高二数学举一反三系列(人教A版2019选择性必修第一册)高二上学期第一次月考数学试卷(提高篇)专项练习(原卷版+解析)

这是一份高二数学举一反三系列(人教A版2019选择性必修第一册)高二上学期第一次月考数学试卷(提高篇)专项练习(原卷版+解析)，共29页。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：选择性必修第一册第一章、第二章；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2023春·新疆省直辖县级单位·高二校考开学考试）在以下命题中：
①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；
②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；
③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP=2OA−2OB−2OC，则P，A，B，C四点共面
④若a，b是两个不共线的向量，且c=λa+μb(λ,μ∈R,λ,μ≠0)，则{a,b,c}构成空间的一个基底
⑤若a,b,c为空间的一个基底，则a+b,b+c,c+a构成空间的另一个基底；
其中真命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．（5分）（2023秋·安徽六安·高二校考期末）已知直线kx−y−k−1=0和以M−3,1，N3,2为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（ ）
A．−12≤k≤32B．−2≤k≤23
C．k≤−12或k≥32D．k≤−2或k≥23
3．（5分）（2023春·甘肃兰州·高二校考期末）已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点，PA⊥平面ABCD，点M,N满足PM=12PC，PN=23PD．若MN=xAB+yAD+zAP，则x+y+z=（ ）
A．−1B．1C．−12D．12
4．（5分）（2023·山东青岛·统考三模）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知△ABC的顶点A−3,0，B3,0，C3,3，若直线l：ax+a2−3y−9=0与△ABC的欧拉线平行，则实数a的值为（ ）
A．－2B．－1C．－1或3D．3
5．（5分）（2023秋·河北邯郸·高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知点Pa,b满足a+b=1，记d为点P到直线x−my−2=0的距离.当a,b,m变化时，d的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（5分）（2023春·上海黄浦·高二校考阶段练习）若点N为点M在平面α上的正投影，则记N=fαM.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，记平面AB1C1D为β，平面ABCD为γ，点P是棱CC1上一动点（与C、C1不重合）Q1=fγfβP，Q2=fβfγP.给出下列三个结论：
①线段PQ2长度的取值范围是12,22；
②存在点P使得PQ1//平面β；
③存在点P使得PQ1⊥PQ2.
其中，所有正确结论的序号是
A．①②③B．②③C．①③D．①②
7．（5分）（2022秋·浙江嘉兴·高二校考期中）已知圆O：x2+y2=2，过直线l：2x+y=5在第一象限内一动点P作圆O的两条切线，切点分别是A，B，直线AB与两坐标轴分别交于M，N两点，则△OMN面积的最小值为（ ）
A．12B．1625C．2516D．2
8．（5分）（2023·江苏·高二专题练习）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E，F（E在F的左边），且EF=2. 下列说法正确的是（ ）
A．当E，F运动时，存在点E，F使得AE⊥CF
B．当E，F运动时，存在点E，F使得AE∥BF
C．当E运动时，二面角E−AB−C的最小值为45°
D．当E，F运动时，二面角A−EF−B的余弦值为定值13
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2023春·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知向量a=1,1,−1，b=2,−1,0，c=0,1,−2，则下列结论正确的是（ ）
A．a⋅b+c=4B．a−b⋅b−c=−8
C．记a与b−c的夹角为θ，则csθ=13D．若a+λb⊥c，则λ=3
10．（5分）（2022秋·福建福州·高二校联考期中）已知直线l:mx−y+2=0，A(0,0)，B(1,−1)，则下列结论正确的是（ ）
A．当A，B到直线l距离相等时，m=−1B．当m=0时，直线l的斜率不存在
C．当m=1时，直线l在x轴上的截距为-2D．当m=−1时，直线l与直线AB平行
11．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知圆的圆心在直线x=2上，且与l:x−3y+2=0相切于点P1,3，过点Q1,0作圆的两条互相垂直的弦AB，CD，记线段AB，CD的中点分别为M，N，则下列结论正确的是（ ）
A．圆的方程为x−22+y2=4
B．四边形ACBD面积的最大值为72
C．弦AB的长度的取值范围为[23,4]
D．直线MN恒过定点32,0
12．（5分）（2022春·江苏徐州·高三校考阶段练习）在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为侧面BCC1B1（不含边界）内的动点，Q为线段A1C上的动点，若直线A1P与A1B1的夹角为45∘，则下列说法正确的是（ ）
A．线段A1P的长度为2
B．33A1Q+PQ的最小值为1
C．对任意点P，总存在点Q，便得D1Q⊥CP
D．存在点P，使得直线A1P与平面ADD1A1所成的角为60°
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022·高二课时练习）在四面体OABC中，空间的一点M满足OM=12OA+16OB+λOC，若MA，MB，MC共面，则λ= ．
14．（5分）（2023春·上海金山·高二校联考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知动点Pa,b到两直线l1:y=2x与l2:y=−12x+1的距离之和为5，则ba+5的取值范围是 .
15．（5分）（2023·海南海口·海南校考模拟预测）已知圆C：(x−a)2+(y−b)2=4的图象在第四象限，直线l1：ax+by+3=0，l2：bx−ay+4=0.若l1上存在点P，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别为A，B，使得△APB为等边三角形，则l2被圆C截得的弦长的最大值为 .
16．（5分）（2023·高二单元测试）如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M为线段BD1上的动点，下列四个结论：
①存在点M，使得直线AM与直线B1C夹角为30°；
②存在点M，使得C1M与平面AB1C夹角的正弦值为33；
③存在点M，使得三棱锥D1−C1DM的体积为110；
④存在点M，使得α>β，其中α为二面角M−AA1−B的大小，β为直线MA1与直线AB所成的角．
则上述结论正确的有 ．（填上正确结论的序号）
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022秋·辽宁抚顺·高二校联考期中）已知直线l1：2a−1x−a−2y+1=0，直线l2：a+1x−2y−1=0．
(1)若l1∥l2，求实数a的值；
(2)若l1⊥l2，求实数a的值．
18．（12分）（2023春·江苏宿迁·高二统考期末）在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，D1E=kD1A，D1F=kD1B，D1G=kD1C，D1H=kD1D.

(1)当k=34时，试用AB,AD,AA1表示AF；
(2)证明：E,F,G,H四点共面；
(3)判断直线D1C1能否是平面D1AB和平面D1DC的交线，并说明理由.
19．（12分）（2023春·高二课时练习）已知点A−2，0，2、B−1，1，2、C−3，0，4，a=AB，b=AC．
(1)若c=3，且c//BC，求c；
(2)求csa，b；
(3)若ka+b与ka−2b垂直，求k．
20．（12分）（2023·上海·高二专题练习）如图，已知A(6,63)，B(0,0)，C(12,0)，直线l:(k+3)x−y−2k=0．
(1)证明直线l经过某一定点，并求此定点坐标；
(2)若直线l等分△ABC的面积，求直线l的一般式方程；
(3)若P(2,23)，李老师站在点P用激光笔照出一束光线，依次由BC（反射点为K）、AC（反射点为I）反射后，光斑落在P点，求入射光线PK的直线方程．
21．（12分）（2023春·江西·高一校联考期中）已知圆C：x−22+y2=1，点P是直线l:x+y=0上一动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B.
(1)若P的坐标为P−1,1，求过点P的切线方程；
(2)试问直线AB是否恒过定点，若是，求出这个定点，若否说明理由；
(3)直线x−y+m=0与圆C交于E，F两点，求OE·OF的取值范围（O为坐标原点）.
22．（12分）（2023·天津和平·统考三模）如图，四棱台ABCD−A1B1C1D1中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，AB=2A1B1=4,E､F分别为DC､BC的中点，上下底面中心的连线O1O垂直于上下底面，且O1O与侧棱所在直线所成的角为45∘.
(1)求证：BD1 ∥平面C1EF；
(2)求点A1到平面C1EF的距离；
(3)边BC上是否存在点M，使得直线A1M与平面C1EF所成的角的正弦值为32222，若存在，求出线段BM的长；若不存在，请说明理由.
2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试卷（提高篇）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2023春·新疆省直辖县级单位·高二校考开学考试）在以下命题中：
①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；
②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；
③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP=2OA−2OB−2OC，则P，A，B，C四点共面
④若a，b是两个不共线的向量，且c=λa+μb(λ,μ∈R,λ,μ≠0)，则{a,b,c}构成空间的一个基底
⑤若a,b,c为空间的一个基底，则a+b,b+c,c+a构成空间的另一个基底；
其中真命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解题思路】根据空间向量的运算法则，逐一判断即可得到结论.
【解答过程】①由空间基底的定义知，三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面，故①正确；
②由空间基底的定义知，若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线，故②正确；
③由2−2−2=−2≠1，根据共面向量定理知P,A,B,C四点不共面，故③错误；
④由c=λa+μb，当λ+μ=1时，向量c与向量a，b构成的平面共面，则a,b,c不能构成空间的一个基底，故④错误；
⑤利用反证法：若a+b,b+c,c+a不构成空间的一个基底，
设a+b=xb+c+1−xc+a，整理得c=xa+1−xb，即a,b,c共面，又因a,b,c为空间的一个基底，所以a+b,b+c,c+a能构成空间的一个基底，故⑤正确.
综上：①②⑤正确.
故选：D.
2．（5分）（2023秋·安徽六安·高二校考期末）已知直线kx−y−k−1=0和以M−3,1，N3,2为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（ ）
A．−12≤k≤32B．−2≤k≤23
C．k≤−12或k≥32D．k≤−2或k≥23
【解题思路】根据直线方程kx−y−k−1=0得到恒过定点A1,−1，利用坐标得到kMA=−12，kNA=32，然后结合图象可得k的取值范围.
【解答过程】
直线kx−y−k−1=0恒过定点A1,−1，且kMA=−12，kNA=32，由图可知，k≤−12或k≥32.
故选：C.
3．（5分）（2023春·甘肃兰州·高二校考期末）已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点，PA⊥平面ABCD，点M,N满足PM=12PC，PN=23PD．若MN=xAB+yAD+zAP，则x+y+z=（ ）
A．−1B．1C．−12D．12
【解题思路】根据题意，由平面向量基本定理结合平面向量的线性运算，即可得到结果.
【解答过程】
因为PM=12PC，PN=23PD，
所以MN=PN−PM=23PD−12PC=23AD−AP−12AC−AP
=23AD−AP−12AB+AD−AP=−12AB+16AD−16AP，
因为MN=xAB+yAD+zAP，所以x=−12，y=16，z=−16，
所以x+y+z=−12.
故选：C.
4．（5分）（2023·山东青岛·统考三模）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知△ABC的顶点A−3,0，B3,0，C3,3，若直线l：ax+a2−3y−9=0与△ABC的欧拉线平行，则实数a的值为（ ）
A．－2B．－1C．－1或3D．3
【解题思路】根据三角形顶点坐标得出重心与外心，求出三角形欧拉线，根据直线平行得解.
【解答过程】由△ABC的顶点A−3,0，B3,0，C3,3知，
△ABC重心为−3+3+33,0+0+33，即1,1，
又三角形为直角三角形，所以外心为斜边中点−3+32,0+32，即0,32，
所以可得△ABC的欧拉线方程y−1x−1=1−321−0，即x+2y−3=0，
因为ax+a2−3y−9=0与x+2y−3=0平行，
所以a1=a2−32≠−9−3，
解得a=−1，
故选：B.
5．（5分）（2023秋·河北邯郸·高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知点Pa,b满足a+b=1，记d为点P到直线x−my−2=0的距离.当a,b,m变化时，d的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】根据直线l:x−my−2=0过定点A确定出对于给定的一点P，d取最大值时PA⊥l且dmax=PA，然后根据点P为正方形上任意一点求解出PAmax，由此可知dmax.
【解答过程】直线l:x−my−2=0过定点A2,0，
对于任意确定的点P，
当PA⊥l时，此时d=PA，
当PA不垂直l时，过点P作PB⊥l，此时d=PB，如图所示：
因为PB⊥AB，所以PA>PB，所以dmax=PA，
由上可知：当P确定时，dmax即为PA，且此时PA⊥l；
又因为P在如图所示的正方形上运动，所以dmax=PAmax，
当PA取最大值时，P点与M−1,0重合，此时PA=2−−1=3，
所以dmax=3，
故选：C.
6．（5分）（2023春·上海黄浦·高二校考阶段练习）若点N为点M在平面α上的正投影，则记N=fαM.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，记平面AB1C1D为β，平面ABCD为γ，点P是棱CC1上一动点（与C、C1不重合）Q1=fγfβP，Q2=fβfγP.给出下列三个结论：
①线段PQ2长度的取值范围是12,22；
②存在点P使得PQ1//平面β；
③存在点P使得PQ1⊥PQ2.
其中，所有正确结论的序号是
A．①②③B．②③C．①③D．①②
【解题思路】以点D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D−xyz，设点P的坐标为0,1,a0