山西省2024-2025学年高三上学期9月质量检测数学试题

这是一份山西省2024-2025学年高三上学期9月质量检测数学试题，共13页。试卷主要包含了如果随机变量，且，则，已知，则的最小值为，已知数列满足，且，则，已知，则函数的图象可能是等内容，欢迎下载使用。

数学
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答：字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知，且，则（ ）
A. B.0 C.1 D.2
3.已知命题“”，则的否定为（ ）
A. B.
C. D.
4.在平行四边形中，，则（ ）
A. B.
C. D.
5.如果随机变量，且，则（ ）
A. B. C. D.
6.已知，则的最小值为（ ）
A. B.2 C. D.1
7.已知数列满足，且，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知，设函数，若在上恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二，多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知函数，且，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.在区间上单调递增
C.若为方程的两个解，则的最小值为
D.若关于的方程在区间上有且仅有一个解，则的取值范围为
11.已知函数的定义域为，设，若和均为奇函数，则（ ）
A. B.为奇函数
C.的一个周期为4 D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.将一个底面半径为，高为的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积与圆柱的侧面积之比为__________.
13.设，若，则__________.
14.设是正实数，若椭圆与直线交于点，点为的中点，直线（为原点）的斜率为2，又，则椭圆的方程为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15.（本小题满分13分）
如图，在直三棱柱中，为直角，侧面为正方形，，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值.
16.（本小题满分15分）
已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，点为的图象的一个对称中心.
（1）求的解析式；
（2）将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在区间上的最大值和最小值互为相反数，求的最小值.
17.（本小题满分15分）
已知函数是且的反函数，且函数.
（1）若，求及的值；
（2）若函数在上有最小值，最大值7，求的值.
18.（本小题满分17分）
在中，已知.
（1）求；
（2）记为的重心，过的直线分别交边于两点，设.
（i）求的值；
（ii）若，求和周长之比的最小值.
19.（本小题满分17分）
已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）若存在两个极值点.
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
2025届高三9月质量检测·数学
参考答案､提示及评分细则
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】B
【解析】由，解得的定义域为，又因为，所以，所以，故选B.
2.【答案】C
【解析】因为，所以，所以，解得，可得.故选C.
3.【答案】A
【解析】的否定为，故选A.
4.【答案】B
【解析】，故选B.
5.【答案】D
【解析】由随机变量，且，因为，可得，则，解得，故选D.
6.【答案】D
【解析】因为，当且仅当时等号成立，所以，所以，故选D.
7.【答案】B
【解析】由，则可得，故可得数列为等差数列，又由，有，可得，所以是2为公差的等差数列，又由，有，所以，则，故，故选B.
8.【答案】D
【解析】，即，设，显然单调递增，所以恒成立，即，设函数，则，显然的最小值为，所以，故选D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.【答案】AD（全部选对得6分，选对1个得3分，有选错的得0分）
【解析】当时，单调递增，且，所以A选项正确，B选项错误；因为时，，故C选项错误；当时，单调递减，故D选项正确.故选AD.
10.【答案】AD（全部选对得6分，选对1个得3分，有选错的得0分）
【解析】由题得，所以，因为，所以选项正确；
当时，，所以在区间上不单调，B选项错误；
的最小值为最小正周期，C选项错误；
当时，，所以的取值范围为，D选项正确，故选AD.
11.【答案】ACD（全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分）
【解析】依题意，，令，解得，A选项正确；
由为奇函数可得，为偶函数，所以，所以，又，所以，又，所以，B选项错误；
由可得，，所以，求导可得，，C选项正确；
因为，令可得，，令可得，，所以，所以，D选项正确，故选ACD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案及评分细则】（5分，其他结果均不得分）
【解析】设球的半径为，由题意可知，得，则该实心铁球的表面积与圆柱的侧面积之比为.
13.【答案及评分细则】（5分，其他结果均不得分）
【解析】，整理得，因为，所以，所以.
14.【答案及评分细则】（5分，椭圆方程正确即给分）
【解析】由已知条件可知，
联立，消去并整理得：，
设，
则
则，
由，则，
又因为，
所以，解得.
所以椭圆的方程为.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15.【答案】（1）详见解析（2）
【解析及评分细则】（1）侧面为正方形，，
直三棱柱，
平面平面，
平面平面，
平面平面；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
又由，
设平面的一个法向量为，
，即
令，则，于是，
又由，
设直线与平面所成的角为，
所以，
故直线与平面所成的角的正弦值为.
16.【答案】（1）（2）
【解析及评分细则】（1）设的最小正周期为，则，所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以；
（2）依题意，，
因为，所以，
当时，的最大值为，最小值为，不符题意；
当时，的最大值为1，所以的最小值为，
所以，解得，
所以的最小值为.
17.【答案】（1）（2）或
【解析及评分细则】（1）函数是且的反函数，则，
，
所以，则，
又，所以，
所以.
（2）令，由单调性可知，在上的值域为或
由于在上最小值为，最大值为7，考虑，解出或，考虑，则，因此的取值范围为，
若，则；若，则
综上所述，或.
18.【答案】（1）（2）（i）3，（ii）
【解析及评分细则】（1），
所以；
（2）（i）设为的中点，则，又因为，
所以，
因为三点共线，
所以，所以；
（ii）设的边长为1，设与周长分别为，则，
，所以，
所以，
由可得，（当且仅当时等号成立），所以，
所以，
所以和的周长之比的最小值为.
19.【答案】（1）的极小值为，无极大值（2）（i），（ii）详见解析
【解析及评分细则】（1）当时，，则，
当单调递减，
当单调递增，
所以为的极小值点，，
所以的极小值为，无极大值；
（2）（i），
设，即有两个零点，
则
所以当单调递减，
当单调递增，
所以的最小值为，且，即
当时，，若，则，此时在无零点，因此
所以；
（ii）由（i）可知，，且，
所以，
设，则，
因为，所以单调递减，
，所以，所以.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
A
B
D
D
B
D
题号
9
10
11
答案
AD
AD
ACD