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冀教版（2024）七年级上册（2024）5.4 一元一次方程的应用教学设计及反思
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这是一份冀教版（2024）七年级上册（2024）5.4 一元一次方程的应用教学设计及反思，共24页。教案主要包含了方案二进行分段分析.等内容，欢迎下载使用。
课时目标
1.能从实际问题中抽象出数量之间的相等关系,会解决有关一元一次方程的简单问题,培养学生的应用意识及分析和解决问题的能力,发展学生的抽象能力.
2.熟悉和、差、倍、分问题,培养学生的模型观念.
3.了解找出等量关系、列出方程的关键在于分析已知、未知量之间的关系及寻找相等关系,列出一元一次方程解决简单的应用题.
学习重点
利用一元一次方程解决和、差、倍、分问题.
学习难点
学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系,列出一元一次方程.
课时活动设计
情境引入
阅读下列对话,你能帮小敏解答困惑吗?
小红:“小敏,我能猜出你的年龄.”
小敏:“我不信.”
小红:“你的年龄乘2减5等于多少?”
小敏:“21.”
小红:“你13岁.”
小敏:她怎么知道我的年龄的呢?
设计意图:通过有趣的情境,激发学生探究欲望,点燃学习热情,为本节课的学习作铺垫.
探究新知
问题1:某学校七年级同学参加一次公益活动,其中15%的同学去作保护环境的宣传,剩下的170名同学去植树.七年级共有多少名同学参加了这次公益活动?
学生自主探索、讨论、交流,教师点拨.
本题的等量关系是什么?请同学们根据等量关系列出方程,并求解.
学生回答:作保护环境宣传的人数+植树的人数=参加公益活动的同学人数.
解:设七年级共有x名同学参加了这次公益活动,则作保护环境宣传的同学有15%x名.
根据题意,得15%x+170=x.
解这个方程,得x=200.
答:七年级共有200名同学参加了这次公益活动.
追问:还有其他的列法吗?
解:设七年级共有x名同学参加了这次公益活动,则作保护环境宣传的同学有(x-170)名.根据题意,得15%x=x-170.
问题2:如何根据和、差、倍分问题列方程?
学生回答:找关键词,确定等量关系,设未知数,再列方程.
追问:有哪些等量关系呢?
师生共同归纳:和(差)关系,如总量=各分量之和,大数=小数+大数与小数的差;
倍(分)关系,如几倍后的量=基础量×倍数,分量=总量×分量对总量所占的分数.
思考:列一元一次方程解应用题的步骤有哪些?
小组思考讨论交流回答.
教师总结:(1)认真审题,寻找等量关系.
(2)设未知数.用字母表示题目中的未知数时,一般采用直接设法,当直接设法列方程有困难时,可采用间接设法,注意未知数的单位不要漏写.
(3)列方程.可借助图表等分析题中的已知量与未知量之间的关系,列出等式两边的代数式.列方程应满足三个条件:各类是同类量,单位一致,两边是等量.
(4)解方程.应根据等式的基本性质和运算法则求解.
(5)检验并作答.检查方程的解是否符合应用题的实际意义,进行取舍,并注意单位.
设计意图:通过小组交流、展示,总结解决这类问题的方法以及列一元一次方程解应用题的一般步骤,增强学生的交流合作能力和语言表达能力,真正让学生逐步学会用数学的眼光看世界,用数学的语言表达现实世界,同时增强同学们的应用意识和模型观念.
典例精讲
例 大、小两台拖拉机一天共耕地19公顷.其中,大拖拉机耕地面积比小拖拉机耕地面积的2倍还多1公顷.这两台拖拉机一天各耕地多少公顷?
学生寻找本题等量关系,独立完成,然后小组内交流.
分析:大拖拉机耕地面积+小拖拉机耕地面积=总耕地面积.
大拖拉机耕地面积=小拖拉机耕地面积×2+1.
学生分析寻找等量关系时,可能存在分析问题的思路不同,会找出如下关系:
小拖拉机耕地面积=两台拖拉机总耕地面积-大拖拉机耕地面积.
大拖拉机耕地面积=两台拖拉机总耕地面积-小拖拉机耕地面积.
解:设小拖拉机一天耕地x公顷,则大拖拉机一天耕地(2x+1)公顷.
根据题意,得x+(2x+1)=19.解得x=6.
所以2x+1=13.
答:大拖拉机一天耕地13公顷,小拖拉机一天耕地6公顷.
设计意图:通过例题讲解,展示不同的方法,让同学们感受到列这类问题的方程的依据主要是各分量之和等于总量.
巩固训练
1.练习本比水性笔的单价少2元,小刚买了5本练习本和3支水性笔正好用去14元.如果设水性笔的单价为x元,那么下列方程正确的是(A)
A.5(x-2)+3x=14 B.5(x+2)+3x=14
C.5x+3(x+2)=14 D.5x+3(x-2)=14
2.学校文艺部组织部门学生看演出,共购得8张甲票,4张乙票,总计用了112元.已知甲票的单价比乙票的单价贵2元,则甲票、乙票的票价分别是(B)
A.甲票8元/张,乙票10元/张B.甲票10元/张,乙票8元/张
C.甲票12元/张,乙票10元/张D.甲票10元/张,乙票12元/张
3.已知三个连续整数的和是18,求这三个数.
解:设这三个数分别为x,x+1,x+2.
由题意,得x+(x+1)+(x+2)=18.解得x=5.
所以x+1=6,x+2=7.
答:这三个数分别为5,6,7.
4.小明和小东各有课外读物若干本,小明课外读物的数量是小东的2倍,小明送给小东10本后,小东课外读物的数量是小明的3倍,求小明和小东原来各有课外读物多少本.
解:设小东原来有课外读物x本,则小明原来有课外读物2x本.
由题意,得3(2x-10)=x+10.解得x=8.
所以2x=16.
答:小明原来有课外读物16本,小东原来有课外读物8本.
设计意图:通过练习,巩固所学内容,形成清晰的思路和方法.
课堂小结
1.和、差、倍、分问题的等量关系有哪些?
2.列方程解应用题的步骤是什么?
设计意图:通过提问,学生不仅能够牢固地掌握本节内容,还能培养学生的归纳总结能力.
课堂8分钟.
1.教材第171,172页习题A组第1,2,3题,B组第4,5题,C组第6题选做.
2.七彩作业.
第1课时 用一元一次方程解决和差倍分问题
1.解决和、差、倍、分问题的等量关系.
2.列方程解应用题的一般步骤:一审,二设,三列,四解,五答.
教学反思
第2课时 用一元一次方程解决行程问题与工程问题
课时目标
1.能从实际问题中抽象出数量之间的等量关系,会解决有关一元一次方程的简单问题.发展学生的的应用意识、分析和解决问题的能力,培养学生的模型观念.
2.能解决行程问题、工程问题等,增强模型观念.
学习重点
找等量关系,列出方程解决行程问题与工程问题.
学习难点
找等量关系正确列出方程.
课时活动设计
问题引入
小红和小华家相距5 km,周末两人约好出去玩,两人同时从家里出发,相对而行,小红每小时走3 km,小华每小时走2 km,问她们出发后几小时在途中相遇?
设计意图:通过问题引入,激发学生的学习兴趣和探究欲望.
探究新知
探究1 行程问题
问题1:请学生们尝试找出上一活动中的问题的等量关系.
解:小红所走的路程+小华所走的路程=小红家和小华家之间的路程.
让学生尝试画图,并找学生上黑板画出分析图.
根据线段图,让学生独立设未知数,列方程.教师巡视并指导.
解:设两人出发后x h相遇,
则根据题意,可列出方程为3x+2x=5.解得x=1.
答:她们出发后1小时在途中相遇.
思考:在行程问题中有哪些数量关系?如何列方程?
教师引导:解方程应用题的关键就是要“抓住基本量,找出相等关系”,行程问题中有三个基本量:路程、时间、速度.
师生共同归纳关系式:路程=速度×时间.
相遇问题:①相遇时间×速度和=路程和;②s甲+s乙=s.
探究2 工程问题
问题2:一项工作,小李单独做需要6 h完成,小王单独做需要9 h完成,如果小李先做2 h后,再由两人合做,那么还需两人合做几小时才能完成?
分析:本题中含有如下等量关系.
小李单独做6 h的工作量=小王单独做9 h的工作量,
小李单独做2 h的工作量+两人合做的工作量=总工作量,
工作效率×工作时间=工作量.
如果设还需两人合做x h才能完成,则有下面的分析图.
解:设还需两人合做x h才能完成.
根据题意,得16×2+(16+19)x=1.
解这个方程,得x=125.
答:还需两人合做125 h才能完成这项工作.
思考:工程问题的基本量是什么?基本关系式呢?
学生交流、讨论,教师点评.
师生共同归纳工程问题中的基本量:工作效率、工作时间、工作量.
基本关系式:工作量=工作效率×工作时间;
工作效率=工作量÷工作时间;
工作时间=工作量÷工作效率.
这三个量中,如果有两个量是已知的或是已设的未知量,则可用它们表示出第三个量.
注意:在有关工程问题中,通常把全部工作量视为“1”,分析这类问题的关键是抓住工作效率.
设计意图:通过学生自主探索,尝试解决问题,采用线段分析图的方式探索问题,一方面培养学生自主学习的能力,另一方面及时反馈学生对引入问题的理解.
典例精讲
例 甲、乙两地间的路程为375 km,一辆轿车和一辆公共汽车分别从甲、乙两地同时出发沿公路相向而行.轿车的平均速度为90 km/h,公共汽车的平均速度为60 km/h.它们出发后多长时间相遇?
分析:(1)本题中的等量关系:轿车行驶的路程+公共汽车行驶的路程=甲、乙两地之间的总路程.
(2)设两车出发后x h相遇,根据下图可列方程.
解:设两车出发后x h相遇.
根据题意,可得90x+60x=375.解得x=2.5.
答:两车出发后2.5小时相遇.
设计意图:通过例题,明确解题思路,规范解题步骤,提高学生用方程解决实际问题的能力.
巩固训练
1.甲、乙两人骑自行车,同时从相距54 km的两地相向而行,2 h后相遇,已知甲每小时比乙多走3 km,求甲、乙两人的速度.
解:设乙每小时走x km,则甲每小时走(x+3)km.
由题意,可得2x+2(x+3)=54.解得x=12.
所以x+3=15.
答:乙的速度是12 km/h,甲的速度是15 km/h.
2.为使福利院的孩子们度过一个快乐的儿童节,某玩具厂决定赠送他们一批玩具.这批玩具甲组独立生产需要10天完成,乙组独立生产需要6天完成.甲组独立生产2天后,乙组开始参与生产,两组合作生产多少天可以完成这批玩具的生产任务?
解:设两组合作生产x天可以完成这批玩具的生产任务.
由题意,可得210+(110+16)x=1.解得x=3.
答:两组合作生产3天可以完成这批玩具的生产任务.
设计意图:通过审题,学生能找到数量关系并列出方程,发展分析和解决问题的能力,巩固一元一次方程的解题步骤.
课堂小结
行程问题和工程问题的等量关系有哪些?
设计意图:让学生复习回顾本节课所学内容,提升学生的总结概括能力.
课堂8分钟.
1.教材第174页习题A组第1,2,3题,B组第4,5题.
2.七彩作业.
第2课时 用一元一次方程解决行程问题与工程问题
1.行程、工程问题的基本量.
2.分析行程、工程问题的数量关系.
3.例题讲解.
教学反思
第3课时 同一个量的不同表示问题
课时目标
1.能从实际问题中抽象出数量之间的等量关系,会解决有关一元一次方程的简单问题,发展学生的的应用意识、分析和解决问题的能力,培养学生的模型观念.
2.熟悉追及问题、相遇问题,同一个量的不同表示,培养模型观念的核心素养;体会数学的应用价值,增强其应用数学的意识,激发学习数学的热情.
学习重点
准确分析题意,理解同一个量可以有不同表示形式.
学习难点
利用图形找等量关系,建立方程模型.
课时活动设计
情境引入
同学们,当我们站在一望无垠的麦田中央,倾听流泻而出的风的声音,初升的日光照射在麦田上,绿油油的麦苗泛着青涩的光,犹如一幅美丽的图画.这幅美丽的图画离不开农民伯伯的辛苦劳动,同学们知道农民伯伯是怎样施肥的吗?
设计意图:将枯燥数学问题改为趣味性实际生活问题,更加吸引学生的探索激情,学习的热情,引发学生的猜想、探究,积极的尝试.
探究新知
探究1 方案问题
问题1:某农场要对一块麦田施底肥,现有化肥若干千克.若每公顷施肥400 kg,则余下化肥800 kg;若每公顷施肥500 kg,则缺少化肥300 kg.那么,这块麦田的面积是多少公顷?现有化肥多少千克?
追问1:设这块麦田为x公顷,由“若每公顷施肥400 kg,那么余下化肥800 kg”,可得表示化肥质量的式子是怎样的?
解:400x+800.
追问2:由“若每公顷施肥500 kg,那么缺少化肥300 kg”,可得表示化肥质量的式子又是怎样的?
解:500x-300.
追问3:这两个代数式应有怎样的关系?
解:化肥质量是相同的,所以有400x+800=500x-300.
学生独立思考,写出完整的解答过程.完成解答后进行讲解.
解:设这块麦田的面积是x公顷.
由题意,得400x+800=500x-300.解得x=11.
现有化肥为400x+800=5 200.
答:这块麦田的面积是11公顷,现有化肥5 200千克.
思考:此题是否还有其他解法?能否设现有化肥数为y千克?
学生思考后独立完成解答过程.
解:设现有化肥数为y千克,
由题意,得y-800400=y+300500.解得y=5 200.
这块麦田的面积是y-800400=11.
答:这块麦田的面积是11公顷,现有化肥5 200千克.
思考:解决此类问题如何寻找等量关系?
师生共同归纳:方案问题是较复杂的应用题之一,解决此类问题的思路是设问题中的多个未知量中的一个为x,利用与未知量密切相关的一个等量关系式表示出另一个未知量,最后利用另外一个等量关系列出方程,即同一个量的不同表示形式.
探究2 追及问题
问题2:某学校七年级师生进行了一次徒步活动.带队教师和学生以4 km/h的速度从学校出发,20 min后,小王骑自行车前往追赶.如果小王以12 km/h的速度骑行,那么小王要用多少时间才能追上队伍?此时,队伍已行走了多远?
分析:小王追上队伍,也就是小王和队伍走过的路程相等;小王骑车行驶的路程=队伍行走的路程,如分析图所示.
学生尝试根据等量关系列出方程并计算.
解:设小王要用x h才能追上队伍,此时队伍行走的时间为(13+x)h.
由题意,得12x=413+x.解得x=16.
所以12x=12×16=2.
答:小王用16 h可追上队伍,此时,队伍已行走了2 km.
追问:此题还有其他解法吗?
解:小王追上队伍所用的时间和队伍在小王追赶时到追赶上行驶的路程所用的时间是相等的.
根据这一关系,可设此时队伍行走的路程为y km.
由题意,得y12=y4-13.
师生共同总结追及问题中的等量关系:
1.同地不同时出发:
(1)s快=s慢.
(2)v快t=v慢(t+a)(a为慢者先走的时间).
2.同时不同地出发:
(1)s快-s慢=s间隔距离.
(2)t快=t慢.
注意:计算时要统一单位.
设计意图:有利于提高学生归纳总结能力.借助线段路程图抽象出几何平面图形,培养学生由动态的理解向静态的图形转变,达到解决问题的目的.
典例精讲
例1 甲、乙两人相距6 km,二人同时出发.同向而行,甲3小时可追上乙;相向而行,1小时后相遇.二人的平均速度各是多少?
分析:甲3小时走的路程=乙3小时的路程+6;甲1小时的路程+乙1小时走的路程=6.
解:设甲每小时走x km,则乙每小时走(6-x)km,
由题意,得3x=3(6-x)+6.解得x=4.
所以乙每小时走6-4=2(km).
答:甲的速度为每小时4 km,乙的速度为每小时2 km.
例2 某人乘船由A地顺流而下到B地,然后又逆流而上到C地,共乘船4小时.已知船在静水中的速度为每小时7.5千米,水流速度每小时2.5千米,若A,C两地距离为10千米,求A,B两地间的距离.
分析:(1)根据船在顺流航行时的速度=船在静水中的速度+水流速度,逆流航行时的速度=船在静水中的速度-水流速度,即可解决问题;
(2)根据题意可以分两种情况,当C地在A,B两地之间时和当C地在A地的上游时,设A,B两地的距离为x千米,则B,C两地的距离为(x-10)千米或(x+10)千米,利用时间=路程÷速度,可得出关于x的一元一次方程,可求出A,B两地的距离.
解:设A,B两地之间的距离为x km.则B,C两地的距离为(x-10)千米或(x+10)千米.
当C地在A,B两地之间时,
根据题意,得x7.5+2.5+x-107.5-2.5=4.解得x=20.
当C地在A地上游时,
根据题意,得x7.5+2.5+x+107.5-2.5=4.解得x=203.
答:A,B两地之间的距离为20 km或203 km.
设计意图:通过例题,让学生运用所学知识熟练解决数学问题,提高学生的数学应用能力.
巩固训练
1.某快递分派站现有若干件包裹需快递员派送.若每个快递员派送10件,还剩6件;若每个快递员派12件,还差6件,则分派站现有包裹多少件?
解:设分派站现有快递员x个,
根据题意,得10x+6=12x-6.解得x=6.
所以包裹有10×6+6=66(件).
答:分派站现有包裹66件.
2.一艘船从甲码头顺流而行,用了3小时到达乙码头,该船从乙码头返回甲码头逆流而行,用了5小时,已知水流速度是3千米/小时,求船在静水中的速度.
解:设船在静水中的速度是x千米/小时,
由题意,得3(x+3)=5(x-3),解得x=12.
答:船在静水中的速度为12千米/小时.
设计意图:提高学生解决问题的能力,学以致用,查漏补缺.
课堂小结
1.本节课我们学习了哪些问题?
2.通过本节课的探究活动,你有什么收获和感受?
设计意图:通过让学生自己回顾、总结本节课所学内容,提高学生的归纳总结能力.
课堂8分钟.
1.教材176,177页习题A组第1,2,3题,B组第4,5题.
2.七彩作业.
第3课时 同一个量的不同表示问题
行程基础问题:s=vt.
相遇问题: s=s1+s2=v1t+v2t=(v1+v2)t.
s=s1+s2=s0+v1t+v2t=v1t0+(v1+v2)t.
(v1先,v2后)
追击问题:s0=(v2-v1)t(v2>v1).
往返问题:v顺=v静+v水(风);v逆=v静-v水(风).
教学反思
第4课时 用一元一次方程解决储蓄问题与销售问题
课时目标
1.能从实际问题中抽象出数量之间的等量关系,会解决有关一元一次方程的简单问题,发展学生的的应用意识、分析和解决问题的能力,培养学生的模型观念.
2.熟悉增长率问题、储蓄、销售问题的解决办法,增强模型观念.
学习重点
弄清增长、利率、打折的含义,根据题中等量关系列方程解决问题.
学习难点
学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系,列出一元一次方程.
课时活动设计
问题引入
你能完成下面的填空吗?
(1)某企业2010年的产值为300亿元,2011年的产值增长了23.5%,那么2011年的产值为 370.5亿元 .
(2)某商品原来每件零售价是280元,现在每件降价10%,降价后每件零售价是 252 元.
设计意图:从生活中的简单问题入手,通过学生口答,激发学习兴趣.在此过程中培养学生的表达能力,使学生学会用数学语言表达现实世界.
探究新知
探究1 增长率问题
问题1:某企业2022年的生产总值为95 930万元,比2021年增长了7.3%,那么2021年该企业的生产总值为多少万元?(结果精确到1万元)
追问1:找出本题中的等量关系.
解:原有数量+增长数量=现有数量.
追问2:设该企业2021年的生产总值为x万元,请将下表补充完整:
追问3:根据表格列出方程并求解.
学生独立思考,然后再交流讨论,展示解决问题的步骤,说出列方程的依据.学生上黑板演示.
解:设2021年该企业的生产总值为x万元.
根据题意,得x+7.3%x=95 930.解得x≈89 404.
答:2021年该企业的生产总值约为89 404万元.
探究2 利率问题
问题2:某期3年期国债的年利率为2.8%,这期国债发行时,3年期定期存款的年利率为3.0%.小红的爸爸有一笔钱,如果用来存3年期定期存款比买这期国债到期后可多得利息48元,那么这笔钱为多少元?
分析:利息=本金×年利率×年数.
解:设这笔钱是x元.
依题意,得x×3.0%×3-x×2.8%×3=48.
解得x=8 000.
答:这笔钱是8 000元.
思考:利率问题的基本数量关系有哪些?
学生先独立思考,再小组交流讨论.
师生共同归纳:利息=本金×年利率×年款;本息和=本金+利息.
探究3 销售问题
问题3:一件上衣按其进价提高40%后标价出售.在促销活动中,以标价的八折售出,结果仍盈利18元.那么这件上衣的进价是多少元?
分析:设这件上衣进价为x元,则标价为(x+40%x)元,实际售价为(x+40%x)×80%元,获得利润为18元.
解:设这件上衣的进价是x元.
根据题意,得(x+40%x)×80%-x=18.解得x=150.
答:这件上衣进价是150元.
思考:销售问题的基本数量关系有哪些?
师生共同归纳:利润=售价-进价;售价=标价×折扣率;利润率=利润÷进价.
设计意图:通过学生的自主思考,展示,让学生学会审题,分析数量关系,列出方程;通过例题,巩固学生列方程的步骤及解方程的计算能力;使学生掌握增长率问题、利息问题、销售问题的解题方法;培养学生的抽象能力、运算能力、推理能力、模型观念的核心素养.
巩固训练
1.某人存入银行2 000元,定期一年,到期后得到利息和本金共2 070元.若设该种储蓄的年利率为x.列方程为 2 000(1+x)=2 070 ,年利率为 3.5% .
2.某商场把进价为1 980元的商品按标价的八折出售,仍获利10%,则该商品的标价为 2 722.5 元.
3.甲、乙两种商品原来的单价和为100元,因市场变化,甲商品降价10%,乙商品提价40%,调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%.求甲、乙两种商品原来的单价.
解:设甲商品原单价为x元,则乙商品原单价为(100-x)元.
依题意,得(1-10%)x+(1+40%)(100-x)=100×(1+20%).解得x=40.
所以100-x=60.
答:甲商品原单价为40元,乙商品原单价为60元.
4.某商品的进价是1 000元,售价是1 500元,由于销售情况不好,商店决定降价出售,但又要保证利润率不低于5%,那么商店最多可打几折出售此商品?
解:设商店最多可以打x折出售此商品,
根据题意,得1 500×x10=1 000×(1+5%).解得x=7.
答:商店最多可以打七折出售此商品.
设计意图:通过学生的展示,巩固所学.培养学生的应用意识,提高学生的运算能力.
课堂小结
设计意图:以思维导图的形式总结本节课的内容,梳理知识点,加深学生对本节课内容的学习和理解.
课堂8分钟.
1.教材第178,179页习题A组第1,2题,B组第3题,C组第4题.
2.七彩作业.
第4课时 用一元一次方程解决储蓄问题与销售问题
1.增长率问题:原有数量+增长数量=现有数量.
2.销售利润问题:利润=销售价(收入)-成本(进价).利润率=利润÷成本.
3.储蓄问题:利息=本金×利率×期数.本息和(本利)=本金+利息.
教学反思
第5课时 用一元一次方程解决几何问题与分段计费问题
课时目标
1.能从实际问题中抽象出数量之间的等量关系,会解决有关一元一次方程的简单问题,发展学生的的应用意识、分析和解决问题的能力,培养学生的模型观念.
2.解决分段计费问题,增强模型观念.体会分类思想和方程思想,增强应用意识和应用能力.
学习重点
由实际问题抽象出数学模型的探究过程.
学习难点
分类讨论思想的应用.
课时活动设计
情境引入
有四位同学到营业厅办理电话计费业务,营业员出示了如下两种计费方式:
1.你知道什么是“月使用费”、“主叫限定时间”、“主叫超时费”吗?
2.如何选择最划算呢?
学生自主回答.
设计意图:通过生活中的常见问题,引发学生兴趣,引出课题.
探究新知
探究1 分段计费问题
对于分段收费、分段计价等问题,有时需根据题意先确定未知数的范围,然后再列出符合题目要求的方程,进而解决问题.针对教学活动1中的问题,试着分析两种计费方式.
两种方式的计费均为:总费用=月使用费+通话时间×每分钟通话费用.
我们可以对方案一、方案二进行分段分析.
方案一:当主叫时间0≤t≤150时,方案一的费用为58元.
当主叫时间t>150时,方案一的费用=58+0.25×(t-150)=20.5+0.25t.
方案二:当主叫时间0≤t≤350时,方案二的费用为88元.
当主叫时间t>350时,方案二的费用=88+0.19×(t-350)=21.5+0.19t.
思考:(1)当150解:当两个方案计费相同时,列方程为20.5+0.25t=88,解得t=270.
所以当t=270时,方案一和方案二费用相等.
(2)①你能写出当t>350时,方案一计费的另一种表达式吗?
58+0.25(t-150)= 108+0.25(t-350) (含有(t-350)项).
②结论:当t≥350时,选择 方案二 省钱.
教师提出问题,学生思考并完成填空,教师巡视并展示学生作答情况.
综合以上的分析,可以发现:
当 0≤t<270 时,选择方案一省钱;
当 t=270 时,选择方案一与方案二费用相等;
当 t>270 时,选择方案二省钱.
教师提出问题,学生思考并完成填空,教师巡视并展示学生作答情况.
师生活动:在得出每个范围的省钱计费方式的结论之后,引导学生将结论进行整合,从而完成建模解题的完整过程.
师生共同归纳解决分段计费问题的方法:
(1)确定未知数的临界点,划分为不同区间,分类讨论.
(2)列方程,在每个区间内根据对应的单价和数量,列出总费用的一元一次方程.
(3)解方程.
(4)检验所求解是否符合题目要求.
探究2 几何问题
将一张长和宽分别为40 cm,30 cm的长方形薄纸板按图1中的实线剪开,再按虚线折叠,恰好折叠成如图2所示的长方体盒子,如果这个盒子的宽∶高=4∶1,那么这个长方体盒子的体积是多少?
解:设减去的正方形边长为x cm,
则30-2x=4x.解得x=5.
所以长方体盒子的体积为(40-2x)(30-2x)x=(40-10)×(30-10)×5=3 000.
答:那么这个长方体盒子的体积是3 000cm2.
设计意图:通过分情况讨论,帮助学生理解问题,对应等量关系,进一步解决问题,从几何图形中建立方程模型,提高学生解决问题的能力.
典例精讲
例 为鼓励居民节约用电,某市实行每月阶梯电价收费制度,具体执行方案如下:
某户居民6月、7月共用电520千瓦·时,用电费用为268元.已知该用户7月的用电量大于6月的用电量,且6月、7月的用电量均小于400千瓦·时.那么该用户6月、7月的用电量分别是多少千瓦·时?
解:依题意可知, 6月、7月的用电量不可能都在第一档.
若6月,7月的用电量都在第二档,则这两个月用电的总费用为240×0.5+240×0.5+40×0.6=246≠268,
故6月、7月的用电量也不可能都在第二档.
又因为7月的用电量大于6月的,所以6月的用电量应在第一档,7月的用电量应在第二档.
设6月的用电量为x千瓦·时,则7月的用电量为(520-x) 千瓦·时.
依题意,得0.5x+240×0.5+(520-x-240)×0.6=268.
解得x=200.
520-200=320.
答:该用户6月的用电量为200千瓦·时,7月的用电量为320千瓦·时.
设计意图:通过对电费的分类讨论,使学生再次了解分类讨论要全面,并且让学生对逆向思维有认识.
巩固训练
1.我市为鼓励居民节约用水,对家庭用水按分段计费方式收取水费:若每月用水量不超过10 m3,则按每立方米1.5元收费;若每月用水量超过10 m3,则超过部分按每立方米3元收费.如果某居民在某月缴纳了45元水费,那么这户居民在这个月的用水量为多少?
解:设这户居民这个月用水量为x m3,
因为当x=10时,水费为1.5×10=15(元),所以x>10.
根据题意,得15+3(x-10)=45.解得x=20.
答:这户居民这个月用水量为20 m3.
2.现有一把无刻度的直尺和四块一样的长方形纸片,已知纸片的长度是其宽度的2倍,将纸片和直尺按如图所示的方式摆放在桌面上,则根据图中给出的数据可知直尺的长度是多少?
解:设长方形纸片的宽为x cm,则长方形纸片的长为2x cm.
根据题意,得2x×4-1=2x+2×2x+3.解得x=2.
所以直尺长度为2x×4-1=15.
答:直尺长度为15 cm.
设计意图:进一步巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力.
课堂小结
1.请学生回顾分段计费问题的探究过程.
2.列方程的过程和方法.
设计意图:在总结了本节课的知识性问题之后,继续引导学生总结本节课的过程与方法,使学生原来模糊的意识、零散的经验得以梳理,从而初步掌握探究同类问题的一般思路.
课堂8分钟.
1.教材第181页习题A组第1,2题,B组第3题,C组第4题.
2.七彩作业.
教学反思
2021年的生产总值
2022年增长的产值
2022年的生产总值
x
7.3%x
x+7.3%x
月使用费/元
主叫限定时间/分
主叫超时费/(元/分)
被叫
方案一
58
150
0.25
免费
方案二
88
350
0.19
免费
档次
每户每月用电量/(千瓦·时)
执行电价/[元/(千瓦·时)]
第一档
小于或等于240
0.5
第二档
大于240且小于或等于400时,超出240的部分
0.6
第三档
大于400时,超出400约部分
0.3
课时目标
1.能从实际问题中抽象出数量之间的相等关系,会解决有关一元一次方程的简单问题,培养学生的应用意识及分析和解决问题的能力,发展学生的抽象能力.
2.熟悉和、差、倍、分问题,培养学生的模型观念.
3.了解找出等量关系、列出方程的关键在于分析已知、未知量之间的关系及寻找相等关系,列出一元一次方程解决简单的应用题.
学习重点
利用一元一次方程解决和、差、倍、分问题.
学习难点
学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系,列出一元一次方程.
课时活动设计
情境引入
阅读下列对话,你能帮小敏解答困惑吗?
小红:“小敏,我能猜出你的年龄.”
小敏:“我不信.”
小红:“你的年龄乘2减5等于多少?”
小敏:“21.”
小红:“你13岁.”
小敏:她怎么知道我的年龄的呢?
设计意图:通过有趣的情境,激发学生探究欲望,点燃学习热情,为本节课的学习作铺垫.
探究新知
问题1:某学校七年级同学参加一次公益活动,其中15%的同学去作保护环境的宣传,剩下的170名同学去植树.七年级共有多少名同学参加了这次公益活动?
学生自主探索、讨论、交流,教师点拨.
本题的等量关系是什么?请同学们根据等量关系列出方程,并求解.
学生回答:作保护环境宣传的人数+植树的人数=参加公益活动的同学人数.
解:设七年级共有x名同学参加了这次公益活动,则作保护环境宣传的同学有15%x名.
根据题意,得15%x+170=x.
解这个方程,得x=200.
答:七年级共有200名同学参加了这次公益活动.
追问:还有其他的列法吗?
解:设七年级共有x名同学参加了这次公益活动,则作保护环境宣传的同学有(x-170)名.根据题意,得15%x=x-170.
问题2:如何根据和、差、倍分问题列方程?
学生回答:找关键词,确定等量关系,设未知数,再列方程.
追问:有哪些等量关系呢?
师生共同归纳:和(差)关系,如总量=各分量之和,大数=小数+大数与小数的差;
倍(分)关系,如几倍后的量=基础量×倍数,分量=总量×分量对总量所占的分数.
思考:列一元一次方程解应用题的步骤有哪些?
小组思考讨论交流回答.
教师总结:(1)认真审题,寻找等量关系.
(2)设未知数.用字母表示题目中的未知数时,一般采用直接设法,当直接设法列方程有困难时,可采用间接设法,注意未知数的单位不要漏写.
(3)列方程.可借助图表等分析题中的已知量与未知量之间的关系,列出等式两边的代数式.列方程应满足三个条件:各类是同类量,单位一致,两边是等量.
(4)解方程.应根据等式的基本性质和运算法则求解.
(5)检验并作答.检查方程的解是否符合应用题的实际意义,进行取舍,并注意单位.
设计意图:通过小组交流、展示,总结解决这类问题的方法以及列一元一次方程解应用题的一般步骤,增强学生的交流合作能力和语言表达能力,真正让学生逐步学会用数学的眼光看世界,用数学的语言表达现实世界,同时增强同学们的应用意识和模型观念.
典例精讲
例 大、小两台拖拉机一天共耕地19公顷.其中,大拖拉机耕地面积比小拖拉机耕地面积的2倍还多1公顷.这两台拖拉机一天各耕地多少公顷?
学生寻找本题等量关系,独立完成,然后小组内交流.
分析:大拖拉机耕地面积+小拖拉机耕地面积=总耕地面积.
大拖拉机耕地面积=小拖拉机耕地面积×2+1.
学生分析寻找等量关系时,可能存在分析问题的思路不同,会找出如下关系:
小拖拉机耕地面积=两台拖拉机总耕地面积-大拖拉机耕地面积.
大拖拉机耕地面积=两台拖拉机总耕地面积-小拖拉机耕地面积.
解:设小拖拉机一天耕地x公顷,则大拖拉机一天耕地(2x+1)公顷.
根据题意,得x+(2x+1)=19.解得x=6.
所以2x+1=13.
答:大拖拉机一天耕地13公顷,小拖拉机一天耕地6公顷.
设计意图:通过例题讲解,展示不同的方法,让同学们感受到列这类问题的方程的依据主要是各分量之和等于总量.
巩固训练
1.练习本比水性笔的单价少2元,小刚买了5本练习本和3支水性笔正好用去14元.如果设水性笔的单价为x元,那么下列方程正确的是(A)
A.5(x-2)+3x=14 B.5(x+2)+3x=14
C.5x+3(x+2)=14 D.5x+3(x-2)=14
2.学校文艺部组织部门学生看演出,共购得8张甲票,4张乙票,总计用了112元.已知甲票的单价比乙票的单价贵2元,则甲票、乙票的票价分别是(B)
A.甲票8元/张,乙票10元/张B.甲票10元/张,乙票8元/张
C.甲票12元/张,乙票10元/张D.甲票10元/张,乙票12元/张
3.已知三个连续整数的和是18,求这三个数.
解:设这三个数分别为x,x+1,x+2.
由题意,得x+(x+1)+(x+2)=18.解得x=5.
所以x+1=6,x+2=7.
答:这三个数分别为5,6,7.
4.小明和小东各有课外读物若干本,小明课外读物的数量是小东的2倍,小明送给小东10本后,小东课外读物的数量是小明的3倍,求小明和小东原来各有课外读物多少本.
解:设小东原来有课外读物x本,则小明原来有课外读物2x本.
由题意,得3(2x-10)=x+10.解得x=8.
所以2x=16.
答:小明原来有课外读物16本,小东原来有课外读物8本.
设计意图:通过练习,巩固所学内容,形成清晰的思路和方法.
课堂小结
1.和、差、倍、分问题的等量关系有哪些?
2.列方程解应用题的步骤是什么?
设计意图:通过提问,学生不仅能够牢固地掌握本节内容,还能培养学生的归纳总结能力.
课堂8分钟.
1.教材第171,172页习题A组第1,2,3题,B组第4,5题,C组第6题选做.
2.七彩作业.
第1课时 用一元一次方程解决和差倍分问题
1.解决和、差、倍、分问题的等量关系.
2.列方程解应用题的一般步骤:一审,二设,三列,四解,五答.
教学反思
第2课时 用一元一次方程解决行程问题与工程问题
课时目标
1.能从实际问题中抽象出数量之间的等量关系,会解决有关一元一次方程的简单问题.发展学生的的应用意识、分析和解决问题的能力,培养学生的模型观念.
2.能解决行程问题、工程问题等,增强模型观念.
学习重点
找等量关系,列出方程解决行程问题与工程问题.
学习难点
找等量关系正确列出方程.
课时活动设计
问题引入
小红和小华家相距5 km,周末两人约好出去玩,两人同时从家里出发,相对而行,小红每小时走3 km,小华每小时走2 km,问她们出发后几小时在途中相遇?
设计意图:通过问题引入,激发学生的学习兴趣和探究欲望.
探究新知
探究1 行程问题
问题1:请学生们尝试找出上一活动中的问题的等量关系.
解:小红所走的路程+小华所走的路程=小红家和小华家之间的路程.
让学生尝试画图,并找学生上黑板画出分析图.
根据线段图,让学生独立设未知数,列方程.教师巡视并指导.
解:设两人出发后x h相遇,
则根据题意,可列出方程为3x+2x=5.解得x=1.
答:她们出发后1小时在途中相遇.
思考:在行程问题中有哪些数量关系?如何列方程?
教师引导:解方程应用题的关键就是要“抓住基本量,找出相等关系”,行程问题中有三个基本量:路程、时间、速度.
师生共同归纳关系式:路程=速度×时间.
相遇问题:①相遇时间×速度和=路程和;②s甲+s乙=s.
探究2 工程问题
问题2:一项工作,小李单独做需要6 h完成,小王单独做需要9 h完成,如果小李先做2 h后,再由两人合做,那么还需两人合做几小时才能完成?
分析:本题中含有如下等量关系.
小李单独做6 h的工作量=小王单独做9 h的工作量,
小李单独做2 h的工作量+两人合做的工作量=总工作量,
工作效率×工作时间=工作量.
如果设还需两人合做x h才能完成,则有下面的分析图.
解:设还需两人合做x h才能完成.
根据题意,得16×2+(16+19)x=1.
解这个方程,得x=125.
答:还需两人合做125 h才能完成这项工作.
思考:工程问题的基本量是什么?基本关系式呢?
学生交流、讨论,教师点评.
师生共同归纳工程问题中的基本量:工作效率、工作时间、工作量.
基本关系式:工作量=工作效率×工作时间;
工作效率=工作量÷工作时间;
工作时间=工作量÷工作效率.
这三个量中,如果有两个量是已知的或是已设的未知量,则可用它们表示出第三个量.
注意:在有关工程问题中,通常把全部工作量视为“1”,分析这类问题的关键是抓住工作效率.
设计意图:通过学生自主探索,尝试解决问题,采用线段分析图的方式探索问题,一方面培养学生自主学习的能力,另一方面及时反馈学生对引入问题的理解.
典例精讲
例 甲、乙两地间的路程为375 km,一辆轿车和一辆公共汽车分别从甲、乙两地同时出发沿公路相向而行.轿车的平均速度为90 km/h,公共汽车的平均速度为60 km/h.它们出发后多长时间相遇?
分析:(1)本题中的等量关系:轿车行驶的路程+公共汽车行驶的路程=甲、乙两地之间的总路程.
(2)设两车出发后x h相遇,根据下图可列方程.
解:设两车出发后x h相遇.
根据题意,可得90x+60x=375.解得x=2.5.
答:两车出发后2.5小时相遇.
设计意图:通过例题,明确解题思路,规范解题步骤,提高学生用方程解决实际问题的能力.
巩固训练
1.甲、乙两人骑自行车,同时从相距54 km的两地相向而行,2 h后相遇,已知甲每小时比乙多走3 km,求甲、乙两人的速度.
解:设乙每小时走x km,则甲每小时走(x+3)km.
由题意,可得2x+2(x+3)=54.解得x=12.
所以x+3=15.
答:乙的速度是12 km/h,甲的速度是15 km/h.
2.为使福利院的孩子们度过一个快乐的儿童节,某玩具厂决定赠送他们一批玩具.这批玩具甲组独立生产需要10天完成,乙组独立生产需要6天完成.甲组独立生产2天后,乙组开始参与生产,两组合作生产多少天可以完成这批玩具的生产任务?
解:设两组合作生产x天可以完成这批玩具的生产任务.
由题意,可得210+(110+16)x=1.解得x=3.
答:两组合作生产3天可以完成这批玩具的生产任务.
设计意图:通过审题,学生能找到数量关系并列出方程,发展分析和解决问题的能力,巩固一元一次方程的解题步骤.
课堂小结
行程问题和工程问题的等量关系有哪些?
设计意图:让学生复习回顾本节课所学内容,提升学生的总结概括能力.
课堂8分钟.
1.教材第174页习题A组第1,2,3题,B组第4,5题.
2.七彩作业.
第2课时 用一元一次方程解决行程问题与工程问题
1.行程、工程问题的基本量.
2.分析行程、工程问题的数量关系.
3.例题讲解.
教学反思
第3课时 同一个量的不同表示问题
课时目标
1.能从实际问题中抽象出数量之间的等量关系,会解决有关一元一次方程的简单问题,发展学生的的应用意识、分析和解决问题的能力,培养学生的模型观念.
2.熟悉追及问题、相遇问题,同一个量的不同表示,培养模型观念的核心素养;体会数学的应用价值,增强其应用数学的意识,激发学习数学的热情.
学习重点
准确分析题意,理解同一个量可以有不同表示形式.
学习难点
利用图形找等量关系,建立方程模型.
课时活动设计
情境引入
同学们,当我们站在一望无垠的麦田中央,倾听流泻而出的风的声音,初升的日光照射在麦田上,绿油油的麦苗泛着青涩的光,犹如一幅美丽的图画.这幅美丽的图画离不开农民伯伯的辛苦劳动,同学们知道农民伯伯是怎样施肥的吗?
设计意图:将枯燥数学问题改为趣味性实际生活问题,更加吸引学生的探索激情,学习的热情,引发学生的猜想、探究,积极的尝试.
探究新知
探究1 方案问题
问题1:某农场要对一块麦田施底肥,现有化肥若干千克.若每公顷施肥400 kg,则余下化肥800 kg;若每公顷施肥500 kg,则缺少化肥300 kg.那么,这块麦田的面积是多少公顷?现有化肥多少千克?
追问1:设这块麦田为x公顷,由“若每公顷施肥400 kg,那么余下化肥800 kg”,可得表示化肥质量的式子是怎样的?
解:400x+800.
追问2:由“若每公顷施肥500 kg,那么缺少化肥300 kg”,可得表示化肥质量的式子又是怎样的?
解:500x-300.
追问3:这两个代数式应有怎样的关系?
解:化肥质量是相同的,所以有400x+800=500x-300.
学生独立思考,写出完整的解答过程.完成解答后进行讲解.
解:设这块麦田的面积是x公顷.
由题意,得400x+800=500x-300.解得x=11.
现有化肥为400x+800=5 200.
答:这块麦田的面积是11公顷,现有化肥5 200千克.
思考:此题是否还有其他解法?能否设现有化肥数为y千克?
学生思考后独立完成解答过程.
解:设现有化肥数为y千克,
由题意,得y-800400=y+300500.解得y=5 200.
这块麦田的面积是y-800400=11.
答:这块麦田的面积是11公顷,现有化肥5 200千克.
思考:解决此类问题如何寻找等量关系?
师生共同归纳:方案问题是较复杂的应用题之一,解决此类问题的思路是设问题中的多个未知量中的一个为x,利用与未知量密切相关的一个等量关系式表示出另一个未知量,最后利用另外一个等量关系列出方程,即同一个量的不同表示形式.
探究2 追及问题
问题2:某学校七年级师生进行了一次徒步活动.带队教师和学生以4 km/h的速度从学校出发,20 min后,小王骑自行车前往追赶.如果小王以12 km/h的速度骑行,那么小王要用多少时间才能追上队伍?此时,队伍已行走了多远?
分析:小王追上队伍,也就是小王和队伍走过的路程相等;小王骑车行驶的路程=队伍行走的路程,如分析图所示.
学生尝试根据等量关系列出方程并计算.
解:设小王要用x h才能追上队伍,此时队伍行走的时间为(13+x)h.
由题意,得12x=413+x.解得x=16.
所以12x=12×16=2.
答:小王用16 h可追上队伍,此时,队伍已行走了2 km.
追问:此题还有其他解法吗?
解:小王追上队伍所用的时间和队伍在小王追赶时到追赶上行驶的路程所用的时间是相等的.
根据这一关系,可设此时队伍行走的路程为y km.
由题意,得y12=y4-13.
师生共同总结追及问题中的等量关系:
1.同地不同时出发:
(1)s快=s慢.
(2)v快t=v慢(t+a)(a为慢者先走的时间).
2.同时不同地出发:
(1)s快-s慢=s间隔距离.
(2)t快=t慢.
注意:计算时要统一单位.
设计意图:有利于提高学生归纳总结能力.借助线段路程图抽象出几何平面图形,培养学生由动态的理解向静态的图形转变,达到解决问题的目的.
典例精讲
例1 甲、乙两人相距6 km,二人同时出发.同向而行,甲3小时可追上乙;相向而行,1小时后相遇.二人的平均速度各是多少?
分析:甲3小时走的路程=乙3小时的路程+6;甲1小时的路程+乙1小时走的路程=6.
解:设甲每小时走x km,则乙每小时走(6-x)km,
由题意,得3x=3(6-x)+6.解得x=4.
所以乙每小时走6-4=2(km).
答:甲的速度为每小时4 km,乙的速度为每小时2 km.
例2 某人乘船由A地顺流而下到B地,然后又逆流而上到C地,共乘船4小时.已知船在静水中的速度为每小时7.5千米,水流速度每小时2.5千米,若A,C两地距离为10千米,求A,B两地间的距离.
分析:(1)根据船在顺流航行时的速度=船在静水中的速度+水流速度,逆流航行时的速度=船在静水中的速度-水流速度,即可解决问题;
(2)根据题意可以分两种情况,当C地在A,B两地之间时和当C地在A地的上游时,设A,B两地的距离为x千米,则B,C两地的距离为(x-10)千米或(x+10)千米,利用时间=路程÷速度,可得出关于x的一元一次方程,可求出A,B两地的距离.
解:设A,B两地之间的距离为x km.则B,C两地的距离为(x-10)千米或(x+10)千米.
当C地在A,B两地之间时,
根据题意,得x7.5+2.5+x-107.5-2.5=4.解得x=20.
当C地在A地上游时,
根据题意,得x7.5+2.5+x+107.5-2.5=4.解得x=203.
答:A,B两地之间的距离为20 km或203 km.
设计意图:通过例题,让学生运用所学知识熟练解决数学问题,提高学生的数学应用能力.
巩固训练
1.某快递分派站现有若干件包裹需快递员派送.若每个快递员派送10件,还剩6件;若每个快递员派12件,还差6件,则分派站现有包裹多少件?
解:设分派站现有快递员x个,
根据题意,得10x+6=12x-6.解得x=6.
所以包裹有10×6+6=66(件).
答:分派站现有包裹66件.
2.一艘船从甲码头顺流而行,用了3小时到达乙码头,该船从乙码头返回甲码头逆流而行,用了5小时,已知水流速度是3千米/小时,求船在静水中的速度.
解:设船在静水中的速度是x千米/小时,
由题意,得3(x+3)=5(x-3),解得x=12.
答:船在静水中的速度为12千米/小时.
设计意图:提高学生解决问题的能力,学以致用,查漏补缺.
课堂小结
1.本节课我们学习了哪些问题?
2.通过本节课的探究活动,你有什么收获和感受?
设计意图:通过让学生自己回顾、总结本节课所学内容,提高学生的归纳总结能力.
课堂8分钟.
1.教材176,177页习题A组第1,2,3题,B组第4,5题.
2.七彩作业.
第3课时 同一个量的不同表示问题
行程基础问题:s=vt.
相遇问题: s=s1+s2=v1t+v2t=(v1+v2)t.
s=s1+s2=s0+v1t+v2t=v1t0+(v1+v2)t.
(v1先,v2后)
追击问题:s0=(v2-v1)t(v2>v1).
往返问题:v顺=v静+v水(风);v逆=v静-v水(风).
教学反思
第4课时 用一元一次方程解决储蓄问题与销售问题
课时目标
1.能从实际问题中抽象出数量之间的等量关系,会解决有关一元一次方程的简单问题,发展学生的的应用意识、分析和解决问题的能力,培养学生的模型观念.
2.熟悉增长率问题、储蓄、销售问题的解决办法,增强模型观念.
学习重点
弄清增长、利率、打折的含义,根据题中等量关系列方程解决问题.
学习难点
学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系,列出一元一次方程.
课时活动设计
问题引入
你能完成下面的填空吗?
(1)某企业2010年的产值为300亿元,2011年的产值增长了23.5%,那么2011年的产值为 370.5亿元 .
(2)某商品原来每件零售价是280元,现在每件降价10%,降价后每件零售价是 252 元.
设计意图:从生活中的简单问题入手,通过学生口答,激发学习兴趣.在此过程中培养学生的表达能力,使学生学会用数学语言表达现实世界.
探究新知
探究1 增长率问题
问题1:某企业2022年的生产总值为95 930万元,比2021年增长了7.3%,那么2021年该企业的生产总值为多少万元?(结果精确到1万元)
追问1:找出本题中的等量关系.
解:原有数量+增长数量=现有数量.
追问2:设该企业2021年的生产总值为x万元,请将下表补充完整:
追问3:根据表格列出方程并求解.
学生独立思考,然后再交流讨论,展示解决问题的步骤,说出列方程的依据.学生上黑板演示.
解:设2021年该企业的生产总值为x万元.
根据题意,得x+7.3%x=95 930.解得x≈89 404.
答:2021年该企业的生产总值约为89 404万元.
探究2 利率问题
问题2:某期3年期国债的年利率为2.8%,这期国债发行时,3年期定期存款的年利率为3.0%.小红的爸爸有一笔钱,如果用来存3年期定期存款比买这期国债到期后可多得利息48元,那么这笔钱为多少元?
分析:利息=本金×年利率×年数.
解:设这笔钱是x元.
依题意,得x×3.0%×3-x×2.8%×3=48.
解得x=8 000.
答:这笔钱是8 000元.
思考:利率问题的基本数量关系有哪些?
学生先独立思考,再小组交流讨论.
师生共同归纳:利息=本金×年利率×年款;本息和=本金+利息.
探究3 销售问题
问题3:一件上衣按其进价提高40%后标价出售.在促销活动中,以标价的八折售出,结果仍盈利18元.那么这件上衣的进价是多少元?
分析:设这件上衣进价为x元,则标价为(x+40%x)元,实际售价为(x+40%x)×80%元,获得利润为18元.
解:设这件上衣的进价是x元.
根据题意,得(x+40%x)×80%-x=18.解得x=150.
答:这件上衣进价是150元.
思考:销售问题的基本数量关系有哪些?
师生共同归纳:利润=售价-进价;售价=标价×折扣率;利润率=利润÷进价.
设计意图:通过学生的自主思考,展示,让学生学会审题,分析数量关系,列出方程;通过例题,巩固学生列方程的步骤及解方程的计算能力;使学生掌握增长率问题、利息问题、销售问题的解题方法;培养学生的抽象能力、运算能力、推理能力、模型观念的核心素养.
巩固训练
1.某人存入银行2 000元,定期一年,到期后得到利息和本金共2 070元.若设该种储蓄的年利率为x.列方程为 2 000(1+x)=2 070 ,年利率为 3.5% .
2.某商场把进价为1 980元的商品按标价的八折出售,仍获利10%,则该商品的标价为 2 722.5 元.
3.甲、乙两种商品原来的单价和为100元,因市场变化,甲商品降价10%,乙商品提价40%,调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%.求甲、乙两种商品原来的单价.
解:设甲商品原单价为x元,则乙商品原单价为(100-x)元.
依题意,得(1-10%)x+(1+40%)(100-x)=100×(1+20%).解得x=40.
所以100-x=60.
答:甲商品原单价为40元,乙商品原单价为60元.
4.某商品的进价是1 000元,售价是1 500元,由于销售情况不好,商店决定降价出售,但又要保证利润率不低于5%,那么商店最多可打几折出售此商品?
解:设商店最多可以打x折出售此商品,
根据题意,得1 500×x10=1 000×(1+5%).解得x=7.
答:商店最多可以打七折出售此商品.
设计意图:通过学生的展示,巩固所学.培养学生的应用意识,提高学生的运算能力.
课堂小结
设计意图:以思维导图的形式总结本节课的内容,梳理知识点,加深学生对本节课内容的学习和理解.
课堂8分钟.
1.教材第178,179页习题A组第1,2题,B组第3题,C组第4题.
2.七彩作业.
第4课时 用一元一次方程解决储蓄问题与销售问题
1.增长率问题:原有数量+增长数量=现有数量.
2.销售利润问题:利润=销售价(收入)-成本(进价).利润率=利润÷成本.
3.储蓄问题:利息=本金×利率×期数.本息和(本利)=本金+利息.
教学反思
第5课时 用一元一次方程解决几何问题与分段计费问题
课时目标
1.能从实际问题中抽象出数量之间的等量关系,会解决有关一元一次方程的简单问题,发展学生的的应用意识、分析和解决问题的能力,培养学生的模型观念.
2.解决分段计费问题,增强模型观念.体会分类思想和方程思想,增强应用意识和应用能力.
学习重点
由实际问题抽象出数学模型的探究过程.
学习难点
分类讨论思想的应用.
课时活动设计
情境引入
有四位同学到营业厅办理电话计费业务,营业员出示了如下两种计费方式:
1.你知道什么是“月使用费”、“主叫限定时间”、“主叫超时费”吗?
2.如何选择最划算呢?
学生自主回答.
设计意图:通过生活中的常见问题,引发学生兴趣,引出课题.
探究新知
探究1 分段计费问题
对于分段收费、分段计价等问题,有时需根据题意先确定未知数的范围,然后再列出符合题目要求的方程,进而解决问题.针对教学活动1中的问题,试着分析两种计费方式.
两种方式的计费均为:总费用=月使用费+通话时间×每分钟通话费用.
我们可以对方案一、方案二进行分段分析.
方案一:当主叫时间0≤t≤150时,方案一的费用为58元.
当主叫时间t>150时,方案一的费用=58+0.25×(t-150)=20.5+0.25t.
方案二:当主叫时间0≤t≤350时,方案二的费用为88元.
当主叫时间t>350时,方案二的费用=88+0.19×(t-350)=21.5+0.19t.
思考:(1)当150
所以当t=270时,方案一和方案二费用相等.
(2)①你能写出当t>350时,方案一计费的另一种表达式吗?
58+0.25(t-150)= 108+0.25(t-350) (含有(t-350)项).
②结论:当t≥350时,选择 方案二 省钱.
教师提出问题,学生思考并完成填空,教师巡视并展示学生作答情况.
综合以上的分析,可以发现:
当 0≤t<270 时,选择方案一省钱;
当 t=270 时,选择方案一与方案二费用相等;
当 t>270 时,选择方案二省钱.
教师提出问题,学生思考并完成填空,教师巡视并展示学生作答情况.
师生活动:在得出每个范围的省钱计费方式的结论之后,引导学生将结论进行整合,从而完成建模解题的完整过程.
师生共同归纳解决分段计费问题的方法:
(1)确定未知数的临界点,划分为不同区间,分类讨论.
(2)列方程,在每个区间内根据对应的单价和数量,列出总费用的一元一次方程.
(3)解方程.
(4)检验所求解是否符合题目要求.
探究2 几何问题
将一张长和宽分别为40 cm,30 cm的长方形薄纸板按图1中的实线剪开,再按虚线折叠,恰好折叠成如图2所示的长方体盒子,如果这个盒子的宽∶高=4∶1,那么这个长方体盒子的体积是多少?
解:设减去的正方形边长为x cm,
则30-2x=4x.解得x=5.
所以长方体盒子的体积为(40-2x)(30-2x)x=(40-10)×(30-10)×5=3 000.
答:那么这个长方体盒子的体积是3 000cm2.
设计意图:通过分情况讨论,帮助学生理解问题,对应等量关系,进一步解决问题,从几何图形中建立方程模型,提高学生解决问题的能力.
典例精讲
例 为鼓励居民节约用电,某市实行每月阶梯电价收费制度,具体执行方案如下:
某户居民6月、7月共用电520千瓦·时,用电费用为268元.已知该用户7月的用电量大于6月的用电量,且6月、7月的用电量均小于400千瓦·时.那么该用户6月、7月的用电量分别是多少千瓦·时?
解:依题意可知, 6月、7月的用电量不可能都在第一档.
若6月,7月的用电量都在第二档,则这两个月用电的总费用为240×0.5+240×0.5+40×0.6=246≠268,
故6月、7月的用电量也不可能都在第二档.
又因为7月的用电量大于6月的,所以6月的用电量应在第一档,7月的用电量应在第二档.
设6月的用电量为x千瓦·时,则7月的用电量为(520-x) 千瓦·时.
依题意,得0.5x+240×0.5+(520-x-240)×0.6=268.
解得x=200.
520-200=320.
答:该用户6月的用电量为200千瓦·时,7月的用电量为320千瓦·时.
设计意图:通过对电费的分类讨论,使学生再次了解分类讨论要全面,并且让学生对逆向思维有认识.
巩固训练
1.我市为鼓励居民节约用水,对家庭用水按分段计费方式收取水费:若每月用水量不超过10 m3,则按每立方米1.5元收费;若每月用水量超过10 m3,则超过部分按每立方米3元收费.如果某居民在某月缴纳了45元水费,那么这户居民在这个月的用水量为多少?
解:设这户居民这个月用水量为x m3,
因为当x=10时,水费为1.5×10=15(元),所以x>10.
根据题意,得15+3(x-10)=45.解得x=20.
答:这户居民这个月用水量为20 m3.
2.现有一把无刻度的直尺和四块一样的长方形纸片,已知纸片的长度是其宽度的2倍,将纸片和直尺按如图所示的方式摆放在桌面上,则根据图中给出的数据可知直尺的长度是多少?
解:设长方形纸片的宽为x cm,则长方形纸片的长为2x cm.
根据题意,得2x×4-1=2x+2×2x+3.解得x=2.
所以直尺长度为2x×4-1=15.
答:直尺长度为15 cm.
设计意图:进一步巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力.
课堂小结
1.请学生回顾分段计费问题的探究过程.
2.列方程的过程和方法.
设计意图:在总结了本节课的知识性问题之后,继续引导学生总结本节课的过程与方法,使学生原来模糊的意识、零散的经验得以梳理,从而初步掌握探究同类问题的一般思路.
课堂8分钟.
1.教材第181页习题A组第1,2题,B组第3题,C组第4题.
2.七彩作业.
教学反思
2021年的生产总值
2022年增长的产值
2022年的生产总值
x
7.3%x
x+7.3%x
月使用费/元
主叫限定时间/分
主叫超时费/(元/分)
被叫
方案一
58
150
0.25
免费
方案二
88
350
0.19
免费
档次
每户每月用电量/(千瓦·时)
执行电价/[元/(千瓦·时)]
第一档
小于或等于240
0.5
第二档
大于240且小于或等于400时,超出240的部分
0.6
第三档
大于400时,超出400约部分
0.3
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