05 第51讲　椭圆 01 第1课时　椭圆及其性质 【答案】作业 高考数学二轮复习练习

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1.C [解析] 由题得a=5,c=3,则b=a2-c2=4,所以椭圆的方程为x225+y216=1或x216+y225=1.故选C.
2.A [解析] ∵椭圆的离心率为12,∴a2-1a=12,∴a=233,故选A.
3.B [解析] ∵△ABC的周长为20,且|BC|=8,∴|AB|+|AC|=20-8=12,∵|AB|+|AC|=12>|BC|,∴点A的轨迹是焦点在y轴上的椭圆,a=6,c=4,∴b2=20,∴顶点A的轨迹方程是x220+y236=1(x≠0).故选B.
4.C [解析] 设椭圆的右焦点为F2,连接MF2,由椭圆的定义知|MF1|+|MF2|=2a=10,又|MF1|=2,所以|MF2|=8,又N为MF1的中点,所以ON为△F1MF2的中位线,所以|ON|= 12|MF2|=4.故选C.
5.C [解析] 设椭圆C的焦距为2c,长轴长为2a,根据题意可得地球与太阳的最远距离为a+c,最近距离为a-c,则a+ca-c=λ,解得ca=λ-1λ+1,即C的离心率为λ-1λ+1.故选C.
6.x2134+y21=1(答案不唯一) [解析] 设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),由题得c=32,所以a2-b2=94,则椭圆的标准方程可以为x2134+y21=1(答案不唯一).
7.C [解析] 因为△ABF2的周长为8,所以|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=8,解得a=2.由题意可得abπ=23π,解得b=3.因为椭圆的焦点在x轴上,所以C的标准方程为x24+y23=1.故选C.
8.C [解析] 因为椭圆C的左焦点为F(-3,0),所以c=3.因为AF垂直于x轴,点A在椭圆C上,所以可设A(-c,y1),所以(-c)2a2+y12b2=1,又a2=b2+c2,所以|y1|=b2a.因为tan∠AOF=32,所以b23a=32,可得a=23,b=3,故2a=43.故选C.
9.C [解析] 在直线x-2y+2=0中,令y=0,解得x=-2,令x=0,解得y=1, 故F(-2,0),M(0,1), 则 FM=(2,1),设A(x0,y0),则 AM=(-x0,1-y0),因为FM=3AM,所以 2=3(-x0),1=3(1-y0), 解得 x0=-23,y0=23, 则A-23,23.设椭圆的右焦点为F',则F'(2,0),因为点A在椭圆上,所以2a=|AF|+|AF'|=-23+22+232+-23-22+232=2(5+17)3,解得a=5+173,故该椭圆的离心率e=ca=25+173=17-52.故选C.
10.C [解析] 设P(x0,y0),易知B(0,b),由x02a2+y02b2=1,得x02=a21-y02b2,则|PB|2=x02+(y0-b)2=x02+y02-2by0+b2=a21-y02b2+y02-2by0+b2=-c2b2y02-2by0+a2+b2, y0∈[-b,b].由题知,当y0=-b时,|PB|2取得最大值,所以由二次函数图象的对称性知-b3c2≤-b,故b2≥c2,即a2-c2≥c2,所以ca≤22,即椭圆C的离心率e∈0,22,故选C.
11.AC [解析] 结合选项可设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),椭圆的上顶点为B,连接BF1,BF2,要使椭圆C上存在点P,使得∠F1PF2=90°,则需∠F1BF2≥90°,所以|BF1|2+|BF2|2≤|F1F2|2,即a2+a2≤4c2,又c2=a2-b2,所以2a2≤4a2-4b2,即a2≥2b2,结合选项可知A,C正确,B,D错误.故选AC.
12.BD [解析] 由y2+2y=x3-4x2+5x-3,得(y+1)2=x3-4x2+5x-2=(x-1)2(x-2).对于A,因为(x-2-1)2(x-2-2)≠(-x-1)2(-x-2),所以曲线W不关于直线x=-1对称,故A不正确.对于B,设点(x0,y0)在曲线W上,则y02+2y0=x03-4x02+5x0-3,因为(-2-y0)2+2(-2-y0)-(x03-4x02+5x0-3)=4+y02+4y0-4-2y0-y02-2y0=0,所以点(x0,-2-y0)在曲线W上,所以曲线W关于直线y=-1对称,故B正确.对于C,D,由(y+1)2≥0,得(x-1)2(x-2)≥0,解得x=1或x≥2,故C不正确,D正确.故选BD.
13.-1+2 [解析] 由题得MF⊥x轴,不妨设点M在第一象限,因为M在抛物线上,所以Mp2,p,又M在椭圆上,所以Mc,b2a,所以p2=c且p=b2a,所以2ac=b2=a2-c2,所以e2+2e-1=0,解得e=-1+2或e=-1-2(舍去),所以e=-1+2.
14.1 [解析] 根据题意得b=1,c=3,故a=2,则|PF1|+|PF2|=2a=4.
方法一:1|PF1|+1|PF2|=141|PF1|+1|PF2|(|PF1|+|PF2|)=142+|PF2||PF1|+|PF1||PF2|≥1,当且仅当|PF1|=|PF2|,即P为椭圆的短轴端点时取等号,∴1|PF1|+1|PF2|的最小值为1.
方法二:设|PF1|=t,则|PF2|=4-t,∴1|PF1|+1|PF2|=4|PF1||PF2|=4t(4-t)=4-(t-2)2+4.令f(t)=4-(t-2)2+4,∵a-c≤|PF1|≤a+c,∴2-3≤|PF1|≤2+3,即2-3≤t≤2+3, ∴1≤-(t-2)2+4≤4,∴1≤4-(t-2)2+4≤4, ∴1|PF1|+1|PF2|的最小值为1.
15.解:(1)不妨设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),焦距为2c.
在△F1PF2中,由余弦定理得cs 60°=
|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|·|PF2|=
(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|-|F1F2|22|PF1|·|PF2|,
即4a2-2|PF1|·|PF2|-4c22|PF1|·|PF2|=12,
所以|PF1|·|PF2|=4a2-2|PF1|·|PF2|-4c2,
所以3|PF1|·|PF2|=4b2,所以|PF1|·|PF2|=4b23.
因为|PF1|·|PF2|≤|PF1|+|PF2|22=a2,当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立,所以3a2≥4(a2-c2),所以ca≥12,所以e≥12.又因为0