高考数学二轮复习讲义(新高考版)专题2培优点8向量共线定理的应用(学生版+解析)

这是一份高考数学二轮复习讲义(新高考版)专题2培优点8向量共线定理的应用(学生版+解析)，共1页。学案主要包含了方法总结，拓展训练等内容，欢迎下载使用。

向量共线定理可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；对于线段的定比分点问题，用向量共线定理求解则更加简洁．
【典例】1 (1)若点M是△ABC所在平面内一点，且满足|3eq \(AM,\s\up6(→))－eq \(A B,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up 6(→))|＝0，则△ABM与△ABC的面积之比等于( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,2)
(2)在△ABC中，eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up 6(→))，P是BN上的一点，若eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,8)eq \(AC,\s\up6(→))，则实数m的值为________．
【典例】2 (1)(2020·河北省石家庄一中质检)在△ABC中，D 为线段AC的中点，点E在边BC上，且BE＝eq \f(1,2)EC，AE与BD交于点O，则eq \(AO,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up 6(→)) B.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up 6(→))
C.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up 6(→)) D.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up 6(→))
(2)在△ABC中，过中线AD的中点E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设eq \(AM,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AN,\s\up6(→))＝yeq \(AC,\s\up6(→))(xy≠0)，则4x＋y的最小值是________．
【方法总结】
(1)若eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
(2)使用条件“两条线段的交点”时，可转化成两次向量共线，进而确定交点位置．
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1.如图，△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于点F，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(AF,\s\up6(→))＝xa＋yb，则(x，y)等于( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(1,2)))
2．(2020·河北省石家庄二中调研)已知在△ABC中，AB＝AC＝3，D为边BC上一点，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝6，eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(15,2)，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))的值为________．
3．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋neq \(AD,\s\up6(→))(m，n均为正实数)，则eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的最小值为________．
培优点8 向量共线定理的应用
【方法总结】
向量共线定理可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；对于线段的定比分点问题，用向量共线定理求解则更加简洁．
【典例】1 (1)若点M是△ABC所在平面内一点，且满足|3eq \(AM,\s\up6(→))－eq \(A B,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up 6(→))|＝0，则△ABM与△ABC的面积之比等于( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,2)
【答案】 C
【解析】 ∵|3eq \(AM,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up 6(→))|＝0，∴3eq \(AM,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up 6(→))＝0，∴eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up 6(→))＝3eq \(AM,\s\up6(→)).
设BC的中点为G，则eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up 6(→))＝2eq \(AG,\s\up6(→))，
∴3eq \(AM,\s\up6(→))＝2eq \(AG,\s\up6(→))，即eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AG,\s\up6(→))，
∴点M在线段AG上，且eq \f(\(|A M,\s\up6(→))|,\(|A G,\s\up6(→))|)＝eq \f(2,3).
∴eq \f(S△ABM,S△ABG)＝eq \f(|\(AM,\s\up6(→))|,|\(AG,\s\up6(→))|)＝eq \f(2,3)，易得eq \f(S△ABG,S△ABC)＝eq \f(|\(BG,\s\up6(→))|,|\(BC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2)，
∴eq \f(S△ABM,S△ABC)＝eq \f(S△ABM,S△ABG)·eq \f(S△ABG,S△ABC)＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,3)，
即△ABM与△ABC的面积之比等于eq \f(1,3).
(2)在△ABC中，eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up 6(→))，P是BN上的一点，若eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,8)eq \(AC,\s\up6(→))，则实数m的值为________．
【答案】 eq \f(1,4)
【解析】 方法一 ∵B，P，N三点共线，
∴eq \(BP,\s\up6(→))∥eq \(PN,\s\up6(→))，∴存在实数λ，使得eq \(BP,\s\up6(→))＝λeq \(PN,\s\up6(→))(λ>0)，
∴eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝λ(eq \(AN,\s\up6(→))－eq \(AP,\s\up6(→)))，
∵λ>0，∴eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,1＋λ) eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(λ,1＋λ)eq \(AN,\s\up6(→)).
∵eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up 6(→))，eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,8)eq \(AC,\s\up 6(→))，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AN,\s\up6(→))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,1＋λ)＝m，,\f(λ,1＋λ)＝\f(3,4)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝3，,m＝\f(1,4).))
方法二 ∵eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up 6(→))，eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,8)eq \(AC,\s\up 6(→))，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AN,\s\up6(→)).
∵B，P，N三点共线，∴m＋eq \f(3,4)＝1，∴m＝eq \f(1,4).
【典例】2 (1)(2020·河北省石家庄一中质检)在△ABC中，D 为线段AC的中点，点E在边BC上，且BE＝eq \f(1,2)EC，AE与BD交于点O，则eq \(AO,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up 6(→)) B.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up 6(→))
C.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up 6(→)) D.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up 6(→))
【答案】 A
【解析】 如图，设eq \(AO,\s\up6(→))＝λeq \(AE,\s\up6(→))(λ>0)，
又eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
∴eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)λeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)λeq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)λeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)λeq \(AD,\s\up6(→)).
又B，O，D三点共线，∴eq \f(2,3)λ＋eq \f(2,3)λ＝1，
∴λ＝eq \f(3,4)，∴eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)).
(2)在△ABC中，过中线AD的中点E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设eq \(AM,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AN,\s\up6(→))＝yeq \(AC,\s\up6(→))(xy≠0)，则4x＋y的最小值是________．
【答案】 eq \f(9,4)
【解析】 由D为BC的中点知，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，
又eq \(AM,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))＝yeq \(AC,\s\up6(→))(xy≠0)，E为AD的中点，
故eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,4x)eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \f(1,4y)eq \(AN,\s\up6(→))，
∵M，E，N三点共线，∴eq \f(1,4x)＋eq \f(1,4y)＝1，
∴4x＋y＝(4x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4x)＋\f(1,4y)))＝eq \f(y,4x)＋eq \f(x,y)＋eq \f(5,4)
≥2eq \r(\f(y,4x)·\f(x,y))＋eq \f(5,4)＝eq \f(9,4)，
当且仅当eq \f(y,4x)＝eq \f(x,y)，即x＝eq \f(3,8)，y＝eq \f(3,4)时取等号．
∴4x＋y的最小值为eq \f(9,4).
【方法总结】
(1)若eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
(2)使用条件“两条线段的交点”时，可转化成两次向量共线，进而确定交点位置．
INCLUDEPICTURE "E:\\周飞燕\\2020\\二轮\\跟踪演练.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\周飞燕\\2020\\二轮\\数学\\wrd\\跟踪演练.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\周飞燕\\2020\\二轮\\数学\\wrd\\跟踪演练.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\周飞燕\\2020\\二轮\\数学\\wrd\\跟踪演练.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\周飞燕\\e\\周飞燕\\2020\\二轮\\数学\\wrd\\专题二\\跟踪演练.tif" \* MERGEFORMATINET 【拓展训练】
1.如图，△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于点F，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(AF,\s\up6(→))＝xa＋yb，则(x，y)等于( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(1,2)))
【答案】 C
【解析】 由题意得，eq \(AF,\s\up6(→))＝xa＋yb＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋2yeq \(AE,\s\up6(→))，
∵B，F，E三点共线，∴x＋2y＝1，①
同理，eq \(AF,\s\up6(→))＝2xeq \(AD,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，
∵D，F，C三点共线，∴2x＋y＝1，②
由①②得x＝y＝eq \f(1,3)，∴(x，y)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3))).
2．(2020·河北省石家庄二中调研)已知在△ABC中，AB＝AC＝3，D为边BC上一点，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝6，eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(15,2)，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))的值为________．
【答案】 eq \f(9,2)
【解析】 ∵D为边BC上一点，可设eq \(BD,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))，
∴eq \(A D,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋Beq \(D,\s\up6(→))＝(1－λ)eq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(AC,\s\up6(→)).
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))·\(AD,\s\up6(→))＝1－λ×9＋λ\(AB,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→))＝6， ①,\(AC,\s\up6(→))·\(AD,\s\up6(→))＝1－λ×\(AB,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→))＋9λ＝\f(15,2) ， ②))
①＋②得，9＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(27,2)，
∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(9,2).
3．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋neq \(AD,\s\up6(→))(m，n均为正实数)，则eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的最小值为________．
【答案】 eq \f(7＋4\r(3),4)
【解析】 设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，则eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq \f(1,4)b＝－eq \f(3,4)a＋b.
设eq \(BP,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))，则eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)λ))a＋λb.
因为eq \(AP,\s\up6(→))＝ma＋nb，所以1－eq \f(3,4)λ＝m，λ＝n，
消去λ得m＋eq \f(3,4)n＝1，
eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m＋\f(3,4)n))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(1,n)))＝1＋eq \f(3n,4m)＋eq \f(m,n)＋eq \f(3,4)≥eq \f(7,4)＋2eq \r(\f(3n,4m)·\f(m,n))＝eq \f(7＋4\r(3),4)，
当且仅当m＝4－2eq \r(3)，n＝eq \f(8\r(3),3)－4时等号成立．
所以eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的最小值为eq \f(7＋4\r(3),4).