高考数学二轮复习讲义(新高考版)专题5培优点17概率与统计的创新题型(学生版+解析)

这是一份高考数学二轮复习讲义(新高考版)专题5培优点17概率与统计的创新题型(学生版+解析)，共6页。学案主要包含了拓展训练，方法总结等内容，欢迎下载使用。

【典例】 (2020·青岛模拟)某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节，当天有多项优惠活动，深受广大消费者喜爱．
(1)已知该网络购物平台近5年“双十一”购物节当天成交额如表所示：
求成交额y(百亿元)与时间变量x(记2016年为x＝1,2017年为x＝2，…依次类推)的线性回归方程，并预测2021年该平台“双十一”购物节当天的成交额(百亿元)；
(2)在2021年“双十一”购物节前，某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台上分别参加A，B两店各一个订单的“秒杀”抢购，若该同学的爸爸、妈妈在A，B两店订单“秒杀”成功的概率分别为p，q，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为X.
①求X的分布列及E(X)；
②已知每个订单由k(k≥2，k∈N*)件商品W构成，记该同学的爸爸和妈妈抢购到商品W的总数量为Y，假设p＝eq \f(7sin \f(π,k),4k)－eq \f(π,k2)，q＝eq \f(sin \f(π,k),4k)，求E(Y)取最大值时正整数k的值．
INCLUDEPICTURE "E:\\周飞燕\\2020\\二轮\\跟踪演练.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\周飞燕\\2020\\二轮\\数学\\wrd\\跟踪演练.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\周飞燕\\2020\\二轮\\数学\\wrd\\跟踪演练.tif" \* MERGEFORMATINET 【拓展训练】
一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站…第100站，共101站，设棋子跳到第n站的概率为Pn，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站(失败)时，游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)．
(1)求P0，P1，P2，并根据棋子跳到第n站的情况，试用Pn－2和Pn－1表示Pn；
(2)求证：{Pn－Pn－1}(n＝1,2，…，99)为等比数列；
(3)求玩该游戏获胜的概率．年份
2016
2017
2018
2019
2020
成交额(百亿元)
9
12
17
21
27
培优点17 概率与统计的创新题型
概率统计问题在近几年的高考中背景取自现实，题型新颖，综合性增强，难度加深，掌握此类问题的解题策略在高考中就显得非常重要．
【典例】 (2020·青岛模拟)某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节，当天有多项优惠活动，深受广大消费者喜爱．
(1)已知该网络购物平台近5年“双十一”购物节当天成交额如表所示：
求成交额y(百亿元)与时间变量x(记2016年为x＝1,2017年为x＝2，…依次类推)的线性回归方程，并预测2021年该平台“双十一”购物节当天的成交额(百亿元)；
(2)在2021年“双十一”购物节前，某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台上分别参加A，B两店各一个订单的“秒杀”抢购，若该同学的爸爸、妈妈在A，B两店订单“秒杀”成功的概率分别为p，q，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为X.
①求X的分布列及E(X)；
②已知每个订单由k(k≥2，k∈N*)件商品W构成，记该同学的爸爸和妈妈抢购到商品W的总数量为Y，假设p＝eq \f(7sin \f(π,k),4k)－eq \f(π,k2)，q＝eq \f(sin \f(π,k),4k)，求E(Y)取最大值时正整数k的值．
【解析】解 (1)由已知可得
eq \x\t(x)＝eq \f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，
eq \x\t(y)＝eq \f(9＋12＋17＋21＋27,5)＝17.2，
iyi＝1×9＋2×12＋3×17＋4×21＋5×27＝303，
eq \\al(2,i)＝12＋22＋32＋42＋52＝55.
所以eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(303－5×3×17.2,55－5×32)＝eq \f(45,10)＝4.5，
所以eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x)＝17.2－4.5×3＝3.7，
所以eq \(y,\s\up6(^))＝4.5x＋3.7.
当x＝6时，eq \(y,\s\up6(^))＝4.5×6＋3.7＝30.7(百亿元)，
所以预测2021年该平台“双十一”购物节当天的成交额为30.7百亿元．
(2)①由题意知，X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝(1－p)(1－q)，
P(X＝1)＝(1－p)q＋(1－q)p，
P(X＝2)＝pq.
所以X的分布列为
E(X)＝0×(1－p)(1－q)＋(p＋q－2pq)＋2pq＝p＋q.
②因为Y＝kX，所以E(Y)＝kE(X)＝k(p＋q)
＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7sin \f(π,k),4k)－\f(π,k2)＋\f(sin \f(π,k),4k)))＝2sin eq \f(π,k)－eq \f(π,k).
令t＝eq \f(1,k)∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，
设f(t)＝2sin πt－πt，则E(Y)＝f(t)．
因为f′(t)＝2πcs πt－π＝2πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs πt－\f(1,2)))，且πt∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以，当t∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))时，f′(t)>0，
所以f(t)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))上单调递增；
当t∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2)))时，f′(t)<0，
所以f(t)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2)))上单调递减，
所以，当t＝eq \f(1,3)时，f(t)max＝eq \r(3)－eq \f(π,3)，
即E(Y)取最大值时，正整数k的值为3.
【方法总结】概率统计问题考查学生的数据分析能力，要从已知数表中经过阅读分析判断获取关键信息，搞清各数据、各事件间的关系，建立适当的数学模型．
INCLUDEPICTURE "E:\\周飞燕\\2020\\二轮\\跟踪演练.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\周飞燕\\2020\\二轮\\数学\\wrd\\跟踪演练.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\周飞燕\\2020\\二轮\\数学\\wrd\\跟踪演练.tif" \* MERGEFORMATINET 【拓展训练】
一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站…第100站，共101站，设棋子跳到第n站的概率为Pn，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站(失败)时，游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)．
(1)求P0，P1，P2，并根据棋子跳到第n站的情况，试用Pn－2和Pn－1表示Pn；
(2)求证：{Pn－Pn－1}(n＝1,2，…，99)为等比数列；
(3)求玩该游戏获胜的概率．
【解析】(1)解 棋子开始在第0站是必然事件，所以P0＝1.
棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，其概率为eq \f(1,2)，所以P1＝eq \f(1,2).
棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子出现偶数点，其概率为eq \f(1,2)；②前两次掷骰子都出现奇数点，其概率为eq \f(1,4)，所以P2＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＝eq \f(3,4).
棋子跳到第n(2≤n≤99)站，包括两种情形，①棋子先跳到第n－2站，又掷骰子出现偶数点，其概率为eq \f(1,2)Pn－2；
②棋子先跳到第n－1站，又掷骰子出现奇数点，其概率为eq \f(1,2)Pn－1.
故Pn＝eq \f(1,2)Pn－2＋eq \f(1,2)Pn－1(2≤n≤99，n∈N*)．
棋子跳到100站只有一种情况，棋子先跳到第98站，又掷骰子出现偶数点，其概率为eq \f(1,2)P98，所以P100＝eq \f(1,2)P98.
(2)证明 由(1)知，当2≤n≤99时，
Pn＝eq \f(1,2)Pn－2＋eq \f(1,2)Pn－1，
所以Pn－Pn－1＝－eq \f(1,2)(Pn－1－Pn－2)．
又因为P1－P0＝－eq \f(1,2)，
所以{Pn－Pn－1}(n＝1,2，…，99)是首项为－eq \f(1,2)，公比为－eq \f(1,2)的等比数列．
(3)解 由(2)知，
Pn－Pn－1＝－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n－1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n.
所以P99＝(P99－P98)＋(P98－P97)＋…＋(P1－P0)＋P0
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))99＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))98＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋1
＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))99)),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))＋1
＝eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2100))).
所以玩该游戏获胜的概率为eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2100))).年份
2016
2017
2018
2019
2020
成交额(百亿元)
9
12
17
21
27
X
0
1
2
P
(1－p)(1－q)
(1－p)q＋(1－q)p
pq