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05 第51讲 椭圆 01 第1课时 椭圆及其性质 【答案】听课 高考数学二轮复习练习
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【知识聚焦】
1.椭圆 焦点 焦距 (1)a>c (2)a=c (3)a2.-a≤x≤a -b≤y≤b -b≤x≤b -a≤y≤a 坐标轴
(0,0) (-a,0) (a,0) (0,-b) (0,b) (0,-a)
(0,a) (-b,0) (b,0) 2a 2b 2c (0,1) a2-b2
3.(1)没有 一个 两个 (2)Δ>0 Δ=0 Δ<0
4.|y1-y2| |x1-x2|
【对点演练】
1.14 36 [解析] 根据椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,由a2=100,得a=10,所以6+|PF2|=20,故|PF2|=14.由c2=a2-b2=100-36=64,得c=8,所以△PF1F2 的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=20+16=36.
2.8 32 (0,-23),(0,23) [解析] 椭圆方程可化为x24+y216=1,则a=4,b=2,c=23,所以椭圆的长轴长为8,离心率为32,焦点坐标为(0,-23),(0,23).
3.x225+y29=1 [解析] 设d是点M到直线l:x=254的距离,则|MF|d=45,即(x-4)2+y2254-x=45,整理得9x2+25y2=225,即x225+y29=1.
4.4385 [解析] 由y=x+1,x2+4y2=16,得5x2+8x-12=0,设此方程的两实根为x1,x2,所以x1+x2=-85,x1x2=-125,故所得弦长为1+12|x1-x2|=1+1·(x1+x2)2-4x1x2=2×6425+485=2×30425=4385.
5.线段 [解析] 由题意知|MF1|+|MF2|=12,|F1F2|=12,即|MF1|+|MF2|=|F1F2|,所以点M的轨迹是线段.
6.x24+y23=1或y24+x23=1 [解析] ∵椭圆C的中心在原点,其长轴长为4,焦距为2,∴a=2,c=1,∴b=a2-c2=3.当椭圆的焦点在x轴上时,C的方程为x24+y23=1;当椭圆的焦点在y轴上时,C的方程为y24+x23=1.
7.1 [解析] 设P(x,y),依题意得F1(-2,0),F2(2,0),则PF1·PF2=(-2-x)(2-x)+y2=x2+y2-4=49x2+1,因为0≤x2≤9,所以1≤49x2+1≤5,所以PF1·PF2的最小值是1.
第1课时 椭圆及其性质
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)根据圆与圆的位置关系,得到圆心距之间的关系,由定义可知动点轨迹为椭圆,求出方程即可.(2)思路一:根据焦点三角形面积公式求出△PF1F2的面积,即可得到点P的坐标,从而得出|OP|的值;思路二:利用椭圆的定义以及余弦定理求出|PF1||PF2|,|PF1|2+|PF2|2的值,再结合中线的向量公式以及数量积即可得解;思路三:利用椭圆的定义以及余弦定理求出|PF1|2+|PF2|2的值,然后根据三角形中线定理即可得出|OP|的值.
(1)x29+y28=1 (2)B [解析] (1)圆F1:(x+1)2+y2=1的圆心为F1(-1,0),半径r1=1,圆F2:(x-1)2+y2=25的圆心为F2(1,0),半径r2=5.设动圆C的圆心为C(x,y),半径为R,由题得|F1C|=R+1,|F2C|=5-R,∴|F1C|+|F2C|=6>|F1F2|=2,∴圆心C的轨迹是椭圆,设其标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),则2a=6,2c=2,可得a=3,c=1,∴b2=a2-c2=8,∴动圆圆心C的轨迹方程为x29+y28=1.
(2)方法一:设∠F1PF2=2θ,0<θ<π2,则S△PF1F2=b2tan∠F1PF22=b2tan θ.
由cs∠F1PF2=cs 2θ=cs2θ-sin2θcs2θ+sin2θ=1-tan2θ1+tan2θ=35,可得tan θ=12.由椭圆方程可知,a2=9,b2=6,c2=a2-b2=3,所以S△PF1F2=12×|F1F2|×|yP|=12×23×|yP|=6×12,所以yP2=3,则xP2=9×1-36=92,故|OP|=xP2+yP2=3+92=302.故选B.
方法二:由题可知,|PF1|+|PF2|=2a=6①,|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cs∠F1PF2=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2-65|PF1||PF2|=12②,联立①②,可得|PF1||PF2|=152,|PF1|2+|PF2|2=21,又PO=12(PF1+PF2),所以|OP|=|PO|=12|PF1+PF2|,即|OP|=12|PF1+PF2|=12|PF1|2+2PF1·PF2+|PF2|2=12×21+2×35×152=302.故选B.
方法三:由题可知,|PF1|+|PF2|=2a=6①,|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cs∠F1PF2=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2-65|PF1||PF2|=12②,联立①②,可得|PF1|2+|PF2|2=21,由三角形中线定理可知,(2|OP|)2+|F1F2|2=2(|PF1|2+|PF2|2)=42,易知|F1F2|=23,解得|OP|=302.故选B.
变式题 (1)D (2)15 [解析] (1)圆(x+1)2+y2=25的圆心为C(-1,0),半径r=5.∵M为AQ的垂直平分线上一点,∴|AM |=|MQ|,∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5>|AC|=2,故M的轨迹是以定点C,A为焦点的椭圆,且a=52,c=1,则b2=a2-c2=214,∴点M的轨迹方程为4x225+4y221=1.故选D.
(2)由题得2a=6,2c=4,F1(-2,0),F2(2,0),故以F1F2为直径的圆O的方程为x2+y2=4,圆O的半径为2,则|F1O|=|OA|=2.因为OA∥PF2,所以|F1O||F1F2|=|OA||F2P|=12,所以|F2P|=4,又点P在椭圆C上,所以|F1P|+|F2P|=2a=6,则|F1P|=2.在△PF1F2中,由余弦定理得cs∠PF1F2=|PF1|2+|F1F2|2-|PF2|22|PF1|·|F1F2|=22+42-422×2×4=14,故sin∠PF1F2=1-142=154,
则S△PF1F2=12|PF1|·|F1F2|sin∠PF1F2=12×2×4×154=15.
例2 [思路点拨] (1)由已知条件求出椭圆的长半轴长和短半轴长,分焦点在x轴、y轴两种情况即可求得椭圆的标准方程.(2)先确定椭圆焦点的位置,再求出a,b的值即可得椭圆的标准方程.
(1)x212+y29=1或x29+y212=1 (2)y24+x23=1
[解析] (1)设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,由题得a=2c,a-c=3,解得a=23,c=3,∴b2=a2-c2=9.若椭圆的焦点在y轴上,则椭圆的标准方程为x29+y212=1;若椭圆的焦点在x轴上,则椭圆的标准方程为x212+y29=1.∴椭圆的标准方程为x212+y29=1或x29+y212=1.
(2)抛物线方程化为标准方程为x2=4y,抛物线焦点坐标为(0,1),∵抛物线焦点与椭圆C的一个焦点重合,∴椭圆的焦点在y轴上,设椭圆方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0),则c=1,2a=4,∴a=2,∴b2=a2-c2=3,∴椭圆C的标准方程为y24+x23=1.
变式题 (1)CD (2)BD (3)B [解析] (1)对于A,若曲线C为椭圆,则4-k>0,k-1>0,4-k≠k-1,解得14-k,4-k>0,解得2.50,解得1(2)因为椭圆的长轴长为10,其焦点到中心的距离为4,所以a=5,c=4,所以b2=25-16=9.当椭圆的焦点在x轴上时,椭圆的标准方程为x225+y29=1;当椭圆的焦点在y轴上时,椭圆的标准方程为y225+x29=1.故选BD.
(3)由离心率e=ca=1-b2a2=13,得b2a2=89,即b2=89a2.由题意知A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),所以BA1=(-a,-b),BA2=(a,-b),因为BA1·BA2=-1,所以-a2+b2=-1,将b2=89a2代入,得a2=9,b2=8,故椭圆C的方程为x29+y28=1.故选B.
例3 [思路点拨] (1)思路一:由直线AP,AQ的斜率之积为14,可得b2a2的值,由e=ca=1-b2a2即可求出离心率;思路二:设椭圆的右顶点为B,由点对称得直线BP,AQ关于y轴对称,得kAP·kBP=-14,进而得解.(2)连接NF2,设|NF1|=n,结合椭圆的定义,在Rt△MNF2中利用勾股定理求得n=a3,在Rt△MF1F2中利用勾股定理求得36c2=20a2,结合椭圆离心率的取值范围即可得解.(3)由正弦定理及椭圆定义得ca=sin∠PF2F1sin∠PF1F2=|PF1||PF2|=|PF1|2a-|PF1| ,得|PF1|=2aca+c,结合|PF1|∈(a-c,a+c),得关于e的不等式,结合e∈(0,1)求出e的取值范围.
(1)A (2)53 (3)B [解析] (1)方法一:由题意得A(-a,0),设P(m,n),则Q(-m,n),kAP=nm+a,kAQ=n-m+a,所以kAP·kAQ=nm+a·n-m+a=n2-m2+a2=14.由m2a2+n2b2=1,得n2a2-m2=b2a2,所以b2a2=14,所以椭圆C的离心率e=ca=1-b2a2=32.故选A.
方法二:设椭圆C的右顶点为B, 因为点P,Q均在C上,且关于y轴对称,所以直线BP,AQ关于y轴对称, 所以kAP·kAQ=-kAP·kBP=14.设P(x0,y0),由题得A(-a,0),B(a,0),则kAP·kBP=y0x0+a·y0x0-a=1-x02a2b2x02-a2=-b2a2=e2-1=-14,所以e2=34,即e=32.故选A.
(2)连接NF2,设|NF1|=n,则|MF1|=2n,|MF2|=2a-2n,|NF2|=2a-n,在Rt△MNF2中,(3n)2+(2a-2n)2=(2a-n)2,即9n2+4a2-8an+4n2=4a2-4an+n2,即12n2=4an,∴n=a3,∴|MF1|=2a3,|MF2|=4a3,在Rt△MF1F2中,4c2=4a29+16a29,即36c2=20a2,∴e2=c2a2=2036=59,又e∈(0,1),∴e=53.
(3)由asin∠PF1F2=csin∠PF2F1,得ca=sin∠PF2F1sin∠PF1F2=|PF1||PF2|=|PF1|2a-|PF1| ,得|PF1|=2aca+c,∵|PF1|∈(a-c,a+c),∴a-c<2aca+c0,又e∈(0,1),∴e∈(2-1,1).故选B.
例4 [思路点拨] (1)由n2=2-23m2结合两点间的距离公式、二次函数的单调性得出m的值.(2)设椭圆的右焦点为F,根据椭圆的定义得|PB|+|PF|=8,整理可得|PA|+|PB|=|PA|-|PF|+8≤|AF|+8,即可得解.
(1)D (2)9 [解析] (1)因为点P(m,n)在椭圆x23+y22=1上,所以m23+n22=1(-3≤m≤3),则n2=2-23m2,所以|PQ|=m-122+n2=m-122+2-23m2=13m2-m+94=13m-322+32,则当m=32时,|PQ|最小.故选D.
(2)根据题意可得a=4,b=7,c=3,则点B为椭圆的左焦点,设椭圆的右焦点为F,则F(3,0),∴|PB|+|PF|=8,则|PB|=8-|PF|.∵3216+127<1,∴点A在椭圆内部,∴|PA|+|PB|=|PA|-|PF|+8≤|AF|+8=9,当且仅当点P在AF的延长线上时,等号成立,故|PA|+|PB|的最大值为9.
【应用演练】
1.A [解析] 由题可得e2=32,又e2=3e1,所以e1=12,即a2-1a2=14,解得a2=43,所以a=233.故选A.
2.B [解析] 因为椭圆的离心率e=ca=c2a2=a2-b2a2=1-b2a2=1-2b2a2,所以椭圆的长轴长与短轴长的比值越大,离心率越大.由139>107>6445,得e1>e3>e2.故选B.
3.B [解析] 由|MF2|+|MN|+|NF2|=4a,|MF2|+|NF2|=2|MN|,得|MN|=4a3,设d为公差,则|MF2|=4a3-d,|NF2|=4a3+d,在△MF2N中,由余弦定理得4a3-d2+4a3+d2-4a32=24a3-d4a3+dcsπ3,解得d=0,∴△MF2N为等边三角形.∵|MF1|=2a-|MF2|=2a3,∠F1MF2=π3,∴|F1F2|=233a=2c,解得e=33.故选B.
4.D [解析] 方法一:∵tan∠PBA=3tan∠QBA,∴kBP=3kBQ,又kBP·kAP=-1,kAQ·kBQ=-b2a2,kAP=kAQ,∴b2a2=13,∴e2=c2a2=1-b2a2=23,故e=63.故选D.
方法二:考虑到A,B关于原点对称,则有kPA·kQB=e2-1①.∵PA⊥PB,∴kPA·kPB=-1②,①②两式相除得kQBkPB=1-e2,由tan∠PBA=3tan∠QBA,得kPBkQB=3,故1-e2=13,可得e=63.故选D.
方法三:设Q(acs θ,bsin θ),则tan∠PAB=tan∠QAB=bsinθacsθ+a,tan∠QBA=bsinθa-acsθ,
两式相乘得tan∠PAB·tan∠QBA=b2a2①.因为∠APB=π2,所以∠PAB+∠PBA=π2,
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5.22,1 [解析] 由题知,以F1F2为直径的圆与椭圆有交点,所以c≥b,所以c2≥b2=a2-c2,所以ca≥22,又e∈(0,1),所以e∈22,1.
6.32 [解析] 由题得a=5,b=4,c=3,∴△F1PF2的周长L=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=16.
∵△F1PF2内切圆的半径r=2S△F1PF2L,∴当S△F1PF2取得最大值时,r取得最大值,显然当P为短轴端点时,S△F1PF2取得最大值,此时S△F1PF2=12×b×2c=bc=12,则r=2S△F1PF2L=32.
【知识聚焦】
1.椭圆 焦点 焦距 (1)a>c (2)a=c (3)a
(0,0) (-a,0) (a,0) (0,-b) (0,b) (0,-a)
(0,a) (-b,0) (b,0) 2a 2b 2c (0,1) a2-b2
3.(1)没有 一个 两个 (2)Δ>0 Δ=0 Δ<0
4.|y1-y2| |x1-x2|
【对点演练】
1.14 36 [解析] 根据椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,由a2=100,得a=10,所以6+|PF2|=20,故|PF2|=14.由c2=a2-b2=100-36=64,得c=8,所以△PF1F2 的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=20+16=36.
2.8 32 (0,-23),(0,23) [解析] 椭圆方程可化为x24+y216=1,则a=4,b=2,c=23,所以椭圆的长轴长为8,离心率为32,焦点坐标为(0,-23),(0,23).
3.x225+y29=1 [解析] 设d是点M到直线l:x=254的距离,则|MF|d=45,即(x-4)2+y2254-x=45,整理得9x2+25y2=225,即x225+y29=1.
4.4385 [解析] 由y=x+1,x2+4y2=16,得5x2+8x-12=0,设此方程的两实根为x1,x2,所以x1+x2=-85,x1x2=-125,故所得弦长为1+12|x1-x2|=1+1·(x1+x2)2-4x1x2=2×6425+485=2×30425=4385.
5.线段 [解析] 由题意知|MF1|+|MF2|=12,|F1F2|=12,即|MF1|+|MF2|=|F1F2|,所以点M的轨迹是线段.
6.x24+y23=1或y24+x23=1 [解析] ∵椭圆C的中心在原点,其长轴长为4,焦距为2,∴a=2,c=1,∴b=a2-c2=3.当椭圆的焦点在x轴上时,C的方程为x24+y23=1;当椭圆的焦点在y轴上时,C的方程为y24+x23=1.
7.1 [解析] 设P(x,y),依题意得F1(-2,0),F2(2,0),则PF1·PF2=(-2-x)(2-x)+y2=x2+y2-4=49x2+1,因为0≤x2≤9,所以1≤49x2+1≤5,所以PF1·PF2的最小值是1.
第1课时 椭圆及其性质
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)根据圆与圆的位置关系,得到圆心距之间的关系,由定义可知动点轨迹为椭圆,求出方程即可.(2)思路一:根据焦点三角形面积公式求出△PF1F2的面积,即可得到点P的坐标,从而得出|OP|的值;思路二:利用椭圆的定义以及余弦定理求出|PF1||PF2|,|PF1|2+|PF2|2的值,再结合中线的向量公式以及数量积即可得解;思路三:利用椭圆的定义以及余弦定理求出|PF1|2+|PF2|2的值,然后根据三角形中线定理即可得出|OP|的值.
(1)x29+y28=1 (2)B [解析] (1)圆F1:(x+1)2+y2=1的圆心为F1(-1,0),半径r1=1,圆F2:(x-1)2+y2=25的圆心为F2(1,0),半径r2=5.设动圆C的圆心为C(x,y),半径为R,由题得|F1C|=R+1,|F2C|=5-R,∴|F1C|+|F2C|=6>|F1F2|=2,∴圆心C的轨迹是椭圆,设其标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),则2a=6,2c=2,可得a=3,c=1,∴b2=a2-c2=8,∴动圆圆心C的轨迹方程为x29+y28=1.
(2)方法一:设∠F1PF2=2θ,0<θ<π2,则S△PF1F2=b2tan∠F1PF22=b2tan θ.
由cs∠F1PF2=cs 2θ=cs2θ-sin2θcs2θ+sin2θ=1-tan2θ1+tan2θ=35,可得tan θ=12.由椭圆方程可知,a2=9,b2=6,c2=a2-b2=3,所以S△PF1F2=12×|F1F2|×|yP|=12×23×|yP|=6×12,所以yP2=3,则xP2=9×1-36=92,故|OP|=xP2+yP2=3+92=302.故选B.
方法二:由题可知,|PF1|+|PF2|=2a=6①,|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cs∠F1PF2=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2-65|PF1||PF2|=12②,联立①②,可得|PF1||PF2|=152,|PF1|2+|PF2|2=21,又PO=12(PF1+PF2),所以|OP|=|PO|=12|PF1+PF2|,即|OP|=12|PF1+PF2|=12|PF1|2+2PF1·PF2+|PF2|2=12×21+2×35×152=302.故选B.
方法三:由题可知,|PF1|+|PF2|=2a=6①,|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cs∠F1PF2=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2-65|PF1||PF2|=12②,联立①②,可得|PF1|2+|PF2|2=21,由三角形中线定理可知,(2|OP|)2+|F1F2|2=2(|PF1|2+|PF2|2)=42,易知|F1F2|=23,解得|OP|=302.故选B.
变式题 (1)D (2)15 [解析] (1)圆(x+1)2+y2=25的圆心为C(-1,0),半径r=5.∵M为AQ的垂直平分线上一点,∴|AM |=|MQ|,∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5>|AC|=2,故M的轨迹是以定点C,A为焦点的椭圆,且a=52,c=1,则b2=a2-c2=214,∴点M的轨迹方程为4x225+4y221=1.故选D.
(2)由题得2a=6,2c=4,F1(-2,0),F2(2,0),故以F1F2为直径的圆O的方程为x2+y2=4,圆O的半径为2,则|F1O|=|OA|=2.因为OA∥PF2,所以|F1O||F1F2|=|OA||F2P|=12,所以|F2P|=4,又点P在椭圆C上,所以|F1P|+|F2P|=2a=6,则|F1P|=2.在△PF1F2中,由余弦定理得cs∠PF1F2=|PF1|2+|F1F2|2-|PF2|22|PF1|·|F1F2|=22+42-422×2×4=14,故sin∠PF1F2=1-142=154,
则S△PF1F2=12|PF1|·|F1F2|sin∠PF1F2=12×2×4×154=15.
例2 [思路点拨] (1)由已知条件求出椭圆的长半轴长和短半轴长,分焦点在x轴、y轴两种情况即可求得椭圆的标准方程.(2)先确定椭圆焦点的位置,再求出a,b的值即可得椭圆的标准方程.
(1)x212+y29=1或x29+y212=1 (2)y24+x23=1
[解析] (1)设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,由题得a=2c,a-c=3,解得a=23,c=3,∴b2=a2-c2=9.若椭圆的焦点在y轴上,则椭圆的标准方程为x29+y212=1;若椭圆的焦点在x轴上,则椭圆的标准方程为x212+y29=1.∴椭圆的标准方程为x212+y29=1或x29+y212=1.
(2)抛物线方程化为标准方程为x2=4y,抛物线焦点坐标为(0,1),∵抛物线焦点与椭圆C的一个焦点重合,∴椭圆的焦点在y轴上,设椭圆方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0),则c=1,2a=4,∴a=2,∴b2=a2-c2=3,∴椭圆C的标准方程为y24+x23=1.
变式题 (1)CD (2)BD (3)B [解析] (1)对于A,若曲线C为椭圆,则4-k>0,k-1>0,4-k≠k-1,解得1
(3)由离心率e=ca=1-b2a2=13,得b2a2=89,即b2=89a2.由题意知A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),所以BA1=(-a,-b),BA2=(a,-b),因为BA1·BA2=-1,所以-a2+b2=-1,将b2=89a2代入,得a2=9,b2=8,故椭圆C的方程为x29+y28=1.故选B.
例3 [思路点拨] (1)思路一:由直线AP,AQ的斜率之积为14,可得b2a2的值,由e=ca=1-b2a2即可求出离心率;思路二:设椭圆的右顶点为B,由点对称得直线BP,AQ关于y轴对称,得kAP·kBP=-14,进而得解.(2)连接NF2,设|NF1|=n,结合椭圆的定义,在Rt△MNF2中利用勾股定理求得n=a3,在Rt△MF1F2中利用勾股定理求得36c2=20a2,结合椭圆离心率的取值范围即可得解.(3)由正弦定理及椭圆定义得ca=sin∠PF2F1sin∠PF1F2=|PF1||PF2|=|PF1|2a-|PF1| ,得|PF1|=2aca+c,结合|PF1|∈(a-c,a+c),得关于e的不等式,结合e∈(0,1)求出e的取值范围.
(1)A (2)53 (3)B [解析] (1)方法一:由题意得A(-a,0),设P(m,n),则Q(-m,n),kAP=nm+a,kAQ=n-m+a,所以kAP·kAQ=nm+a·n-m+a=n2-m2+a2=14.由m2a2+n2b2=1,得n2a2-m2=b2a2,所以b2a2=14,所以椭圆C的离心率e=ca=1-b2a2=32.故选A.
方法二:设椭圆C的右顶点为B, 因为点P,Q均在C上,且关于y轴对称,所以直线BP,AQ关于y轴对称, 所以kAP·kAQ=-kAP·kBP=14.设P(x0,y0),由题得A(-a,0),B(a,0),则kAP·kBP=y0x0+a·y0x0-a=1-x02a2b2x02-a2=-b2a2=e2-1=-14,所以e2=34,即e=32.故选A.
(2)连接NF2,设|NF1|=n,则|MF1|=2n,|MF2|=2a-2n,|NF2|=2a-n,在Rt△MNF2中,(3n)2+(2a-2n)2=(2a-n)2,即9n2+4a2-8an+4n2=4a2-4an+n2,即12n2=4an,∴n=a3,∴|MF1|=2a3,|MF2|=4a3,在Rt△MF1F2中,4c2=4a29+16a29,即36c2=20a2,∴e2=c2a2=2036=59,又e∈(0,1),∴e=53.
(3)由asin∠PF1F2=csin∠PF2F1,得ca=sin∠PF2F1sin∠PF1F2=|PF1||PF2|=|PF1|2a-|PF1| ,得|PF1|=2aca+c,∵|PF1|∈(a-c,a+c),∴a-c<2aca+c
例4 [思路点拨] (1)由n2=2-23m2结合两点间的距离公式、二次函数的单调性得出m的值.(2)设椭圆的右焦点为F,根据椭圆的定义得|PB|+|PF|=8,整理可得|PA|+|PB|=|PA|-|PF|+8≤|AF|+8,即可得解.
(1)D (2)9 [解析] (1)因为点P(m,n)在椭圆x23+y22=1上,所以m23+n22=1(-3≤m≤3),则n2=2-23m2,所以|PQ|=m-122+n2=m-122+2-23m2=13m2-m+94=13m-322+32,则当m=32时,|PQ|最小.故选D.
(2)根据题意可得a=4,b=7,c=3,则点B为椭圆的左焦点,设椭圆的右焦点为F,则F(3,0),∴|PB|+|PF|=8,则|PB|=8-|PF|.∵3216+127<1,∴点A在椭圆内部,∴|PA|+|PB|=|PA|-|PF|+8≤|AF|+8=9,当且仅当点P在AF的延长线上时,等号成立,故|PA|+|PB|的最大值为9.
【应用演练】
1.A [解析] 由题可得e2=32,又e2=3e1,所以e1=12,即a2-1a2=14,解得a2=43,所以a=233.故选A.
2.B [解析] 因为椭圆的离心率e=ca=c2a2=a2-b2a2=1-b2a2=1-2b2a2,所以椭圆的长轴长与短轴长的比值越大,离心率越大.由139>107>6445,得e1>e3>e2.故选B.
3.B [解析] 由|MF2|+|MN|+|NF2|=4a,|MF2|+|NF2|=2|MN|,得|MN|=4a3,设d为公差,则|MF2|=4a3-d,|NF2|=4a3+d,在△MF2N中,由余弦定理得4a3-d2+4a3+d2-4a32=24a3-d4a3+dcsπ3,解得d=0,∴△MF2N为等边三角形.∵|MF1|=2a-|MF2|=2a3,∠F1MF2=π3,∴|F1F2|=233a=2c,解得e=33.故选B.
4.D [解析] 方法一:∵tan∠PBA=3tan∠QBA,∴kBP=3kBQ,又kBP·kAP=-1,kAQ·kBQ=-b2a2,kAP=kAQ,∴b2a2=13,∴e2=c2a2=1-b2a2=23,故e=63.故选D.
方法二:考虑到A,B关于原点对称,则有kPA·kQB=e2-1①.∵PA⊥PB,∴kPA·kPB=-1②,①②两式相除得kQBkPB=1-e2,由tan∠PBA=3tan∠QBA,得kPBkQB=3,故1-e2=13,可得e=63.故选D.
方法三:设Q(acs θ,bsin θ),则tan∠PAB=tan∠QAB=bsinθacsθ+a,tan∠QBA=bsinθa-acsθ,
两式相乘得tan∠PAB·tan∠QBA=b2a2①.因为∠APB=π2,所以∠PAB+∠PBA=π2,
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(进群送往届全部资料)所以tan∠PAB·tan∠PBA=1②,由①÷②得tan∠QBAtan∠PBA=b2a2=13,故e=1-13=63.故选D.
5.22,1 [解析] 由题知,以F1F2为直径的圆与椭圆有交点,所以c≥b,所以c2≥b2=a2-c2,所以ca≥22,又e∈(0,1),所以e∈22,1.
6.32 [解析] 由题得a=5,b=4,c=3,∴△F1PF2的周长L=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=16.
∵△F1PF2内切圆的半径r=2S△F1PF2L,∴当S△F1PF2取得最大值时,r取得最大值,显然当P为短轴端点时,S△F1PF2取得最大值,此时S△F1PF2=12×b×2c=bc=12,则r=2S△F1PF2L=32.
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