高考数学二轮复习讲义(新高考版)专题1培优点4洛必达法则(学生版+解析)

这是一份高考数学二轮复习讲义(新高考版)专题1培优点4洛必达法则(学生版+解析)，共5页。学案主要包含了要点提炼，方法总结，拓展训练等内容，欢迎下载使用。
洛必达法则：设函数f(x)，g(x)满足：(1)eq \(lim,\s\d4(x→a))f(x)＝eq \(lim,\s\d4(x→a))g(x)＝0(或∞)；(2)在U(a)内，f′(x)和g′(x)都存在，且g′(x)≠0；(3) eq \(lim,\s\d4(x→a)) eq \f(f′x,g′x)＝A(A可为实数，A也可以是±∞)．则eq \(lim,\s\d4(x→a)) eq \f(fx,gx)＝eq \(lim,\s\d4(x→a)) eq \f(f′x,g′x)＝A(可连续使用)．
【典例】 已知函数f(x)＝ex－1－x－ax2，当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
【方法总结】
对函数不等式恒成立求参数取值范围时，大家常采用分类讨论、假设反证法，但很难对参数进行讨论．若采取参数与分离变量的方法，在求分离后函数的最值(值域)时会有些麻烦，如最值、极值在无意义点处，或趋于无穷．此时，利用洛必达法则．
INCLUDEPICTURE "E:\\周飞燕\\2020\\二轮\\跟踪演练.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\周飞燕\\e\\周飞燕\\2020\\二轮\\数学\\wrd\\跟踪演练.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\周飞燕\\2020\\二轮\\数学\\wrd\\跟踪演练.TIF" \* MERGEFORMATINET 【拓展训练】
已知函数f(x)＝eq \f(ln x,x＋1)＋eq \f(1,x)，当x>0且x≠1时，f(x)>eq \f(ln x,x－1)＋eq \f(k,x)恒成立，求k的取值范围．
培优点4 洛必达法则
【要点提炼】
洛必达法则：设函数f(x)，g(x)满足：(1)eq \(lim,\s\d4(x→a))f(x)＝eq \(lim,\s\d4(x→a))g(x)＝0(或∞)；(2)在U(a)内，f′(x)和g′(x)都存在，且g′(x)≠0；(3) eq \(lim,\s\d4(x→a)) eq \f(f′x,g′x)＝A(A可为实数，A也可以是±∞)．则eq \(lim,\s\d4(x→a)) eq \f(fx,gx)＝eq \(lim,\s\d4(x→a)) eq \f(f′x,g′x)＝A(可连续使用)．
【典例】 已知函数f(x)＝ex－1－x－ax2，当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
解 当x＝0时，f(x)＝0，对任意实数a都有f(x)≥0；
当x>0时，由f(x)≥0得，a≤eq \f(ex－1－x,x2)，
设g(x)＝eq \f(ex－1－x,x2)，则g′(x)＝eq \f(xex－2ex＋x＋2,x3)，
令h(x)＝xex－2ex＋x＋2(x>0)，
则h′(x)＝xex－ex＋1，
记φ(x)＝h′(x)，则φ′(x)＝xex>0，
∴h′(x)在(0，＋∞)上为增函数，h′(x)>h′(0)＝0，
∴h(x)在(0，＋∞)上为增函数，h(x)>h(0)＝0，
∴g′(x)>0，g(x)在(0，＋∞)上为增函数．
由洛必达法则知eq \(lim,\s\d10(x→0＋)) eq \f(ex－x－1,x2)＝eq \(lim,\s\d10(x→0＋)) eq \f(ex－1,2x)＝eq \(lim,\s\d10(x→0＋)) eq \f(ex,2)＝eq \f(1,2)，故a≤eq \f(1,2).
综上，实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))).
【方法总结】
对函数不等式恒成立求参数取值范围时，大家常采用分类讨论、假设反证法，但很难对参数进行讨论．若采取参数与分离变量的方法，在求分离后函数的最值(值域)时会有些麻烦，如最值、极值在无意义点处，或趋于无穷．此时，利用洛必达法则．
INCLUDEPICTURE "E:\\周飞燕\\2020\\二轮\\跟踪演练.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\周飞燕\\e\\周飞燕\\2020\\二轮\\数学\\wrd\\跟踪演练.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\周飞燕\\2020\\二轮\\数学\\wrd\\跟踪演练.TIF" \* MERGEFORMATINET 【拓展训练】
已知函数f(x)＝eq \f(ln x,x＋1)＋eq \f(1,x)，当x>0且x≠1时，f(x)>eq \f(ln x,x－1)＋eq \f(k,x)恒成立，求k的取值范围．
解 由题意，当x>0且x≠1时，f(x)>eq \f(ln x,x－1)＋eq \f(k,x)恒成立等价于k0，
所以，当x>0时，h′(x)≥0，h(x)在(0，＋∞)上单调递增，且h(1)＝0，
因此，当x∈(0,1)时，h(x)0；即当x∈(0,1)时，g′(x)0；
所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
由洛必达法则有
eq \(lim,\s\d4(x→1))g(x)＝eq \(lim,\s\d4(x→1)) eq \f(2xln x,1－x2)＋1＝eq \(lim,\s\d4(x→1)) eq \f(2ln x＋2,－2x)＋1＝0，
即当x→1时，g(x)→0.
所以当x>0且x≠1时，g(x)>0，
所以k≤0.
故所求k的取值范围是(－∞，0]．