高考数学二轮复习讲义(新高考版)专题2培优点10平面向量“奔驰定理”(学生版+解析)

这是一份高考数学二轮复习讲义(新高考版)专题2培优点10平面向量“奔驰定理”(学生版+解析)，共7页。学案主要包含了方法总结，拓展训练等内容，欢迎下载使用。
定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·eq \(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq \(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq \(PC,\s\up6(→))＝0.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．
【典例】 (1)已知点A，B，C，P在同一平面内， eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(PA,\s\up6(→))，eq \(QR,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(QB,\s\up6(→))， eq \(RP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(RC,\s\up6(→))，则S△ABC∶S△PBC等于( )
A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6
(2)已知点P，Q在△ABC内，eq \(PA,\s\up6(→))＋2eq \(PB,\s\up6(→))＋3eq \(PC,\s\up6(→))＝2eq \(QA,\s\up6(→))＋3eq \(QB,\s\up6(→))＋5eq \(QC,\s\up6(→))＝0，则eq \f(|P\(Q,\s\up6(→))|,|A\(B,\s\up6(→))|)等于( )
A.eq \f(1,30) B.eq \f(1,31) C.eq \f(1,32) D.eq \f(1,33)
(3)过△ABC重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点Q， eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))， eq \(QC,\s\up6(→))＝neq \(BC,\s\up6(→))，则n的值为________．
INCLUDEPICTURE "E:\\周飞燕\\2020\\二轮\\跟踪演练.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\周飞燕\\2020\\二轮\\数学\\wrd\\跟踪演练.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\周飞燕\\2020\\二轮\\数学\\wrd\\跟踪演练.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\周飞燕\\e\\周飞燕\\2020\\二轮\\数学\\wrd\\跟踪演练.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\周飞燕\\e\\周飞燕\\2020\\二轮\\数学\\wrd\\跟踪演练.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\周飞燕\\e\\周飞燕\\2020\\二轮\\数学\\wrd\\专题二\\跟踪演练.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\周飞燕\\2020\\二轮\\数学\\wrd\\专题二\\跟踪演练.tif" \* MERGEFORMATINET 【拓展训练】
1．点P在△ABC内部，满足eq \(PA,\s\up6(→))＋2eq \(PB,\s\up6(→))＋3eq \(PC,\s\up6(→))＝0，则S△ABC∶S△APC为( )
A．2∶1 B．3∶2 C．3∶1 D．5∶3
2．点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设eq \(AO,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则实数λ和μ的值分别为( )
A.eq \f(2,9)，eq \f(4,9) B.eq \f(4,9)，eq \f(2,9) C.eq \f(1,9)，eq \f(2,9) D.eq \f(2,9)，eq \f(1,9)
3.设点P在△ABC内且为△ABC的外心，∠BAC＝30°，如图．若△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为eq \f(1,2)，x，y，则x＋y的最大值是________．
培优点10 平面向量“奔驰定理”
【方法总结】
定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·eq \(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq \(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq \(PC,\s\up6(→))＝0.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．
【典例】 (1)已知点A，B，C，P在同一平面内， eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(PA,\s\up6(→))，eq \(QR,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(QB,\s\up6(→))， eq \(RP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(RC,\s\up6(→))，则S△ABC∶S△PBC等于( )
A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6
【答案】 B
【解析】 由eq \(QR,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(QB,\s\up6(→))，得eq \(PR,\s\up6(→))－eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PQ,\s\up6(→)))，
整理得eq \(PR,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \f(2,9)eq \(PA,\s\up6(→))，
由eq \(RP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(RC,\s\up6(→))，得eq \(RP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(PC,\s\up6(→))－eq \(PR,\s\up6(→)))，
整理得eq \(PR,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(PC,\s\up6(→))，∴－eq \f(1,2)eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \f(2,9)eq \(PA,\s\up6(→))，
整理得4eq \(PA,\s\up6(→))＋6eq \(PB,\s\up6(→))＋9eq \(PC,\s\up6(→))＝0，
∴S△ABC∶S△PBC＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4.
(2)已知点P，Q在△ABC内，eq \(PA,\s\up6(→))＋2eq \(PB,\s\up6(→))＋3eq \(PC,\s\up6(→))＝2eq \(QA,\s\up6(→))＋3eq \(QB,\s\up6(→))＋5eq \(QC,\s\up6(→))＝0，则eq \f(|P\(Q,\s\up6(→))|,|A\(B,\s\up6(→))|)等于( )
A.eq \f(1,30) B.eq \f(1,31) C.eq \f(1,32) D.eq \f(1,33)
【答案】 A
【解析】 根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3，S△QBC∶S△QAC∶S△QAB＝2∶3∶5，
∴S△PAB＝S△QAB＝eq \f(1,2)S△ABC，∴PQ∥AB，
又∵S△PBC＝eq \f(1,6)S△ABC，S△QBC＝eq \f(1,5)S△ABC，
∴eq \f(|\(PQ,\s\up6(→))|,| \(AB,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,5)－eq \f(1,6)＝eq \f(1,30).
(3)过△ABC重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点Q， eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))， eq \(QC,\s\up6(→))＝neq \(BC,\s\up6(→))，则n的值为________．
【答案】 eq \f(3,5)
【解析】 因为O是重心，所以eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0，即eq \(OA,\s\up6(→))＝－eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))，
eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))⇒eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))⇒ eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(OC,\s\up6(→))＝
－eq \f(3,4)eq \(OB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(→))，
eq \(QC,\s\up6(→))＝neq \(BC,\s\up6(→))⇒eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OQ,\s\up6(→))＝n(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))
⇒eq \(OQ,\s\up6(→))＝neq \(OB,\s\up6(→))＋(1－n) eq \(OC,\s\up6(→))，
因为P，O，Q三点共线，所以eq \(OP,\s\up6(→))∥eq \(OQ,\s\up6(→))，
所以－eq \f(3,4)(1－n)＝－eq \f(1,2)n，解得n＝eq \f(3,5).
【方法总结】
“奔驰定理”与三角形“四心”：
已知点O在△ABC内部，有以下四个推论：
(1)若O为△ABC的重心，则eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0.
(2)若O为△ABC的外心，则sin 2A·eq \(OA,\s\up6(→))＋sin 2B·eq \(OB,\s\up6(→))＋sin 2C·eq \(OC,\s\up6(→))＝0.
(3)若O为△ABC的内心，则a·eq \(OA,\s\up6(→))＋b·eq \(OB,\s\up6(→))＋c·eq \(OC,\s\up6(→))＝0.
备注：若O为△ABC的内心，则sin A·eq \(OA,\s\up6(→))＋sin B·eq \(OB,\s\up6(→))＋sin C·eq \(OC,\s\up6(→))＝0也对．
(4)若O为△ABC的垂心，则tan A·eq \(OA,\s\up6(→))＋tan B·eq \(OB,\s\up6(→))＋tan C·eq \(OC,\s\up6(→))＝0.
INCLUDEPICTURE "E:\\周飞燕\\2020\\二轮\\跟踪演练.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\周飞燕\\2020\\二轮\\数学\\wrd\\跟踪演练.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\周飞燕\\2020\\二轮\\数学\\wrd\\跟踪演练.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\周飞燕\\e\\周飞燕\\2020\\二轮\\数学\\wrd\\跟踪演练.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\周飞燕\\e\\周飞燕\\2020\\二轮\\数学\\wrd\\跟踪演练.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "\\\\周飞燕\\e\\周飞燕\\2020\\二轮\\数学\\wrd\\专题二\\跟踪演练.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\周飞燕\\2020\\二轮\\数学\\wrd\\专题二\\跟踪演练.tif" \* MERGEFORMATINET 【拓展训练】
1．点P在△ABC内部，满足eq \(PA,\s\up6(→))＋2eq \(PB,\s\up6(→))＋3eq \(PC,\s\up6(→))＝0，则S△ABC∶S△APC为( )
A．2∶1 B．3∶2 C．3∶1 D．5∶3
【答案】 C
【解析】 根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3.
∴S△ABC∶S△APC＝3∶1.
2．点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设eq \(AO,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则实数λ和μ的值分别为( )
A.eq \f(2,9)，eq \f(4,9) B.eq \f(4,9)，eq \f(2,9) C.eq \f(1,9)，eq \f(2,9) D.eq \f(2,9)，eq \f(1,9)
【答案】 A
【解析】 根据奔驰定理，得3eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＋4eq \(OC,\s\up6(→))＝0，
即3eq \(OA,\s\up6(→))＋2(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＋4(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝0，
整理得eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(2,9)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(4,9)eq \(AC,\s\up6(→))，故选A.
3.设点P在△ABC内且为△ABC的外心，∠BAC＝30°，如图．若△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为eq \f(1,2)，x，y，则x＋y的最大值是________．
【答案】 eq \f(\r(3),3)
【解析】 根据奔驰定理得，eq \f(1,2)eq \(PA,\s\up6(→))＋xeq \(PB,\s\up6(→))＋yeq \(PC,\s\up6(→))＝0，
即eq \(AP,\s\up6(→))＝2xeq \(PB,\s\up6(→))＋2yeq \(PC,\s\up6(→))，
平方得eq \(AP,\s\up6(→))2＝4x2eq \(PB,\s\up6(→))2＋4y2eq \(PC,\s\up6(→))2＋8xy| eq \(PB,\s\up6(→))|·|eq \(PC,\s\up6(→))|·cs∠BPC，
又因为点P是△ABC的外心，
所以| eq \(PA,\s\up6(→))|＝|eq \(PB,\s\up6(→))|＝|eq \(PC,\s\up6(→))|，
且∠BPC＝2∠BAC＝60°，所以x2＋y2＋xy＝eq \f(1,4)，
(x＋y)2＝eq \f(1,4)＋xy≤eq \f(1,4)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))2，
解得0