湖南省岳阳市第七中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

这是一份湖南省岳阳市第七中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每小题3分）
1．在下面四个图形中，与是对顶角的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列式子变形是因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
3．若，则整式M为（ ）
A．B．C．D．
4．下列式子运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如果和互为相反数，那么x，y的值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，，点O在直线上，且，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．美术课上乐乐将通过平移设计得到“一棵树”，已知底边AB上的高CD为，沿CD方向向下平移到的位置，再经过相同的平移到的位置，下方树干EF长为，则树的高度CF长为（ ）．
A．19B．17C．15D．11
8．观察如图两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，则a，b的值可能分别是（ ）

A．，B．，7C．2，D．2，7
9．要使中不含有x的四次项，则a等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．观察下列关于x的单项式：x，，，，，，…，按此规律，第n个单项式为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（共8小题，每小题3分）
11．因式分解：________．
12．若，则________．
13．小明抄在作业本上的式子（“”表示漏抄的指数），不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为小于5的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出这个整式分解因式的结果：________________．
14．如图为商场某品牌椅子的侧面图，，DE与地面平行，，则________．

15．已知，则________．
16．如图，一副直角三角板图示放置，点C在DF的延长线上，点A在边EF上，，，，，则的大小是________．
17．若是完全平方式，则________．
18．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出2个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出2个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则2的值等于________．
三、解答题
19．（6分）先化简，再求值：，其中，．
20．（6分）完成下面的证明过程，填写理由或数学式．
已知：如图，，．
求证：．
证明：∵（已知），
∴B（________________），
∴（________________），
又∵（已知），
∴________（等量代换），
∴________（________________），
∴（________________）．
21．（8分）因式分解（1）（2）．
22．（答题7分，书写1分）如图，D，E，F，G分别是边上的点，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
23．（8分）根据以下素材，探索解答任务一，任务二．
24．（答题8分，书写1分）在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．
解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
（1）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：________；
（2）请你用换元法对多项式进行因式分解；
（3）当________时，多项式存在最________值（填“大”或“小”）．
25．（10分）【探究】若x满足，求的值．
设，，则，，
∴；
【应用】请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足，求的值；
【拓展】
（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且，，长方形EMFD的面积是8，分别以MF、DF为边作正方形．
①________，________；（用含x的式子表示）
②求阴影部分的面积．
26．（11分）已知直线，点E和点F分别在直线AB和CD上．

图1 图2 备用图
（1）如图1，射线FG平分交AB于点G，若，则________；
（2）如图2，射线FG平分，点M是射线FC上一点（不包括端点F），点N为的平分线上一点（不包括端点E），连接NE，FN，延长NE交射线FG于点H，猜想与的关系，并说明理由；
（3）在（1）的条件下，若AG绕点G以每秒转动的速度逆时针旋转一周，同时EF绕点F以每秒转动的速度逆时针旋转，设转动时间为t秒，当AG转动结束时EF也随即停止转动，在整个转动过程中，当AG和EF互相平行时，请直接写出此时t的值．
参考答案
一、选择题
1．B 2．D 3．D 4．C 5．C 6．A 7．B 8．A 9．B 10．D
二、填空题
11． 12．3 13． 14．
15． 16．15 17． 18．128
三、解答题
19．原式
，
当，时，
原式．
20．求证：，
证明：∵（已知）
∴（同旁内角互补，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
又∵（已知）
∴（等量代换）
∴DF（内错角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
21．
22．（1）证明：如图所示：
∵，， 1分
∴， 2分
∴， 3分
∴， 4分
∵，∴，∴； 5分
（2）解：由（1）可知：，∴， 6分
又，
∴，
∴，
∴， 7分
∴． 8分
23．任务一：设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张，
，
∴，
∵m，n为非负整数，
∴或或，
故答案为：8，3；0，6；
任务二：∵（张），
∴购进110张该型号板材，制作成480张学生椅；
任务三：设用x张板材裁切靠背8张和坐垫3张，用y张板材裁切靠背0张和坐垫6张，
，
解得：
∵（张），
∴需要购买该型号板材161张，用其中86张板材裁切靠背8张和坐垫3张，用73张板材裁切靠背0张和坐垫6张．
24．
设，
原式
故答案为：；
【小问3详解】
设，
原式
；
设，
原式
∵
∴
即：当时，多项式存在最小值，为：．
25．解：（1）设，，
则，， 1分
∴
2分
（2）①，； 3分
②∵长方形EMFD的面积是8，
∴，
阴影部分的面积． 4分
设，，则，，
∴，
∴，
又∵，
∴， 5分
∴．
即阴影部分的面积12． 6分
26．（1）解：∵，，
∴．
又∵射线FG平分，
∴，
∴，
∴．
（2）猜想：．
证明：∵，，，
∴．
又∵，
∴将以上两式左右两边分别相加，得．
又∵，，
∴2．
（3）解：①假设t时刻转到如图所示位置：A转到了，E转到了，与直线AB交于点P．此时，．
∴，
又∵，，
∴，
∴．
备用图如何设计板材裁切方案？
素材1
图1是湘一南湖学校的学生座椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．图2是靠背与座垫的尺寸示意图

图2
素材2
因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为，宽为．（裁切时不计损耗）
我是板材裁切师
任务一
拟定剪裁方案
若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法．
方法一：裁切靠背16张和座垫0张．
方法二：裁切靠背________张和坐垫________6张．
方法三：裁切靠背________张和坐垫________张．
任务二
解决实际问题
工厂目前已有裁切好的12张靠背板材和4张坐垫板材，经商议，现需新购买一批该型号板材，其中一部分按照方案二裁剪，另一部分按照方案三裁剪，一共制作700张学生座椅，请问：需要购买该型号板材共多少张？（恰好全部用完）