06 第44讲　空间向量及其运算和空间位置关系 【答案】作业 高考数学二轮复习练习

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2.A [解析] 因为u·a=2+0-2=0,所以u⊥a,所以直线l与平面α的位置关系是平行或直线在平面内.故选A.
3.B [解析] 对于A选项,设(1,1,0)=m(0,1,1)+n(1,0,1),所以n=1,m=1,m+n=0,无解;对于B选项,因为(2,2,4)=0·(3,0,0)+2(1,1,2),所以B选项中的三个向量共面;对于C选项,设(1,2,3)=x(1,3,2)+y(2,3,1),所以x+2y=1,3x+3y=2,2x+y=3,无解;对于D选项,设(1,0,0)=a(0,0,2)+b(0,3,0),所以0=1,3b=0,2a=0,矛盾.故选B.
4.B [解析] ∵AB⊥BC,∴AB·BC=0,即3+5-2z=0,解得z=4,又BP⊥平面ABC,∴BP⊥AB,BP⊥BC,则x-1+5y+6=0,3(x-1)+y-12=0,解得x=407,y=-157.故选B.
5.ABC [解析] A中,OE=OA+AE=OA+12AD=OA+1212AB+12AC=OA+1212OB-12OA+12OC-12OA=12OA+14OB+14OC,所以A正确;B中,(OA+OB)·(CA+CB)=OA·CA+OA·CB+OB·CA+OB·CB=1×1×cs 60°+1×1×cs 90°+1×1×cs 90°+1×1×cs 60°=1,所以B正确;C中,AB=(-1,2,0),AC=(1,1,3),则向量AC在AB上的投影向量为|AC|cs·AB|AB|=AC·AB|AB|·AB|AB|=-1+21+4·AB1+4=15AB,所以C正确;D中,假设向量a,b,c共面,则a=xb+yc,所以OA-2OB+OC=x(-OA+3OB+2OC)+y(-3OA+7OB)=(-x-3y)OA+(3x+7y)OB+2xOC,所以-x-3y=1,3x+7y=-2,2x=1,解得x=12,y=-12,所以当x=12,y=-12时向量a,b,c共面,所以D错误.故选ABC.
6.83 [解析] 连接AO,∵三棱锥P-ABC为正三棱锥,O为△ABC的中心,∴PO⊥平面ABC,△ABC是等边三角形,∴PO⊥AO,∴PO·OA=0.
∵AO=23·AB·sin 60°=233,∴PO·PA=PO·(PO+OA)=|PO|2=AP2-AO2=4-43=83.
7.C [解析] ∵OC=12(a-b)=12(OA+OB+OC)-12(OA+OB-OC),∴OC与a,b不能构成空间的一个基底.故选C.
8.B [解析] 连接AC,由AC1=AC+CC1,可得|AC1|2=AC12=(AC+CC1)2=AC2+2AC·CC1+CC12,因为底面ABCD为矩形,AB=2,AD=2,AA1=22,所以AC2=|AC|2=2+2=4,CC12=|CC1|2=8.又AC·CC1=(AB+AD)·CC1=AB·CC1+AD·CC1=|AB|·|CC1|·cs 60°+|AD|·|CC1|·cs 60°=2×22×12+2×22×12=4,所以|AC1|2=|AC|2+2AC·CC1+|CC1|2=4+2×4+8=20,则|AC1|=25.故选B.
9.D [解析] 如图,分别取BC,AD的中点为E,F,连接ED,EF,则|PB+PC|=|2PE|=22,所以|PE|=2,故点P的轨迹是以E为球心,以2为半径的球面.AP·PD=-(PF+FA)·(PF+FD)=-(PF+FA)·(PF-FA)=|FA|2-|PF|2=4-|PF|2.因为ED=DC2-CE2=16-4=23,EF=DE2-DF2=12-4=22,所以|PF|min=EF-2=2,|PF|max=EF+2=32,所以AP·PD的取值范围为[-14,2].故选D.
10.BD [解析] AD=AA1+A1B1+B1D=AA1+A1B1+23B1C1=AA1+A1B1+23(A1C1-A1B1)=AA1+13AB+23AC,故A不正确,B正确.如图所示,过D作DU垂直于BC,垂足为U,过U作UV垂直于AB,UW垂直于AC,垂足分别为V,W,故向量AD在向量AB上的投影向量为AV,向量AD在向量AC上的投影向量为AW,由题意易得AVAB=13,AWAC=23,则AV=13AB,AW=23AC,故C不正确,D正确.故选BD.
11.ACD [解析] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以点D为原点,DA,DC,DD1的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,则A1(3,0,3),D1(0,0,3),C(0,3,0),B(3,3,0),设M(3,y,0),N(3,3,z),y,z∈(0,3),所以D1M=(3,y,-3),MN=(0,3-y,z).因为D1M⊥MN,所以D1M·MN=y(3-y)-3z=0,即z=13y(3-y).对于A,A1M=(0,y,-3),则A1M·MN=y(3-y)-3z=0,所以A1M⊥MN,即MN⊥A1M,故A正确;对于B,CM=(3,y-3,0),因为CM·MN=(y-3)(3-y)=-(3-y)20),则AG=(0,0,t),
所以MG=AG-AM=(-4λ,-4λ,t),
F(0,-1,t),AF=(0,-1,t),AB=(4,0,0).
设平面ABF的法向量为m=(x,y,z),
则AF·m=-y+tz=0,AB·m=4x=0,取m=(0,t,1).
因为MG∥平面ABF,所以MG·m=0,即-4λt+t=0,解得λ=14,所以AMAC=14,此时MCAC=34,即在线段AC上存在一点M,使MG∥平面ABF,此时MCAC=34.
16.C [解析] 如图,设过点P且平行于底面的截面圆的圆心为O1,过点Q且平行于底面的截面圆的圆心为O2,连接PO1,O1O2,O2Q,设圆柱底面圆的半径为r,则2πr=12,所以r=6π,=2+26π=2π3.因为PQ=PO1+O1O2+O2Q,所以|PQ|2=|PO1+O1O2+O2Q|2=2r2+|O1O2|2+2PO1·O2Q=2×6π2+62+2×6π2×csπ3=3×36π2+36,所以|PQ|=63+π2π.故选C.