高考数学二轮复习讲义(新高考版)专题1第1讲函数的图象与性质(学生版+解析)

这是一份高考数学二轮复习讲义(新高考版)专题1第1讲函数的图象与性质(学生版+解析)，共26页。学案主要包含了第1讲　函数的图象与性质等内容，欢迎下载使用。

【要点提炼】
考点一 函数的概念与表示
1．复合函数的定义域
(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，m≤g(x)≤n，从中解得x的范围即为f(g(x))的定义域．
(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域．
2．分段函数
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集．
【热点突破】
【典例1】 (1)若函数f(x)＝lg2(x－1)＋eq \r(2－x)，则函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))的定义域为( )
A．(1,2] B．(2,4] C．[1,2) D．[2,4)
(2)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋1，x≤0，,4x，x>0，))则满足f(x)＋f(x－1)≥2的x的取值范围是________．
【拓展练习】(1)已知实数a<0，函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2a，x<1，,－x，x≥1，))若f(1－a)≥f(1＋a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．[－2，－1]
C．[－1,0) D．(－∞，0)
(2)(多选)设函数f(x)的定义域为D，如果对任意的x∈D，存在y∈D，使得f(x)＝－f(y)成立，则称函数f(x)为“H函数”．下列为“H函数”的是( )
A．y＝sin xcs x B．y＝ln x＋ex
C．y＝2x D．y＝x2－2x
【要点提炼】
考点二 函数的性质
1．函数的奇偶性
(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有：
f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；
f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)．
(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)．
2．函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法．
3．函数图象的对称中心或对称轴
(1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝2b－f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．
(2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称．
【热点突破】
考向1 单调性与奇偶性
【典例2】 (1)(2020·新高考全国Ⅰ)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )
A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1]
C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3]
(2)设函数f(x)＝eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－πx))＋x＋e2,x2＋e2)的最大值为M，最小值为N，则(M＋N－1)2 021的值为________．
考向2 奇偶性与周期性
【典例3】(1)定义在R上的奇函数f(x)满足f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,2)))＝f(x)，当x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))时，f(x)＝，则f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))内是( )
A．减函数且f(x)>0 B．减函数且f(x)<0
C．增函数且f(x)>0 D．增函数且f(x)<0
(2)已知定义在R上的函数f(x)满足：函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，且x≥0时恒有f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝ex－1，则f(2 020)＋f(－2 021)＝________.
【拓展练习】 (1)(2018·全国Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝
f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于( )
A．－50 B．0 C．2 D．50
(2)(多选)关于函数f(x)＝x＋sin x，下列说法正确的是( )
A．f(x)是奇函数 B．f(x)是周期函数
C．f(x)有零点 D．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增
【要点提炼】
考点三 函数的图象
1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．
2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．
【热点突破】
考向1 函数图象的识别
【典例4】 (1)(2020·衡水模拟)函数f(x)＝x·ln |x|的图象可能是( )
(2)已知某函数图象如图所示，则此函数的解析式可能是( )
A．f(x)＝eq \f(1－ex,1＋ex)·sin x B．f(x)＝eq \f(ex－1,ex＋1)·sin x
C．f(x)＝eq \f(1－ex,1＋ex)·cs x D．f(x)＝eq \f(ex－1,ex＋1)·cs x
考向2 函数图象的变换及应用
【典例5】 (1)若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为( )
(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1，x≤0，,－x2－3x，x>0，))若不等式|f(x)|≥mx－2恒成立，则实数m的取值范围为( )
A．[3－2eq \r(2)，3＋2eq \r(2)] B．[0,3－2eq \r(2)]
C．(3－2eq \r(2)，3＋2eq \r(2)) D．[0,3＋2eq \r(2)]
【拓展练习3】 (1)(2020·天津市大港第一中学模拟)函数y＝2|x|sin 2x的图象可能是( )
(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－x，x≤0，,lnx＋1，x>0，))若存在x0∈R使得f(x0)≤ax0－1，则实数a的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．[－3,0]
C．(－∞，－3]∪[3，＋∞) D．(－∞，－3]∪(0，＋∞)
专题突破
一、单项选择题
1．函数y＝eq \f(\r(－x2＋2x＋3),lgx＋1)的定义域为( )
A．(－1,3] B．(－1,0)∪(0,3]
C．[－1,3] D．[－1,0)∪(0,3]
2．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg21－x，x<0，,22x－1，x≥0，))则f(－3)＋f(lg23)等于( )
A.eq \f(11,2) B.eq \f(13,2) C.eq \f(15,2) D．10
3．设函数f(x)＝eq \f(4x2,3|x|)，则函数f(x)的图象大致为( )
4．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2|x－a|，x≤1，,x＋1，x>1，))若f(1)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围是( )
A．[－1,2) B．[－1,0]
C．[1,2] D．[1，＋∞)
5．(2020·抚顺模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x－2，则( )
A．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(π,6)))>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,6))) B．f(sin 3)C．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(4π,3)))f(2 019)
6．定义新运算：当a≥b时，ab＝a；当aA．－1 B．1 C．6 D．12
7．(2020·全国Ⅱ)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)( )
A．是偶函数，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))单调递增
B．是奇函数，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))单调递减
C．是偶函数，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))单调递增
D．是奇函数，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))单调递减
8．已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则i等于( )
A．0 B．m C．2m D．4m
二、多项选择题
9．若函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足f(x)＋2g(x)＝ex，则( )
A．f(x)＝eq \f(ex＋e－x,2) B．g(x)＝eq \f(ex－e－x,2)
C．f(－2)10．(2020·福州质检)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋\f(3,2)x，x≥0，,x2－\f(3,2)x，x<0，))则( )
A．f(x)是偶函数
B．f(x)在[0，＋∞)上单调递增
C．f(x)在(－∞，0)上单调递增
D．若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))≥f(1)，则－1≤a≤1
11．符号[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]＝3，[－1.6]＝－2，定义函数f(x)＝x－[x]，则下列命题正确的是( )
A．f(－0.8)＝0.2
B．当1≤x<2时，f(x)＝x－1
C．函数f(x)的定义域为R，值域为[0,1)
D．函数f(x)是增函数、奇函数
12．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)是偶函数，f(x－1)是奇函数，则下列说法正确的是( )
A．f(7)＝0
B．f(x)的一个周期为8
C．f(x)图象的一个对称中心为(3,0)
D．f(x)图象的一条对称轴为直线x＝2 019
三、填空题
13．(2020·江苏)已知y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝，则f(－8)的值是________．
14．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝－eq \f(1,fx)，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x＋1，则f(2 020)＋f(2 021)的值为________．
15．对于函数y＝f(x)，若存在x0使f(x0)＋f(－x0)＝0，则称点(x0，f(x0))是曲线f(x)的“优美点”．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x，x<0，,kx＋2，x≥0，))若曲线f(x)存在“优美点”，则实数k的取值范围是________________．
16．(2020·全国Ⅲ)关于函数f(x)＝sin x＋eq \f(1,sin x)有如下四个命题：
①f(x)的图象关于y轴对称；
②f(x)的图象关于原点对称；
③f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,2)对称；
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是________．
专题一 第1讲 函数的图象与性质
【要点提炼】
考点一 函数的概念与表示
1．复合函数的定义域
(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，m≤g(x)≤n，从中解得x的范围即为f(g(x))的定义域．
(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域．
2．分段函数
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集．
【热点突破】
【典例1】 (1)若函数f(x)＝lg2(x－1)＋eq \r(2－x)，则函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))的定义域为( )
A．(1,2] B．(2,4] C．[1,2) D．[2,4)
(2)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋1，x≤0，,4x，x>0，))则满足f(x)＋f(x－1)≥2的x的取值范围是________．
【答案】 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
【解析】 ∵函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋1，x≤0，,4x，x>0，))
∴当x≤0时，x－1≤－1，f(x)＋f(x－1)＝2x＋1＋2(x－1)＋1＝4x≥2，无解；
当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,x－1≤0，))即0f(x)＋f(x－1)＝4x＋2(x－1)＋1＝4x＋2x－1≥2，得eq \f(1,2)≤x≤1；
当x－1>0，即x>1时，f(x)＋f(x－1)＝4x＋4x－1≥2，得x>1.
综上，x的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
【方法总结】 (1)形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则．
(2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．
【拓展练习】(1)已知实数a<0，函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2a，x<1，,－x，x≥1，))若f(1－a)≥f(1＋a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．[－2，－1]
C．[－1,0) D．(－∞，0)
【答案】 B
【解析】 当a<0时，1－a>1且1＋a<1，即f(1－a)＝－(1－a)＝a－1；f(1＋a)＝(1＋a)2＋2a＝a2＋4a＋1，由f(1－a)≥f(1＋a)，得a2＋3a＋2≤0，解得－2≤a≤－1，所以a∈[－2，－1]．
(2)(多选)设函数f(x)的定义域为D，如果对任意的x∈D，存在y∈D，使得f(x)＝－f(y)成立，则称函数f(x)为“H函数”．下列为“H函数”的是( )
A．y＝sin xcs x B．y＝ln x＋ex
C．y＝2x D．y＝x2－2x
【答案】 AB
【解析】 由题意，得“H函数”的值域关于原点对称．A中，y＝sin xcs x＝eq \f(1,2)sin 2x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，其值域关于原点对称，故A是“H函数”；B中，函数y＝ln x＋ex的值域为R，故B是“H函数”；C中，因为y＝2x>0，故C不是“H函数”；D中，y＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，其值域不关于原点对称，故D不是“H函数”．综上所述，A，B是“H函数”．
【要点提炼】
考点二 函数的性质
1．函数的奇偶性
(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有：
f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；
f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)．
(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)．
2．函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法．
3．函数图象的对称中心或对称轴
(1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝2b－f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．
(2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称．
【热点突破】
考向1 单调性与奇偶性
【典例2】 (1)(2020·新高考全国Ⅰ)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )
A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1]
C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3]
【答案】 D
【解析】 因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，
则f(0)＝0.
又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，
画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，
则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示．
当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，
得－1≤x≤0.
当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，
得1≤x≤3.
故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．
(2)设函数f(x)＝eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－πx))＋x＋e2,x2＋e2)的最大值为M，最小值为N，则(M＋N－1)2 021的值为________．
【答案】 1
【解析】 由已知x∈R，f(x)＝eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－πx))＋x＋e2,x2＋e2)
＝eq \f(sin πx＋x2＋e2＋2ex,x2＋e2)＝eq \f(sin πx＋2ex,x2＋e2)＋1，
令g(x)＝eq \f(sin πx＋2ex,x2＋e2)，易知g(x)为奇函数，
由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值的和为0，
M＋N＝f(x)max＋f(x)min＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2，(M＋N－1)2 021＝1.
考向2 奇偶性与周期性
【典例3】(1)定义在R上的奇函数f(x)满足f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,2)))＝f(x)，当x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))时，f(x)＝，则f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))内是( )
A．减函数且f(x)>0 B．减函数且f(x)<0
C．增函数且f(x)>0 D．增函数且f(x)<0
【答案】 D
【解析】 当x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))时，由f(x)＝可知，f(x)单调递增且f(x)>0，又函数f(x)为奇函数，所以在区间eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))上函数也单调递增，且f(x)<0.由f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,2)))＝f(x)知，函数的周期为eq \f(3,2)，所以在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))上，函数单调递增且f(x)<0.故选D.
(2)已知定义在R上的函数f(x)满足：函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，且x≥0时恒有f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝ex－1，则f(2 020)＋f(－2 021)＝________.
【答案】 1－e
【解析】 因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，所以y＝f(x)的图象关于原点对称，
又定义域为R，所以函数y＝f(x)是奇函数，
因为x≥0时恒有f(x＋2)＝f(x)，
所以x≥0时，f(x)是周期为2的周期函数．
所以f(2 020)＋f(－2 021)＝f(0)－f(2 021)
＝f(0)－f(1)＝(e0－1)－(e1－1)＝1－e.
二级结论 (1)若函数f(x)为偶函数，且f(a＋x)＝f(a－x)，则2a是函数f(x)的一个周期．
(2)若函数f(x)为奇函数，且f(a＋x)＝f(a－x)，则4a是函数f(x)的一个周期．
(3)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，且f(b＋x)＝f(b－x)，则2(b－a)是函数f(x)的一个周期．
【拓展练习】 (1)(2018·全国Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝
f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于( )
A．－50 B．0 C．2 D．50
【答案】 C
【解析】 ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(1－x)＝－f(x－1)．∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
∴函数f(x)是周期为4的周期函数．
由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)＝0，
又∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f(2)＝f(0)＝0，
又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)
＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.
(2)(多选)关于函数f(x)＝x＋sin x，下列说法正确的是( )
A．f(x)是奇函数
B．f(x)是周期函数
C．f(x)有零点
D．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增
【答案】 ACD
【解析】 由题可知函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝－x－sin x＝－f(x)，则f(x)为奇函数，故A正确；根据周期函数的定义，可知f(x)一定不是周期函数，故B错误；因为f(0)＝0＋sin 0＝0，所以f(x)有零点，故C正确；对f(x)求导得f′(x)＝1＋cs x≥0在R上恒成立，故f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，故D正确．
【要点提炼】
考点三 函数的图象
1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．
2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．
【热点突破】
考向1 函数图象的识别
【典例4】 (1)(2020·衡水模拟)函数f(x)＝x·ln |x|的图象可能是( )
【答案】 D
【解析】 函数f(x)＝x·ln |x|是奇函数，排除选项A，C；当x＝eq \f(1,e)时，y＝－eq \f(1,e)，对应点在x轴下方，排除B.
(2)已知某函数图象如图所示，则此函数的解析式可能是( )
A．f(x)＝eq \f(1－ex,1＋ex)·sin x B．f(x)＝eq \f(ex－1,ex＋1)·sin x
C．f(x)＝eq \f(1－ex,1＋ex)·cs x D．f(x)＝eq \f(ex－1,ex＋1)·cs x
【答案】 B
【解析】 根据题意，由图象可得，该函数为偶函数，且在y轴右侧，先为正值，然后为负值．C，D选项中的函数均为奇函数，不符合题意；对于A选项，f(x)为偶函数，当x∈(0，π)时，
sin x>0，eq \f(1－ex,1＋ex)<0，则f(x)<0，不符合题意；对于B选项，f(x)为偶函数，当x∈(0，π)时，
sin x>0，eq \f(ex－1,ex＋1)>0，则f(x)>0，符合题意．
考向2 函数图象的变换及应用
【典例5】 (1)若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为( )
【答案】 C
【解析】 要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后再向左平移一个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．
(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1，x≤0，,－x2－3x，x>0，))若不等式|f(x)|≥mx－2恒成立，则实数m的取值范围为( )
A．[3－2eq \r(2)，3＋2eq \r(2)] B．[0,3－2eq \r(2)]
C．(3－2eq \r(2)，3＋2eq \r(2)) D．[0,3＋2eq \r(2)]
【答案】 D
【解析】 由函数的【解析】式易知f(x)≤0恒成立，则|f(x)|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x＋1，x≤0，,x2＋3x，x>0，))不等式|f(x)|≥mx－2恒成立，等价于函数y＝|f(x)|的图象在函数y＝mx－2图象的上方恒成立．
作出函数y＝|f(x)|的图象，如图所示，函数y＝mx－2的图象是过定点(0，－2)的直线，由图可知，当m<0时，不满足题意；当m＝0时，满足题意；当m>0时，考虑直线y＝mx－2与曲线y＝x2＋3x(x>0)相切的情况．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝mx－2，,y＝x2＋3x，))得x2＋(3－m)x＋2＝0，
令Δ＝(3－m)2－8＝m2－6m＋1＝0，
解得m＝3＋2eq \r(2)或m＝3－2eq \r(2)，
结合图形可知0综上，m的取值范围是[0,3＋2eq \r(2)]．
【方法总结】 (1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特征点排除不符合要求的图象．
(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题．求解两个函数图象在给定区间上的交点个数问题时，可以先画出已知函数完整的图象，再观察．
【拓展练习3】 (1)(2020·天津市大港第一中学模拟)函数y＝2|x|sin 2x的图象可能是( )
【答案】 D
【解析】 令f(x)＝2|x|sin 2x，
因为x∈R，f(－x)＝2|－x|sin 2(－x)＝－2|x|sin 2x＝－f(x)，
所以f(x)＝2|x|sin 2x为奇函数，排除选项A，B；
因为当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时，f(x)<0，所以排除选项C.
(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－x，x≤0，,lnx＋1，x>0，))若存在x0∈R使得f(x0)≤ax0－1，则实数a的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．[－3,0]
C．(－∞，－3]∪[3，＋∞) D．(－∞，－3]∪(0，＋∞)
【答案】 D
【解析】 根据题意，函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－x，x≤0，,lnx＋1，x>0))的图象如图，
直线y＝ax－1恒过定点(0，－1)，
若存在x0∈R使得f(x0)≤ax0－1，
则函数f(x)的图象在直线y＝ax－1下方有图象或与直线有交点，
当a＝0时，f(x)的图象恒在y＝ax－1图象的上方，不符合题意；
当a>0时，直线y＝ax－1经过第一、三、四象限，与函数f(x)的图象必有交点，符合题意；
当a<0时，直线y＝ax－1经过第二、三、四象限，若直线y＝ax－1与f(x)有交点，必然相交于第二象限．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x2－x，,y＝ax－1，))
即ax－1＝x2－x，变形可得x2－(a＋1)x＋1＝0，
令Δ＝0，解得a＝－3或1(舍)，则有a≤－3，
综上可得，a的取值范围为(－∞，－3]∪(0，＋∞)．
专题突破
一、单项选择题
1．函数y＝eq \f(\r(－x2＋2x＋3),lgx＋1)的定义域为( )
A．(－1,3] B．(－1,0)∪(0,3]
C．[－1,3] D．[－1,0)∪(0,3]
【答案】 B
【解析】 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋2x＋3≥0，,x＋1>0，,x＋1≠1，))
解得x∈(－1,0)∪(0,3]．
2．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg21－x，x<0，,22x－1，x≥0，))则f(－3)＋f(lg23)等于( )
A.eq \f(11,2) B.eq \f(13,2) C.eq \f(15,2) D．10
【答案】 B
【解析】 依题意f(－3)＋f(lg23)＝lg24＋－1＝2＋＝2＋eq \f(9,2)＝eq \f(13,2).
3．设函数f(x)＝eq \f(4x2,3|x|)，则函数f(x)的图象大致为( )
【答案】 A
【解析】 观察函数【解析】式发现，x是以平方、绝对值的形式出现的，所以f(x)为偶函数，排除B；当x>0时，f(x)＝eq \f(4x2,3x)，当x→＋∞时，f(x)→0，排除C.因为f(2)＝eq \f(4×22,32)＝eq \f(16,9)<2，选项D中f(2)>2，所以D不符合题意．
4．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2|x－a|，x≤1，,x＋1，x>1，))若f(1)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围是( )
A．[－1,2) B．[－1,0]
C．[1,2] D．[1，＋∞)
【答案】 C
【解析】 f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2|x－a|，x≤1，,x＋1，x>1，))
若x>1，则f(x)＝x＋1>2，
易知f(x)＝2|x－a|在(a，＋∞)上单调递增，在(－∞，a)上单调递减．
若a<1，则f(x)在x＝a处取得最小值，不符合题意；
若a≥1，则要使f(x)在x＝1处取得最小值，只需2a－1≤2，解得a≤2，∴1≤a≤2，
综上所述，a的取值范围是[1,2]．
5．(2020·抚顺模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x－2，则( )
A．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(π,6)))>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,6))) B．f(sin 3)C．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(4π,3)))f(2 019)
【答案】 B
【解析】 由f(x＋2)＝f(x)，得f(x)是周期函数且周期为2，根据f(x)在x∈[－1,0]上的图象和f(x)是偶函数可得f(x)在[0,1]上是增函数．
对于A,0∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(π,6)))对于B,0∴f(sin 3)对于C,0<－cs eq \f(4π,3)<－sin eq \f(4π,3)<1，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(4π,3)))对于D，f(2 020)＝f(0)6．定义新运算：当a≥b时，ab＝a；当aA．－1 B．1 C．6 D．12
【答案】 C
【解析】 当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2；
当1又∵y＝x－2，y＝x3－2在R上都为增函数，且f(x)在x＝1处连续，
∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.
7．(2020·全国Ⅱ)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)( )
A．是偶函数，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))单调递增
B．是奇函数，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))单调递减
C．是偶函数，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))单调递增
D．是奇函数，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))单调递减
【答案】 D
【解析】 f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠±\f(1,2))))).
又f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|
＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|
＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，故排除A，C.
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))时，
f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝lneq \f(－2x－1,1－2x)
＝lneq \f(2x＋1,2x－1)＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(2,2x－1)))，
∵y＝1＋eq \f(2,2x－1)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))上单调递减，
∴由复合函数的单调性可得f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))上单调递减．
8．已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则i等于( )
A．0 B．m C．2m D．4m
【答案】 B
【解析】 由题意可知f(x)的图象关于直线x＝1对称，而y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|的图象也关于直线x＝1对称，所以两个图象的交点关于直线x＝1对称，且每对关于直线x＝1对称的交点的横坐标之和为2，所i＝m.
二、多项选择题
9．若函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足f(x)＋2g(x)＝ex，则( )
A．f(x)＝eq \f(ex＋e－x,2) B．g(x)＝eq \f(ex－e－x,2)
C．f(－2)【答案】 AD
【解析】 因为函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足f(x)＋2g(x)＝ex，①
所以f(－x)＋2g(－x)＝e－x，
即f(x)－2g(x)＝e－x，②
联立①②得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx＋2gx＝ex，,fx－2gx＝e－x，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx＝\f(ex＋e－x,2)，,gx＝\f(ex－e－x,4)，))
所以f(－2)＝eq \f(e－2＋e2,2)，f(－3)＝eq \f(e－3＋e3,2)，
g(－1)＝eq \f(e－1－e,4)<0，
所以g(－1)10．(2020·福州质检)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋\f(3,2)x，x≥0，,x2－\f(3,2)x，x<0，))则( )
A．f(x)是偶函数
B．f(x)在[0，＋∞)上单调递增
C．f(x)在(－∞，0)上单调递增
D．若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))≥f(1)，则－1≤a≤1
【答案】 ABD
【解析】 由题可知f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，故A正确；由y＝x2＋eq \f(3,2)x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,4)))2－eq \f(9,16)，知y＝x2＋eq \f(3,2)x在[0，＋∞)上单调递增，由y＝x2－eq \f(3,2)x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))2－eq \f(9,16)，知y＝x2－eq \f(3,2)x在(－∞，0)上单调递减，故B正确，C错误；若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))≥f(1)，则有f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))))≥f(1)，结合函数f(x)的单调性可得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))≥1，所以|a|≤1，解得－1≤a≤1，故D正确．
11．符号[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]＝3，[－1.6]＝－2，定义函数f(x)＝x－[x]，则下列命题正确的是( )
A．f(－0.8)＝0.2
B．当1≤x<2时，f(x)＝x－1
C．函数f(x)的定义域为R，值域为[0,1)
D．函数f(x)是增函数、奇函数
【答案】 ABC
【解析】 由f(x)＝x－[x]，得f(－0.8)＝－0.8＋1＝0.2，故A正确；当1≤x<2时，f(x)＝x－[x]＝x－1，故B正确；函数f(x)的定义域为R，值域为[0,1)，故C正确；当0≤x<1时，f(x)＝x－[x]＝x，当1≤x<2时，f(x)＝x－1，当x＝0.5时，f(0.5)＝0.5，当x＝1.5时，f(1.5)＝0.5，则f(0.5)＝f(1.5)，即f(x)不为增函数，由f(－1.5)＝0.5，f(1.5)＝0.5，可得f(－1.5)＝f(1.5)，即f(x)不为奇函数，故D不正确．
12．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)是偶函数，f(x－1)是奇函数，则下列说法正确的是( )
A．f(7)＝0
B．f(x)的一个周期为8
C．f(x)图象的一个对称中心为(3,0)
D．f(x)图象的一条对称轴为直线x＝2 019
【答案】 ABC
【解析】 依题意知，直线x＝1是f(x)图象的一条对称轴，(－1,0)是f(x)图象的一个对称点．又因为f(x＋1)＝f(－x＋1)，f(x－1)＝－f(－x－1)，所以f(x－1)＝f(－(x－2)＋1)＝f(－x＋3)，则f(－x＋3)＝－f(－x－1)，令t＝－x，则f(t＋3)＝－f(t－1)，故f(t＋4)＝－f(t)，则f(t＋8)＝－f(t＋4)＝f(t)，所以f(x)是周期函数，且8为函数f(x)的一个周期，故B正确；f(7)＝f(－1)＝0，故A正确；因为f(x)图象上每隔4个单位长度出现一个对称中心，所以点(3,0)是函数f(x)图象的一个对称中心，故C正确；x＝2 019＝8×252＋3，所以直线x＝2 019不是函数f(x)图象的对称轴，故D错误．
三、填空题
13．(2020·江苏)已知y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝，则f(－8)的值是________．
【答案】 －4
14．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝－eq \f(1,fx)，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x＋1，则f(2 020)＋f(2 021)的值为________．
【答案】 eq \f(14,5)
【解析】 ∵f(x＋2)＝－eq \f(1,fx)，
∴f(x＋4)＝－eq \f(1,fx＋2)＝f(x)，
∴函数f(x)的周期为T＝4.
又当x∈(0,2]时，f(x)＝2x＋1，
∴f(1)＝3，f(2)＝5，f(4)＝－eq \f(1,f2)＝－eq \f(1,5)，
∴f(2 020)＋f(2 021)＝f(4)＋f(1)＝－eq \f(1,5)＋3＝eq \f(14,5).
15．对于函数y＝f(x)，若存在x0使f(x0)＋f(－x0)＝0，则称点(x0，f(x0))是曲线f(x)的“优美点”．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x，x<0，,kx＋2，x≥0，))若曲线f(x)存在“优美点”，则实数k的取值范围是________________．
【答案】 (－∞，2－2eq \r(2)]
【解析】 当x<0时，f(x)＝x2＋2x关于原点对称的函数是y＝－x2＋2x(x>0)，由题意得，y＝－x2＋2x(x>0)与y＝kx＋2有交点，即－x2＋2x＝kx＋2(x>0)有解，∴k＝－x－eq \f(2,x)＋2(x>0)有解，又－x－eq \f(2,x)＋2≤－2eq \r(2)＋2，当且仅当x＝eq \r(2)时等号成立，∴k≤2－2eq \r(2).
16．(2020·全国Ⅲ)关于函数f(x)＝sin x＋eq \f(1,sin x)有如下四个命题：
①f(x)的图象关于y轴对称；
②f(x)的图象关于原点对称；
③f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,2)对称；
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是________．
【答案】 ②③
【解析】 ∵f(x)＝sin x＋eq \f(1,sin x)的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，f(－x)＝sin(－x)＋eq \f(1,sin－x)＝－sin x－eq \f(1,sin x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，关于原点对称，故①错误，②正确．
∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝cs x＋eq \f(1,cs x)，
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))＝cs x＋eq \f(1,cs x)，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))，
∴f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,2)对称，故③正确．
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))时，f(x)<0，故④错误．