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03 第49讲 圆的方程 【答案】听课 高考数学二轮复习练习
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【知识聚焦】
1.(x-a)2+(y-b)2=r2 (a,b) rx2+y2+Dx+Ey+F=0
2.(1)(x0-a)2+(y0-b)2>r2 (2)(x0-a)2+(y0-b)2=r2
(3)(x0-a)2+(y0-b)2【对点演练】
1.(1,2) 1 [解析] 由x2+y2-2x-4y+4=0,得(x-1)2+(y-2)2=1,所以圆心坐标为(1,2),半径为1.
2.(x-1)2+(y-1)2=2 x2+y2-2x-2y=0
[解析] ∵P(1,1)为圆心,且圆P经过原点,∴半径r=1+1=2,∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2,化为一般方程,可得x2+y2-2x-2y=0.
3.(x-5)2+(y-6)2=10 [解析] 由题意得,所求圆的圆心为线段AB的中点4+62,3+92,即(5,6),半径为|AB|2=(6-4)2+(3-9)22=10,所以所求圆的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=10.
4.(-3,-2)∪(2,+∞) [解析] 由题意,得m2+(-2)2-8>0,12+22+m-2×2+2>0,解得-32,故实数m的取值范围为(-3,-2)∪(2,+∞).
5.(x-2)2+(y+2)2=4或(x+2)2+(y-2)2=4 [解析] 由题意知圆心的坐标为(2,-2)或(-2,2),所以圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=4或(x+2)2+(y-2)2=4.
6.-4 [解析] 因为点P(x,y)为圆x2+y2=1上的动点,所以x2+4y=1-y2+4y=-(y-2)2+5.因为y∈[-1,1],所以当y=-1时,x2+4y取得最小值-4.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)思路一:设圆心为C,根据圆心C在直线x-2y-3=0上,设出圆心C的坐标,利用|CA|=|CB|构造关于点C坐标的方程求解;思路二:设出圆的标准方程,将圆心坐标代入x-2y-3=0,将点A,B的坐标分别代入圆的方程,然后组成方程组求解;思路三:设出圆的一般方程,求出圆心坐标,再代入x-2y-3=0,将点A,B的坐标分别代入圆的方程,然后组成方程组求解.(2)选其中的三点,利用待定系数法即可求出圆的方程.
(1)(x+1)2+(y+2)2=10 (2)x2+y2-4x-6y=0或x2+y2-4x-2y=0或x2+y2-83x-143y=0或x2+y2-165x-2y-165=0 [解析] (1)方法一:设点C为圆心,因为点C在直线x-2y-3=0上,所以可设点C的坐标为(2a+3,a).又该圆经过A,B两点,所以|CA|=|CB|,即(2a+3-2)2+(a+3)2=(2a+3+2)2+(a+5)2,解得a=-2,所以圆心C的坐标为(-1,-2),半径r=10,故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
方法二:设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由题意得(2-a)2+(-3-b)2=r2,(-2-a)2+(-5-b)2=r2,a-2b-3=0,解得a=-1,b=-2,r2=10,故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
方法三:设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心坐标为-D2,-E2.由题意得-D2-2×-E2-3=0,4+9+2D-3E+F=0,4+25-2D-5E+F=0,
解得D=2,E=4,F=-5,故所求圆的方程为x2+y2+2x+4y-5=0,即(x+1)2+(y+2)2=10.
(2)若选(0,0),(4,0),(-1,1)三点,设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,把这三点的坐标分别代入可得F=0,42+4D+F=0,(-1)2+12-D+E+F=0,解得F=0,D=-4,E=-6,所以圆的方程为x2+y2-4x-6y=0.同理,若选(0,0),(4,0),(4,2)三点,则圆的方程为x2+y2-4x-2y=0.若选(0,0),(-1,1),(4,2)三点,则圆的方程为x2+y2-83x-143y=0.若选(4,0),(-1,1),(4,2)三点,则圆的方程为x2+y2-165x-2y-165=0.所以满足条件的圆的方程为x2+y2-4x-6y=0或x2+y2-4x-2y=0或x2+y2-83x-143y=0或x2+y2-165x-2y-165=0.
变式题 (1)(x-1)2+(y+1)2=5 (2)(x-1)2+(y-1)2=2(答案不唯一) (3)(x+1)2+(y+4)2=3 [解析] (1)方法一:设☉M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则2a+b-1=0,(3-a)2+b2=r2,a2+(1-b)2=r2,解得a=1,b=-1,r2=5,∴☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
方法二:设☉M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则M-D2,-E2,∴2·-D2+-E2-1=0,9+3D+F=0,1+E+F=0,解得D=-2,E=2,F=-3,∴☉M的方程为x2+y2-2x+2y-3=0,即(x-1)2+(y+1)2=5.
方法三:∵点M在直线2x+y-1=0上,∴可设点M为(a,1-2a),又点(3,0)和(0,1)均在☉M上,∴点M到点(3,0),(0,1)的距离相等,∴(a-3)2+(1-2a)2=a2+(-2a)2,即a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2,解得a=1,∴M(1,-1),☉M的半径R=12+(-2)2=5,∴☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
方法四:由题可知,以(3,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线的方程为y=3x-4,由y=3x-4,2x+y-1=0,解得x=1,y=-1,∴M(1,-1),∴☉M的半径R=5,故☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
(2)设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.因为A,B分别位于x轴的正半轴和y轴的正半轴上,AB为圆C的直径,所以原点在圆C上,即a2+b2=r2,又圆C与直线x+y=0相切,所以|a+b|2=r,可得r=2a=2b.取a=1,则b=1,r=2,此时圆C的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.(答案不唯一,形如(x-a)2+(y-a)2=2a2,a>0即可)
(3)圆(x-2)2+(y-1)2=3的圆心为(2,1),半径为3,设对称圆的圆心为(a,b),由题意得b-1a-2=53,3×a+22+5×b+12+6=0,
解得a=-1,b=-4,即对称圆的圆心为(-1,-4),又对称圆的半径也为3,所以对称圆的方程为(x+1)2+(y+4)2=3.
例2 [思路点拨] 根据yx的几何意义,结合图形可求得yx的最值,由此判断A,B;根据x2+y2的几何意义求其最值,即可判断C;利用三角换元,结合正弦函数的性质求x+y的最大值,即可判断D.
ABD [解析] 由实数x,y满足方程x2+y2-4x-2y+4=0,可得点(x,y)在圆(x-2)2+(y-1)2=1上,设圆心为C,作出圆C如图所示.yx表示点(x,y)与坐标原点O连线的斜率,设过坐标原点的圆的切线方程为y=kx,则|2k-1|k2+1=1,解得k=0或k=43,所以yx∈0,43,所以yxmax=43,yxmin=0,故A,B正确;x2+y2表示圆上的点(x,y)到坐标原点的距离的平方,圆上的点(x,y)到坐标原点的距离的最大值为|OC|+1,所以x2+y2的最大值为(|OC|+1)2,又|OC|=22+12,所以x2+y2的最大值为6+25,故C错误;因为x2+y2-4x-2y+4=0可化为(x-2)2+(y-1)2=1,所以可设x=2+cs θ,y=1+sin θ,所以x+y=2+cs θ+1+sin θ=3+2sinθ+π4,所以x+y的最大值为3+2,故D正确.故选ABD.
变式题 解:将方程x2+y2-8x-6y+21=0变形可得(x-4)2+(y-3)2=4,则实数对(x,y)表示以点C(4,3)为圆心,2为半径的圆上任意一点.
(1)根据题意,当x≠3时,p=y+1x-3的几何意义为圆上任意一点与点(3,-1)连线的斜率.
设Q(3,-1),过点Q的圆C的切线斜率为k,则切线方程为y+1=k(x-3),即kx-y-3k-1=0,则点C到切线的距离d=|4k-3-3k-1|1+k2=2,解得k=-4±2133,故p的取值范围为-∞,-4-2133∪-4+2133,+∞.
(2)由s=2x-y,得2x-y-s=0,该方程表示一条直线,
易知当直线和圆相切时,s取得最大值和最小值.
当直线与圆相切时,|5-s|1+4=2,解得s=5-25或s=5+25,则s的最小值为5-25,最大值为5+25.
(3)w=x2+y2-10x+2y+26=(x-5)2+(y+1)2,设t=(x-5)2+(y+1)2,则t的几何意义为圆C上任意一点与点(5,-1)间的距离,设N(5,-1),则|CN|=17,则有17-2≤t≤17+2,所以21-417≤w≤21+417,故w的取值范围为[21-417,21+417].
例3 [思路点拨] (1)思路一:设P(3+cs θ,4+sin θ),根据题中条件及辅助角公式可得m的最大值;思路二:根据圆心C到原点O(0,0)的距离为5,可得圆C上的点到原点O的距离的最大值为6,再由∠APB=90°,可得|OP|=m,可得m≤6,从而得到答案.(2)先求出向量的坐标表示,再利用向量数量积的坐标公式及圆的方程求解.
(1)B (2)0 [解析] (1)方法一:设点P的坐标为(x0,y0),由(x-3)2+(y-4)2=1,可设x0=3+csθ,y0=4+sinθ.∵∠APB=90°,∴PA·PB=0,可得(x0+m)(x0-m)+y02=0,∴m2=x02+y02=26+6cs θ+8sin θ=26+10sin(θ+φ)tanφ=34,∴4≤m≤6,∴m的最大值为6.故选B.
方法二:设O为坐标原点,连接OP,OC,在Rt△APB中,原点O为斜边的中点,|AB|=2m(m>0),∴m=|OP|≤|OC|+r(r为圆C的半径),又C(3,4),r=1,∴|OP|≤6,即m≤6.故选B.
(2)由题意知PA=(2-x,-y),PB=(-2-x,-y),所以PA·PB=x2+y2-4,因为点P(x,y)是圆上的点,所以其坐标满足方程x2+(y-3)2=1,即x2=-(y-3)2+1,所以PA·PB=-(y-3)2+1+y2-4=6y-12.由圆的方程为x2+(y-3)2=1,可知2≤y≤4,所以当y=2时,PA·PB的值最小,最小值为6×2-12=0.
变式题 (1)B (2)1-2 [解析] (1)方法一:易得|PA|2+|PB|2=4,可得|PA|+|PB|22≤|PA|2+|PB|22=2,当且仅当|PA|=|PB|=2时取等号,所以|PA|+|PB|≤22.故选B.
方法二:易得|PA|2+|PB|2=4,设∠PAB=θ0≤θ<π2,则|PA|=2cs θ,|PB|=2sin θ,所以|PA|+|PB|=2cs θ+2sin θ=22sinθ+π4,所以(|PA|+|PB|)max=22.故选B.
(2)因为|AB|=2,|OA|=|OB|=1,所以|OA|2+|OB|2=|AB|2,所以∠AOB=π2.以O为坐标原点,OA,OB所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系(OA,OB的方向分别为x,y轴正方向),则A(1,0),B(0,1),设C(x,y),则x2+y2=1,AC=(x-1,y),BC=(x,y-1),所以AC·BC=x(x-1)+y(y-1)=x2+y2-x-y=-x-y+1.设-x-y+1=t,即x+y+t-1=0.依题意,直线x+y+t-1=0与圆O有交点,所以|t-1|1+1≤1,解得1-2≤t≤1+2,所以AC·BC的最小值为1-2.
例4 [思路点拨] (1)设动点P的坐标为(x1,y1),根据已知条件建立方程,化简求解;(2)利用相关点法求解.
解:(1)设动点P的坐标为(x1,y1),
因为M(1,0),N(2,0),且|PN|=2|PM|,
所以(x1-2)2+y12=2·(x1-1)2+y12,整理得x12+y12=2,所以动点P的轨迹C的方程为x2+y2=2.
(2)设点Q的坐标为(x,y),点A的坐标为(x0,y0),
因为Q是线段AB上靠近点B的三等分点,
所以AQ=2QB,即(x-x0,y-y0)=2(6-x,-y),
解得x0=3x-12,y0=3y,又点A在轨迹C上运动,所以(3x-12)2+(3y)2=2,化简得y2+(x-4)2=29,
所以点Q的轨迹方程为y2+(x-4)2=29.
变式题 (1)C (2)BCD [解析] (1)因为A(-3,4),B(-3,1),动点P(x,y)满足|PA|=2|PB|,所以(x+3)2+(y-4)2=4(x+3)2+4(y-1)2,整理得(x+3)2+y2=4,(x-1)2+(y-t)2可以看成圆(x+3)2+y2=4上的动点P(x,y)与定直线x=1上的动点Q(1,t)的距离,其最小值为圆心M(-3,0)到直线x=1的距离减去圆的半径2,即|PQ|≥4-2=2,因此(x-1)2+(y-t)2的最小值是22=4.故选C.
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(进群送往届全部资料)(2)设P(x,y),由条件可得(x+4)2+y2=2(x-2)2+y2,即x2+y2-8x=0,所以C的方程为(x-4)2+y2=16,故A错误;由对称性可知存在D(12,0),E(6,0)满足条件,故B正确;PA·PO=(-4-x,-y)·(-x,-y)=x2+4x+y2=12x,PB·PO=(2-x,-y)·(-x,-y)=x2-2x+y2=6x,|PA|=(-4-x)2+(-y)2=4x+1,|PB|=(2-x)2+(-y)2=2x+1 ,所以PA·PO|PA||PO|=PB·PO|PB||PO|,
即cs∠APO=cs∠BPO,所以∠APO=∠BPO,故C正确;连接BQ,则kBQ=-3,线段BQ的垂直平分线l的斜率k=13,BQ的中点坐标为(1,3),则线段BQ的垂直平分线l的方程为y-3=13(x-1),即x-3y+8=0,圆C的圆心(4,0)到直线l的距离d=1210<4,所以直线l与圆C相交,故在C上存在点M,使得|MQ|=|MB|,故D正确.故选BCD.
【知识聚焦】
1.(x-a)2+(y-b)2=r2 (a,b) rx2+y2+Dx+Ey+F=0
2.(1)(x0-a)2+(y0-b)2>r2 (2)(x0-a)2+(y0-b)2=r2
(3)(x0-a)2+(y0-b)2
1.(1,2) 1 [解析] 由x2+y2-2x-4y+4=0,得(x-1)2+(y-2)2=1,所以圆心坐标为(1,2),半径为1.
2.(x-1)2+(y-1)2=2 x2+y2-2x-2y=0
[解析] ∵P(1,1)为圆心,且圆P经过原点,∴半径r=1+1=2,∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2,化为一般方程,可得x2+y2-2x-2y=0.
3.(x-5)2+(y-6)2=10 [解析] 由题意得,所求圆的圆心为线段AB的中点4+62,3+92,即(5,6),半径为|AB|2=(6-4)2+(3-9)22=10,所以所求圆的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=10.
4.(-3,-2)∪(2,+∞) [解析] 由题意,得m2+(-2)2-8>0,12+22+m-2×2+2>0,解得-3
5.(x-2)2+(y+2)2=4或(x+2)2+(y-2)2=4 [解析] 由题意知圆心的坐标为(2,-2)或(-2,2),所以圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=4或(x+2)2+(y-2)2=4.
6.-4 [解析] 因为点P(x,y)为圆x2+y2=1上的动点,所以x2+4y=1-y2+4y=-(y-2)2+5.因为y∈[-1,1],所以当y=-1时,x2+4y取得最小值-4.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)思路一:设圆心为C,根据圆心C在直线x-2y-3=0上,设出圆心C的坐标,利用|CA|=|CB|构造关于点C坐标的方程求解;思路二:设出圆的标准方程,将圆心坐标代入x-2y-3=0,将点A,B的坐标分别代入圆的方程,然后组成方程组求解;思路三:设出圆的一般方程,求出圆心坐标,再代入x-2y-3=0,将点A,B的坐标分别代入圆的方程,然后组成方程组求解.(2)选其中的三点,利用待定系数法即可求出圆的方程.
(1)(x+1)2+(y+2)2=10 (2)x2+y2-4x-6y=0或x2+y2-4x-2y=0或x2+y2-83x-143y=0或x2+y2-165x-2y-165=0 [解析] (1)方法一:设点C为圆心,因为点C在直线x-2y-3=0上,所以可设点C的坐标为(2a+3,a).又该圆经过A,B两点,所以|CA|=|CB|,即(2a+3-2)2+(a+3)2=(2a+3+2)2+(a+5)2,解得a=-2,所以圆心C的坐标为(-1,-2),半径r=10,故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
方法二:设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由题意得(2-a)2+(-3-b)2=r2,(-2-a)2+(-5-b)2=r2,a-2b-3=0,解得a=-1,b=-2,r2=10,故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
方法三:设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心坐标为-D2,-E2.由题意得-D2-2×-E2-3=0,4+9+2D-3E+F=0,4+25-2D-5E+F=0,
解得D=2,E=4,F=-5,故所求圆的方程为x2+y2+2x+4y-5=0,即(x+1)2+(y+2)2=10.
(2)若选(0,0),(4,0),(-1,1)三点,设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,把这三点的坐标分别代入可得F=0,42+4D+F=0,(-1)2+12-D+E+F=0,解得F=0,D=-4,E=-6,所以圆的方程为x2+y2-4x-6y=0.同理,若选(0,0),(4,0),(4,2)三点,则圆的方程为x2+y2-4x-2y=0.若选(0,0),(-1,1),(4,2)三点,则圆的方程为x2+y2-83x-143y=0.若选(4,0),(-1,1),(4,2)三点,则圆的方程为x2+y2-165x-2y-165=0.所以满足条件的圆的方程为x2+y2-4x-6y=0或x2+y2-4x-2y=0或x2+y2-83x-143y=0或x2+y2-165x-2y-165=0.
变式题 (1)(x-1)2+(y+1)2=5 (2)(x-1)2+(y-1)2=2(答案不唯一) (3)(x+1)2+(y+4)2=3 [解析] (1)方法一:设☉M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则2a+b-1=0,(3-a)2+b2=r2,a2+(1-b)2=r2,解得a=1,b=-1,r2=5,∴☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
方法二:设☉M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则M-D2,-E2,∴2·-D2+-E2-1=0,9+3D+F=0,1+E+F=0,解得D=-2,E=2,F=-3,∴☉M的方程为x2+y2-2x+2y-3=0,即(x-1)2+(y+1)2=5.
方法三:∵点M在直线2x+y-1=0上,∴可设点M为(a,1-2a),又点(3,0)和(0,1)均在☉M上,∴点M到点(3,0),(0,1)的距离相等,∴(a-3)2+(1-2a)2=a2+(-2a)2,即a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2,解得a=1,∴M(1,-1),☉M的半径R=12+(-2)2=5,∴☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
方法四:由题可知,以(3,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线的方程为y=3x-4,由y=3x-4,2x+y-1=0,解得x=1,y=-1,∴M(1,-1),∴☉M的半径R=5,故☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
(2)设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.因为A,B分别位于x轴的正半轴和y轴的正半轴上,AB为圆C的直径,所以原点在圆C上,即a2+b2=r2,又圆C与直线x+y=0相切,所以|a+b|2=r,可得r=2a=2b.取a=1,则b=1,r=2,此时圆C的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.(答案不唯一,形如(x-a)2+(y-a)2=2a2,a>0即可)
(3)圆(x-2)2+(y-1)2=3的圆心为(2,1),半径为3,设对称圆的圆心为(a,b),由题意得b-1a-2=53,3×a+22+5×b+12+6=0,
解得a=-1,b=-4,即对称圆的圆心为(-1,-4),又对称圆的半径也为3,所以对称圆的方程为(x+1)2+(y+4)2=3.
例2 [思路点拨] 根据yx的几何意义,结合图形可求得yx的最值,由此判断A,B;根据x2+y2的几何意义求其最值,即可判断C;利用三角换元,结合正弦函数的性质求x+y的最大值,即可判断D.
ABD [解析] 由实数x,y满足方程x2+y2-4x-2y+4=0,可得点(x,y)在圆(x-2)2+(y-1)2=1上,设圆心为C,作出圆C如图所示.yx表示点(x,y)与坐标原点O连线的斜率,设过坐标原点的圆的切线方程为y=kx,则|2k-1|k2+1=1,解得k=0或k=43,所以yx∈0,43,所以yxmax=43,yxmin=0,故A,B正确;x2+y2表示圆上的点(x,y)到坐标原点的距离的平方,圆上的点(x,y)到坐标原点的距离的最大值为|OC|+1,所以x2+y2的最大值为(|OC|+1)2,又|OC|=22+12,所以x2+y2的最大值为6+25,故C错误;因为x2+y2-4x-2y+4=0可化为(x-2)2+(y-1)2=1,所以可设x=2+cs θ,y=1+sin θ,所以x+y=2+cs θ+1+sin θ=3+2sinθ+π4,所以x+y的最大值为3+2,故D正确.故选ABD.
变式题 解:将方程x2+y2-8x-6y+21=0变形可得(x-4)2+(y-3)2=4,则实数对(x,y)表示以点C(4,3)为圆心,2为半径的圆上任意一点.
(1)根据题意,当x≠3时,p=y+1x-3的几何意义为圆上任意一点与点(3,-1)连线的斜率.
设Q(3,-1),过点Q的圆C的切线斜率为k,则切线方程为y+1=k(x-3),即kx-y-3k-1=0,则点C到切线的距离d=|4k-3-3k-1|1+k2=2,解得k=-4±2133,故p的取值范围为-∞,-4-2133∪-4+2133,+∞.
(2)由s=2x-y,得2x-y-s=0,该方程表示一条直线,
易知当直线和圆相切时,s取得最大值和最小值.
当直线与圆相切时,|5-s|1+4=2,解得s=5-25或s=5+25,则s的最小值为5-25,最大值为5+25.
(3)w=x2+y2-10x+2y+26=(x-5)2+(y+1)2,设t=(x-5)2+(y+1)2,则t的几何意义为圆C上任意一点与点(5,-1)间的距离,设N(5,-1),则|CN|=17,则有17-2≤t≤17+2,所以21-417≤w≤21+417,故w的取值范围为[21-417,21+417].
例3 [思路点拨] (1)思路一:设P(3+cs θ,4+sin θ),根据题中条件及辅助角公式可得m的最大值;思路二:根据圆心C到原点O(0,0)的距离为5,可得圆C上的点到原点O的距离的最大值为6,再由∠APB=90°,可得|OP|=m,可得m≤6,从而得到答案.(2)先求出向量的坐标表示,再利用向量数量积的坐标公式及圆的方程求解.
(1)B (2)0 [解析] (1)方法一:设点P的坐标为(x0,y0),由(x-3)2+(y-4)2=1,可设x0=3+csθ,y0=4+sinθ.∵∠APB=90°,∴PA·PB=0,可得(x0+m)(x0-m)+y02=0,∴m2=x02+y02=26+6cs θ+8sin θ=26+10sin(θ+φ)tanφ=34,∴4≤m≤6,∴m的最大值为6.故选B.
方法二:设O为坐标原点,连接OP,OC,在Rt△APB中,原点O为斜边的中点,|AB|=2m(m>0),∴m=|OP|≤|OC|+r(r为圆C的半径),又C(3,4),r=1,∴|OP|≤6,即m≤6.故选B.
(2)由题意知PA=(2-x,-y),PB=(-2-x,-y),所以PA·PB=x2+y2-4,因为点P(x,y)是圆上的点,所以其坐标满足方程x2+(y-3)2=1,即x2=-(y-3)2+1,所以PA·PB=-(y-3)2+1+y2-4=6y-12.由圆的方程为x2+(y-3)2=1,可知2≤y≤4,所以当y=2时,PA·PB的值最小,最小值为6×2-12=0.
变式题 (1)B (2)1-2 [解析] (1)方法一:易得|PA|2+|PB|2=4,可得|PA|+|PB|22≤|PA|2+|PB|22=2,当且仅当|PA|=|PB|=2时取等号,所以|PA|+|PB|≤22.故选B.
方法二:易得|PA|2+|PB|2=4,设∠PAB=θ0≤θ<π2,则|PA|=2cs θ,|PB|=2sin θ,所以|PA|+|PB|=2cs θ+2sin θ=22sinθ+π4,所以(|PA|+|PB|)max=22.故选B.
(2)因为|AB|=2,|OA|=|OB|=1,所以|OA|2+|OB|2=|AB|2,所以∠AOB=π2.以O为坐标原点,OA,OB所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系(OA,OB的方向分别为x,y轴正方向),则A(1,0),B(0,1),设C(x,y),则x2+y2=1,AC=(x-1,y),BC=(x,y-1),所以AC·BC=x(x-1)+y(y-1)=x2+y2-x-y=-x-y+1.设-x-y+1=t,即x+y+t-1=0.依题意,直线x+y+t-1=0与圆O有交点,所以|t-1|1+1≤1,解得1-2≤t≤1+2,所以AC·BC的最小值为1-2.
例4 [思路点拨] (1)设动点P的坐标为(x1,y1),根据已知条件建立方程,化简求解;(2)利用相关点法求解.
解:(1)设动点P的坐标为(x1,y1),
因为M(1,0),N(2,0),且|PN|=2|PM|,
所以(x1-2)2+y12=2·(x1-1)2+y12,整理得x12+y12=2,所以动点P的轨迹C的方程为x2+y2=2.
(2)设点Q的坐标为(x,y),点A的坐标为(x0,y0),
因为Q是线段AB上靠近点B的三等分点,
所以AQ=2QB,即(x-x0,y-y0)=2(6-x,-y),
解得x0=3x-12,y0=3y,又点A在轨迹C上运动,所以(3x-12)2+(3y)2=2,化简得y2+(x-4)2=29,
所以点Q的轨迹方程为y2+(x-4)2=29.
变式题 (1)C (2)BCD [解析] (1)因为A(-3,4),B(-3,1),动点P(x,y)满足|PA|=2|PB|,所以(x+3)2+(y-4)2=4(x+3)2+4(y-1)2,整理得(x+3)2+y2=4,(x-1)2+(y-t)2可以看成圆(x+3)2+y2=4上的动点P(x,y)与定直线x=1上的动点Q(1,t)的距离,其最小值为圆心M(-3,0)到直线x=1的距离减去圆的半径2,即|PQ|≥4-2=2,因此(x-1)2+(y-t)2的最小值是22=4.故选C.
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(进群送往届全部资料)(2)设P(x,y),由条件可得(x+4)2+y2=2(x-2)2+y2,即x2+y2-8x=0,所以C的方程为(x-4)2+y2=16,故A错误;由对称性可知存在D(12,0),E(6,0)满足条件,故B正确;PA·PO=(-4-x,-y)·(-x,-y)=x2+4x+y2=12x,PB·PO=(2-x,-y)·(-x,-y)=x2-2x+y2=6x,|PA|=(-4-x)2+(-y)2=4x+1,|PB|=(2-x)2+(-y)2=2x+1 ,所以PA·PO|PA||PO|=PB·PO|PB||PO|,
即cs∠APO=cs∠BPO,所以∠APO=∠BPO,故C正确;连接BQ,则kBQ=-3,线段BQ的垂直平分线l的斜率k=13,BQ的中点坐标为(1,3),则线段BQ的垂直平分线l的方程为y-3=13(x-1),即x-3y+8=0,圆C的圆心(4,0)到直线l的距离d=1210<4,所以直线l与圆C相交,故在C上存在点M,使得|MQ|=|MB|,故D正确.故选BCD.
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