的扑克牌都是张，经过两步操作后同学有张牌，同学有张牌，再根据第三步列出算式进行计算即可求解，是解题关键．
【详解】解：设开始发给、、三个同学的扑克牌都是张，
∵同学拿出五张扑克牌给同学，同学拿出三张扑克牌给B同学，
∴同学有张牌，同学有张牌，
∵同学手中此时有多少张扑克牌，同学就拿出多少张扑克牌给同学．
∴最终同学手中剩余的扑克牌的张数为：．
故答案为：13．
三、解答题（共9小题，6+6+6+8+8+9+9+10+10=72分）
17. 计算：（3.14﹣π）0+|﹣1|+（）﹣1﹣．
【答案】2-
【解析】
【分析】分别根据二次根式的性质、负整数指数幂、零指数幂的计算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【详解】解：（3.14﹣π）0+|﹣1|+（）﹣1﹣
=1+-1+2-2
=2-．
【点睛】本题考查的是实数的运算，熟知二次根式的性质、负整数指数幂、零指数幂的计算法则是解答此题的关键．
18. 先化简，再求值，其中
【答案】,3
【解析】
【分析】先将代数式化简,再代入值求解即可．
【详解】．
将x=4代入可得:
原式=．
【点睛】本题考查代数式的化简求值,关键在于熟练掌握平方差公式和完全平方公式．
19. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为．

①画出关于轴对称的，写出点的坐标；
②画出将绕原点按逆时针旋转所得的，写出点的坐标．
【答案】见解析，点的坐标是；
见解析，点的坐标是．
【解析】
【分析】根据网格结构找出点、、关于轴的对称点，，的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点的坐标；
根据网格结构找出点、、绕点按照逆时针旋转后的对应点，，的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点的坐标．
【详解】①如图所示，网格结构找出点、、关于轴的对称点，，的位置，然后顺次连接；
∴即为所求，点的坐标是；
②如图所示，网格结构找出点、、绕点按照逆时针旋转后的对应点，，的位置，然后顺次连接即可，
∴即为所求，点的坐标是．
【点睛】此题考查了作图-旋转变换和作图-轴对称变换，解题的关键是熟练掌握作图方法．
20. 为了解落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间（单位：），按劳动时间分为四组：组“”，组“”，组“”，组“”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是________，组所在扇形的圆心角的大小是__________；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1500名学生，请你估计该校平均每周劳动时间不少于的学生人数．
【答案】（1）100，；（2）见解析；（3）600人
【解析】
【分析】（1）根据统计图中D组的数据，可以求得本次抽取的人数， 并求得C组所对应的圆心角的度数；
（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出B组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据，得出C组及D组的人数，即可计算出该校平均每周劳动时间不少于的学生人数．
【详解】解：（1）这次调查活动共抽取10÷10%=100（人），
组所在扇形的圆心角为360°× =108°，
故答案为：100，；
（2）B组的学生有：100-15-30-10=45（人），
补充完整的条形统计图如图所示：
（3）解：（人）．
∴估计该校平均每周劳动时间不少于的学生人数大约有600人
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，掌握统计数据的意义．
21. 如图，在▱中，对角线，相交于点，，，．

（1）求证：四边形是菱形
（2）过点作于点，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，平行四边形的性质：
（1）首先根据平行四边形的性质得到，，然后利用勾股定理的逆定理得到，进而证明即可；
（2）根据菱形的性质得到，然后利用列方程求解即可．
【小问1详解】
证明：在中，对角线，相交于点，，，，
，，
，且，
，
是直角三角形，且，
，
四边形是菱形；
【小问2详解】
解：四边形是菱形，
，
，
，
解得：．
【点睛】此题考查了菱形的性质和判定，平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
22. 今年6月以来，我国多地遭遇强降雨，引发洪涝灾害，人民的生活受到了极大的影响，“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用A，B两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区，具体运算情况如下：
（1）求A，B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资；
（2）该市后续又筹集了62.4吨生活物资，现已联系了3辆A型号货车，试问至少还需联系多少辆B型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地．
【答案】（1）A，B两种型号货车每辆满载分别能运10吨，6吨生活物资；（2）6.
【解析】
【分析】（1）设A，B两种型号货车每辆满载分别能运x，y吨生活物资，根据条件建立方程组求出其解即可；
（2）设还需联系m辆B型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，根据题中的不等关系列出不等式解答即可．
【详解】解：（1）设A，B两种型号货车每辆满载分别能运x，y吨生活物资
依题意，得解得
∴A，B两种型号货车每辆满载分别能运10吨，6吨生活物资
（2）设还需联系m辆B型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地
依题意，得.
解得m5.4
又m为整数，∴m最小取6
∴至少还需联系6辆B型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，一元一次不等式的运用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
23. 如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝8cm，CD＝24cm，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；（2）13cm
【解析】
【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB＝90°，又由AB⊥CD于点E，得到∠BCD＝∠BAC．根据OA＝OC，可得∠OAC＝∠OCA．即可求证；
（2）设⊙O的半径为Rcm，则OE＝OB﹣EB＝（R﹣8）cm，根据垂径定理，可得CE＝CD，然后在Rt△CEO中，由勾股定理，即可求解．
【详解】证明：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCD与∠ACE互余，
又∵AB⊥CD于点E，
∴∠ACE与∠CAE互余，
∴∠BCD＝∠BAC．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA．
∴∠ACO＝∠BCD；
（2）设⊙O的半径为Rcm，则OE＝OB﹣EB＝（R﹣8）cm，
CE＝CD＝×24＝12cm，
在Rt△CEO中，由勾股定理可得：
OC2＝OE2+CE2，
即R2＝（R﹣8）2+122，
解得R＝13．
答：⊙O的半径为13cm．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
24. 复合函数也被称为函数的合成，通俗来说是指将一个函数作为另一个函数的输入，从而将两个或多个组合在一起形成一个新的函数，其中每一个函数的输出都是下一个函数的输入．
例如：，，当时，则，将代入，则．
（1）若，，求取值范围；
（2）若（且为常数），，求的最小值；
（3）二次函数经过且，若，，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）时，的最小值为；时，的最小值为；时，的最小值为
（3）
【解析】
【分析】（1）将代入中，根据，得到的取值范围即可；
（2）将代入中，化成项点式，再利用，根据取值范围分类讨论的最小值即可；
（3）根据二次函数经过得出，结合，整理得，推出，分析计算求的取值范围即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
化成项点式为：，
∴对称轴，
∵为开口向上的抛物线，且，
∴当，即时，在处取最小值：，
当，即时，在处取最小值为：，
当，即时，在处取最小值为：，
∴时，的最小值为；时，的最小值为；时，的最小值为；
【小问3详解】
∵二次函数经过，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
，
整理得：，
∴（取时，得最大值），
（不取等），
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数和不等式，熟练掌握二次函数的性质分类讨论、不等式求最值是解题的关键．
25. 如图，抛物线的顶点为，与x轴的交点为A和B．将抛物线绕点B逆时针方向旋转90°，点，为点M，A旋转后的对应点，旋转后的抛物线与y轴相交于C，D两点．

（1）若原抛物线过点，求抛物线的解析式；
（2）若A，关于点M成中心对称，求直线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点P是原抛物线上的一动点，点Q是旋转后的图形的对称轴上一点，E为线段的中点，是否存在点P，使得以P，Q，E，B为顶点的四边形是平行四边形；若存在请求出点P坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）；
（3）点P坐标为或或或．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）由题意得点M是等腰直角三角形斜边中线的中点，求得，，利用待定系数法即可求解；
（3）先求得原抛物线的解析式以及旋转后的的图形的对称轴，分①当为边，②当为对角线时两种情况讨论，利用平移的性质列一元二次方程，求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线的顶点为，
∴设抛物线的解析式为，
∵原抛物线过点，
∴，
解得，
∴，即；
【小问2详解】
解：如图，

由题意得，，
∵A，关于点M成中心对称，
∴点M是等腰直角三角形斜边中线的中点，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为；
【小问3详解】
解：如图，

由（2）得，，，由旋转的性质知，
设原抛物线的解析式为，
代入得，
解得，
∴原抛物线的解析式为，
∴旋转后的图形的对称轴为，
∵E为线段的中点，
∴，
①当为边，且点E的对应点为点Q时，此时点E的纵坐标向下平移个单位，同时点B的纵坐标0向下平移个单位得到点P的纵坐标为，
∵点P在抛物线上，
∴，
解得或，
∴点P坐标为或；
②当为对角线时，由的中点坐标为，
∵点Q的纵坐标，
∴点P的纵坐标为，
∵点P在抛物线上，
∴，
解得或，
∴点P坐标为或；
综上，点P坐标为或或或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，一元二次方程的解法．抛物线的旋转可理解为每个点都绕点B逆时针旋转了．
第一批
第二批
A型货车的辆数（单位：辆）
1
2
B型货车的辆数（单位：辆）
3
5
累计运送货物的吨数（单位：吨）
28
50
备注：第一批、第二批每辆货车均满载