高考数学二轮复习讲义(新高考版)专题6培优点19离心率范围的求法(学生版+解析)

这是一份高考数学二轮复习讲义(新高考版)专题6培优点19离心率范围的求法(学生版+解析)，共7页。学案主要包含了方法总结，拓展训练等内容，欢迎下载使用。
圆锥曲线离心率的范围是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁．
【典例】 (1)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(5,3) C．2 D.eq \f(7,3)
(2)已知P是以F1，F2为左、右焦点的椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点，若∠F1PF2＝120°，则该椭圆的离心率的取值范围是________．
(3)过椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B ，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若eq \f(1,6)0)上的一点，椭圆长轴的两个端点为A，B，若∠APB＝120°，则该椭圆的离心率的取值范围是________．
4．(2020·济宁模拟)设双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2c，过F2作x轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A，点Q的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(3a,2)))且满足|F2Q|>|F2A|，若在双曲线C的右支上存在点P使得|PF1|＋|PQ|0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(5,3) C．2 D.eq \f(7,3)
【答案】 B
【解析】 方法一 由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a，①
又|PF1|＝4|PF2|，②
故联立①②，解得|PF1|＝eq \f(8,3)a，|PF2|＝eq \f(2,3)a.
在△PF1F2中，由余弦定理，
得cs∠F1PF2＝eq \f(\f(64,9)a2＋\f(4,9)a2－4c2,2·\f(8,3)a·\f(2,3)a)＝eq \f(17,8)－eq \f(9,8)e2，
要求e的最大值，即求cs∠F1PF2的最小值，
当cs∠F1PF2＝－1时，解得e＝eq \f(5,3)，
即e的最大值为eq \f(5,3)，故选B.
方法二 由双曲线的定义知，|PF1|－|PF2|＝2a，
又|PF1|＝4|PF2|，
∴|PF1|＝eq \f(8,3)a，|PF2|＝eq \f(2,3)a，
∵|F1F2|＝2c，∴eq \f(8,3)a＋eq \f(2,3)a≥2c，
∴eq \f(c,a)≤eq \f(5,3)，即双曲线的离心率e的最大值为eq \f(5,3).
(2)已知P是以F1，F2为左、右焦点的椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点，若∠F1PF2＝120°，则该椭圆的离心率的取值范围是________．
【答案】 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1))
【解析】 当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F1PF2逐渐增大，当P点位于短轴端点P0处时，∠F1PF2最大．
∵存在点P为椭圆上的一点，使得∠F1PF2＝120°，
∴在△P0F1F2中，∠F1P0F2≥120°，
∴在Rt△P0OF2中，∠OP0F2≥60°，
∴eq \f(c,b)≥eq \r(3)，即eq \f(c2,a2－c2)≥3，即eq \f(c,a)≥eq \f(\r(3),2)，∴eq \f(\r(3),2)≤eb>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B ，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若eq \f(1,6)eq \f(b2,a)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2