02 第48讲　两直线的位置关系 【正文】听课 高考数学二轮复习练习

这是一份02 第48讲　两直线的位置关系 【正文】听课 高考数学二轮复习练习，共6页。试卷主要包含了若直线l1等内容，欢迎下载使用。

1.两条直线的位置关系
直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l3:A1x+B1y+C1=0,l4:A2x+B2y+C2=0的位置关系如下表:
2.两条直线的交点
设l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则两条直线的 就是方程组A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0的解.
(1)若方程组有唯一解,则两条直线 ,此解就是 ;
(2)若方程组无解,则两条直线 ,此时两条直线 ,反之,亦成立.
3.距离公式
常用结论
(1)若所求直线过点P(x0,y0),且与直线Ax+By+C=0平行,则所求直线的方程为A(x-x0)+B(y-y0)=0;与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R且m≠C).
(2)若所求直线过点P(x0,y0),且与直线Ax+By+C=0垂直,则所求直线的方程为B(x-x0)-A(y-y0)=0;与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+n=0(n∈R).
(3)若直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0相交,则方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中λ∈R,这个方程可以表示l1,但不能表示l2)表示过l1和l2的交点的直线系方程.
(4)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y).
(5)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y).
(6)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x).
(7)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b-y).
(8)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).
(9)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x),关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k).
题组一 常识题
1.[教材改编] 已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3),则△ABC是 (锐角、直角、钝角中选填一个)三角形.
2.点(1,3)到直线3x-4y-1=0的距离为 .
3.经过两条直线x+y-3=0和x-2y+3=0的交点,且与直线2x+y-7=0平行的直线方程是 .
题组二 常错题
◆索引:忽略检验两条直线重合的情况;判断两条直线的位置关系时忽视斜率不存在的情况;求两条平行线间的距离时忽视两个直线方程的系数的对应关系.
4.若直线l1:x+2my-1=0与l2:(3m-1)x-my+1=0平行,则实数m的值为 .
5.若直线l1:2x+3ay-4=0与直线l2:ax+(a-2)y+1=0垂直,则实数a的值为 .
6.两条平行直线3x+4y-12=0与ax+8y+11=0之间的距离为 .
两条直线的位置关系
例1 已知两直线l1:(m+3)x+5y=5-3m,l2:2x+(m+6)y=8,当m为何值时,l1与l2:(1)相交;(2)平行;(3)重合;(4)垂直.


总结反思
(1)充分掌握两直线平行与垂直的充要条件是解决此类问题的关键,对于斜率都存在且不重合的两条直线l1(斜率为k1)和l2(斜率为k2),l1∥l2⇔k1=k2,l1⊥l2⇔k1·k2=-1.解题时一定要特别注意直线的斜率不存在的情况.
(2)若l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0;l1∥l2⇔A1B2=A2B1且A1C2≠A2C1.
变式题 (1)已知p:直线x+2y-1=0与直线a2x+(a+1)y-1=0平行,q:a=1,则p是q的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
(2)[2023·北京东城区二模] 已知三条直线l1:x-2y+2=0,l2:x-2=0,l3:x+ky=0将平面分为六个部分,则满足条件的k的值共有( )
A.1个B.2个
C.3个D.无数个
(3)已知倾斜角为α的直线l与直线x+2y-λ=0垂直,则tan(π+α)= .
两条直线的交点与距离问题
例2 (1) 已知直线3x+my-3=0与6x+4y+1=0互相平行,则它们之间的距离是( )
A.4B.21313
C.51326D.71326
(2)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为( )
A.1B.2C.3D.2
(3)已知直线l经过原点,且经过两条直线2x-3y-4=0与x-y-1=0的交点,则直线l的方程是 .
总结反思
(1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式去求,注意直线方程应为一般式;
(2)运用两平行直线间的距离公式d=|C1-C2|A2+B2的前提是两直线方程中的x,y的系数对应相等.
变式题 (1)已知A(-2,-4),B(1,5)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值为 .
(2)若点M(a,b)为直线3x-y+3=0上的动点,则a2+(b+1)2的最小值为 .
对称问题
角度1 关于点对称
例3 过点P(0,1)的直线l与直线l1:2x+y-8=0和直线l2:x-3y+10=0分别交于A,B两点,若线段AB的中点为P,则直线l的方程为 .
角度2 关于线对称
例4 (1)在△ABC中,A(2,5),B(1,3). 若∠BAC的平分线所在的直线方程为x-y+3=0,则直线AC的方程为 .
(2)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心,则线段AP的长度为 .
总结反思
对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解;(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解决,两点对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组求解.
变式题 已知点A(0,2),直线l1:x-y-1=0,直线l2:x-2y+2=0.
(1)求点A关于直线l1的对称点B的坐标;
(2)求直线l2关于直线l1的对称直线的方程;
(3)求直线l1关于点A对称的直线l'的方程.位置关系
l1,l2满足的条件
l3,l4满足的条件
平行

A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1,B1C2-B2C1中至少有一个不为0
垂直

A1A2+B1B2=0
相交

A1B2-A2B1≠0
点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离
|P1P2|=|P1P2|=
点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离
d=| P0P1·n|= (其中n是与直线l的方向向量垂直的单位向量,P1为直线l上任意一点)
两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离
d=
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直线系方程的应用
例5 (1)过点P(1,-2)且与直线3x+2y-5=0垂直的直线方程是 .
(2)已知两条直线l1:3x+4y-2=0与l2:2x+y+2=0的交点为P,过点P且平行于直线l3:x-y-1=0的直线l4的方程为 .
总结反思
直线系方程是指满足某种特征的直线方程的全体.在解决有关平行、垂直或两直线交点问题时,利用直线系方程可以简化解题过程.
平行直线系方程:与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+m=0(m为参数,且m≠C).
垂直直线系方程:与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为Bx-Ay+m=0(m为参数).
过两直线交点的直线系方程:经过两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ为参数,此直线不包括直线l2).
变式题1 经过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点,并且垂直于直线3x+4y-7=0的直线l的方程为 .
变式题2 从空中某个角度俯视北京冬奥会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图如图,在平面直角坐标系中,下列直线系方程(其中θ为参数,θ∈R)能形成这种效果的是( )
A.x+ysin θ-3=0
B.xcs θ+y+3sin θ=0
C.xcs θ+ysin θ-2=0
D.xcs θ+y-3=0