初中数学冀教版（2024）七年级上册（2024）第三章 代数式3.3 数量之间的关系教案

这是一份初中数学冀教版（2024）七年级上册（2024）第三章 代数式3.3 数量之间的关系教案，共6页。

1.会用代数式表示数与图形的变化规律;会从不同角度分析和解决问题,体会同一量可以用不同代数式来表示,代数式可以更简洁地表达规律.
2.能发现特例中的变与不变,发现共性,寻找一般规律,解决问题,体会由特殊到一般、转化、数形结合等数学思想方法.
3.进一步培养学生的独立思考、合作交流及观察分析等能力.
学习重点
用代数式表示数与图形的变化规律.
学习难点
掌握用代数式表示数量之间的关系.
课时活动设计
复习引入
通过上节课的学习,我们应如何列出代数式,以解决较复杂的实际问题?有什么注意事项?在现实世界中,许多数量之间的关系都可以借助代数式表示出来.本节课我们就来研究怎样用代数式表示数量之间的关系.
设计意图:开门见山,引出本节课的内容,为本节课的学习奠定基础.
探究新知
探究1 用代数式表示数的变化规律
问题1:仔细观察,按你发现的规律填空:
(1)1,2,3,4, 5 , 6 ,…, n (第n个数);
(2)2,4,6,8, 10 , 12 ,…, 2n (第n个数);
(3)2,4,8,16, 32 , 64 ,…, 2n (第n个数);
(4)1,4,9,16, 25 , 36 ,…, n2 (第n个数);
(5)1,3,6,10, 15 , 21 ,…, n(n+1)2 (第n个数).
师生活动:小组合作,互相交流讨论,派小组代表展示交流成果,并给出思考过程,教师及时给予点评指导,共同探究规律.
问题2:如图,这是一个由1~120的连续整数排成的“数阵”.如果用方框围住9个数,那么这9个数的和随方框位置的变化而变化.
(1)如果设方框左上角的数为a,用含a的代数式表示这9个数的和;
(2)如果设方框正中间的数为m,S表示这9个数的和,请写出用m表示S的关系式;
(3)如果将方框由左向右平行移动一列,那么这9个数的和会有怎样的变化?如果方框由上向下平行移动一行,那么这9个数的和又有怎样的变化?
分析:此题解决问题的关键是发现“数阵”中的数字是如何排列的,即左右相差1,上下相差6,然后用同一个字母分别表示不同的数,化简求和即得结果.
学生先独立思考,写出解题过程,再小组交流解题思路,准备演讲.
解:(1)设方框左上角的数为a,则其他8个数分别为a+1,a+2,a+6,a+7,a+8,a+12,a+13,a+14,这9个数的和为a+a+1+a+2+a+6+a+7+a+8+a+12+a+13+a+14=9a+63.
(2)设方框正中间的数为m,则其他8个数分别为m-7,m-6,m-5,m-1,m+1,m+5,m+6,m+7,所以S为m-7+m-6+m-5+m-1+m+m+1+m+5+m+6+m+7=9m.即S=9m.
(3)将方框由左向右平行移动一列,和增加9;方框由上向下平行移动一行,和增加54.
探究2 用代数式表示图形的变化规律
问题3:图1是由点组成的n行n列的方阵,设其总点数为P.图2是由每条边上n个点围成的空心方阵,设其总点数为Q.
图1 图2
(1)图1中方阵的总点数为多少?
解:P=n2.
(2)图2中方阵的总点数是多少?
解:Q=n2-(n-2)2.
追问:你还有其他的计算方法吗?
学生分组讨论,自主探究,然后教师多媒体演示图2中总点数不同的计算方法.
活动要求:
(1)小组内讨论出不同的方法,并在图上做好标注,写出结论.
(2)请小组代表展示讨论结果,并说明理由.
(3)如有疑问,请小组内同学互助解答.
预设结果:
图1
如图1分组,得4n-4
图2
如图2分组,得4(n-1)
图3
如图3分组,得4(n-2)+4
图4
如图4分组,得2n+2(n-2)
设计意图:通过探究,让学生进一步感受代数式可以表示数量之间的关系,培养学生从不同角度分析问题、解决问题的能力.
典例精讲
例1 一列数12,49,38,825,…,按此规律排列,第n个数是 2n(n+1)2 .
例2 如图,已知大正方形的边长为1,连接对边中点,将大正方形分为4个边长相等的小正方形,并将其中的3个小正方形涂上阴影,得到如图1所示的图形:连接图1中空白正方形的对边中点,又得到4个边长相等的小正方形,再将其中的3个小正方形涂上阴影,得到如图2所示的图形……按照这样的方式继续分割下去,设阴影部分的面积为S.
(1)在图1中,空白正方形的边长为 12 ,S= 34 .
(2)在图2中,空白正方形的边长为 14 ,S= 1516 .
(3)在第n个图形中,S= 1-12n2 .(用含n的代数式表示)
设计意图:培养学生从不同角度分析问题、解决问题的能力,使学生发现代数式可以更简洁地表达规律.
巩固训练
1.观察:
1×3=22-1,
2×4=32-1,
3×5=42-1,
…
请你试用一个公式表示出这些等式所反映的规律.
解:这些等式所反映的规律是n×(n+2)=(n+1)2-1.
2.按如图所示,用火柴摆图形
(1)填写下表:
(2)要拼出有n(n>1)个三角形的图形,需要多少根火柴?
(3)要拼出有18个与40个三角形的图形,分别需要多少根火柴?
解:(1)如表所示.
(2)要拼出有n(n>1)个三角形的图形,需要(2n+1)根火柴.
(3)当n=18时,2n+1=2×18+1=37;当n=40时,2n+1=2×40+1=81.
所以要拼出有18个三角形的图形,需要37根火柴;要拼出有40个三角形的图形,需要81根火柴.
设计意图:学生通过观察、分析,用代数式表示规律,并解决问题,感受代数式解决问题的优势.
课堂小结
1.本节课我们学习的内容是什么?
2.通过本节课的探究活动,你有什么收获和感受?
设计意图:通过小结,学生梳理本节所学内容,同学们互帮互助,解决困惑.充分发挥学生的主体意识,培养学生的语言概括能力和发散思维能力.
课堂8分钟.
1.教材第116,117页习题A组第1,2题,B组第3,4题,C组第5题.
2.七彩作业.
教学反思


三角形的数量/个
1
2
3
4
5
…
火柴的数量/根
3
5
7
9
11
…