02 增分微课3　与球有关的切、接问题 【正文】听课 高考数学二轮复习练习

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角度1 常规几何
例1 (1)[2022·新高考全国Ⅱ卷] 已知正三棱台的高为1,上下底面的边长分别为33和43,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )
A.100πB.128π
C.144πD.192π
(2)如图,在三棱锥V-ABC中,VA⊥底面ABC,∠BAC=90°,AB=AC=AV=2,则该三棱锥的内切球和外接球的半径之比为( )
A.(2-3)∶1B.(23-3)∶1
C.(3-1)∶3D.(3-2)∶2
(3)已知四棱锥P-ABCD的体积是363,底面ABCD是正方形,△PAB是等边三角形,平面PAB⊥平面ABCD,则四棱锥P-ABCD外接球的表面积为( )
A.89πB.88π
C.84πD.81π
总结反思
到各个顶点距离相等的点为外接球的球心,借助有特殊性底面的外接圆圆心,找其垂线,则球心一定在垂线上,再根据球心到其他顶点的距离也等于半径,列关系式求解即可.要注意补形法、截面法等方法的运用.
变式题 (1)在四面体A-BCD中,AB=CD=7,AD=BC=29,AC=BD=27,则四面体A-BCD外接球的表面积是( )
A.24πB.32π
C.36πD.42π
(2)已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC满足AB=2,∠ACB=90°,PA为球O的直径且PA=4,则点P到底面ABC的距离为( )
A.2B.22
C.3D.23
角度2 复杂几何体
例2 [2023·金丽衢十二校联考] 将两个全等的正三棱锥底面重合得到一个六面体,若该六面体存在外接球,且正三棱锥的体积为1,则六面体外接球的体积为 .
变式题 两个圆锥的底面是一个球的同一截面,顶点均在球面上,若球的体积为32π3,两个圆锥的高之比为1∶3,则两个圆锥的体积之和为( )
A.3π B.4π
C.9πD.12π
几何体的内切球
例3 已知正三棱锥的高为1,底面边长为23,则该三棱锥的内切球的半径为( )
A.52B.3-1
C.12D.2-1
总结反思
处理与内切球相关的问题时需注意:(1)找准切点及球心;(2)体积分割是求内切球半径的常用方法.
变式题 在四面体ABCD中,BA,BC,BD两两垂直,BA=1,BC=BD=2,则四面体ABCD内切球的半径为 .
最值问题
例4 (1)[2022·新高考全国Ⅰ卷] 已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上,若该球的体积为36π,且3≤l≤33,则该正四棱锥体积的取值范围是( )
A.18,814B.274,814
C.274,643D.[18,27]
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总结反思
与球有关的切、接问题中的最值问题是立体几何的一个重点、难点,常见的求解方法主要有以下三种.
(1)转化为函数最值问题.通过引入长度参数或角度参数,建立关于这些参变量的函数关系,进而转化为函数的最值问题来解决.
(2)转化为平面几何问题.根据题目的特征,寻找或确定一个数量关系比较集中的平面,将题目中的其他条件逐步向该平面转移,然后利用平面几何方法或三角函数来解决.
(3)利用不等式求解.可通过引入多个变量建立数学模型,然后利用不等式求其最值.
变式题 (1)已知矩形ABCD的面积为8,当矩形ABCD的周长最小时,沿对角线AC把△ACD折起,则三棱锥D-ABC外接球的表面积等于( )
A.8πB.16π
C.482D.不确定的实数
(2)[2023·湖南名校联考] 定义:与圆锥的底面和各母线均相切的球,称为圆锥的内切球,此圆锥称为球的外切圆锥.已知某圆锥的内切球半径等于1,则该圆锥体积的最小值为( )
A.5π9B.3πC.8π3D.5π2