高考数学二轮复习讲义(新高考版)专题2培优点9平面向量数量积的最值问题(学生版+解析)

这是一份高考数学二轮复习讲义(新高考版)专题2培优点9平面向量数量积的最值问题(学生版+解析)，共8页。学案主要包含了方法总结，拓展训练等内容，欢迎下载使用。
平面向量部分，数量积是最重要的概念，求解平面向量数量积的最值、范围问题要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化．
【典例】 (1)已知eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(AC,\s\up6(→))，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \f(1,t)，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(\(A B,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(4\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)，则eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的最大值等于( )
A．13 B．15 C．19 D．21
(2)如图，已知P是半径为2，圆心角为eq \f(π,3)的一段圆弧AB上的一点，若eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(BC,\s\up6(→))，则eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))的最小值为________．
【拓展训练】
1．在△ABC中，若A＝120°，Aeq \(B,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝－1，则|eq \(BC,\s\up6(→))|的最小值是________．
2．(2020·天津)如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(3,2)，则实数λ的值为________，若M，N是线段BC上的动点，且|eq \(MN,\s\up6(→))|＝1，则eq \(DM,\s\up6(→))·eq \(DN,\s\up6(→))的最小值为________．
3．已知平面向量a，b，e满足|e|＝1，a·e＝1，b·e＝－2，|a＋b|＝2，则a·b的最大值为________．
4．在平行四边形ABCD中，若AB＝2，AD＝1，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \ (AD,\s\up6(→))＝－1，点M在边CD上，则eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))的最大值为________．
培优点9 平面向量数量积的最值问题
【方法总结】
平面向量部分，数量积是最重要的概念，求解平面向量数量积的最值、范围问题要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化．
【典例】 (1)已知eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(AC,\s\up6(→))，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \f(1,t)，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(\(A B,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(4\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)，则eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的最大值等于( )
A．13 B．15 C．19 D．21
【答案】 A
【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，则Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)，0))，C(0，t)，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)，0))，eq \(AC,\s\up6(→))＝(0，t)，
Aeq \(P,\s\up6(→))＝eq \f(\(A B,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(4\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)＝teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)，0))＋eq \f(4,t)(0，t)＝(1,4)，∴P(1,4)，
eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)－1，－4))·(－1，t－4)
＝17－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)＋4t))≤17－2eq \r(\f(1,t)·4t)＝13，
当且仅当t＝eq \f(1,2)时等号成立．
∴eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的最大值等于13.
(2)如图，已知P是半径为2，圆心角为eq \f(π,3)的一段圆弧AB上的一点，若eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(BC,\s\up6(→))，则eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))的最小值为________．
【答案】 5－2eq \r(13)
【解析】 以圆心为坐标原点，平行于AB的直径所在直线为x轴，AB的垂直平分线所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A(－1，eq \r(3))，C(2，eq \r(3))，
设P(2cs θ，2sin θ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)≤θ≤\f(2π,3)))，
则eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))＝(2－2cs θ，eq \r(3)－2sin θ)·(－1－2cs θ，eq \r(3)－2sin θ)＝5－2cs θ－4eq \r(3)sin θ＝5－2eq \r(13)sin(θ＋φ)，
其中0