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05 第51讲 椭圆 02 第2课时 直线与椭圆的位置关系 【正文】听课 高考数学二轮复习练习
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这是一份05 第51讲 椭圆 02 第2课时 直线与椭圆的位置关系 【正文】听课 高考数学二轮复习练习，共5页。试卷主要包含了当m取何值时,直线l与椭圆C，弦长公式的运用技巧等内容，欢迎下载使用。
直线与椭圆的位置关系
例1 已知直线l:y=x+m,椭圆C:x24+y23=1.当m取何值时,直线l与椭圆C:
(1)有两个不重合的公共点?
(2)有且只有一个公共点?
(3)没有公共点?
总结反思
研究直线与椭圆位置关系的方法
(1)研究直线和椭圆的位置关系,一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.
(2)对于过定点的直线,也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.
变式题 (1)直线y=ax-1(a∈R)与焦点在x轴上的椭圆x25+y2m=1总有公共点,则实数m的取值范围是 .
(2)椭圆x29+y24=1上的点到直线x-2y+8=0的距离的最小值为 .
弦长问题
例2 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为22,且点233,-33在C上.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设过点F2的直线l与C交于A,B两点,若|AF1|·|BF1|=103,求|AB|的值.
总结反思
1.弦长的求解方法
(1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解.
(2)当直线的斜率存在时,斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两个不同的点,则弦长公式的常见形式有如下两种:
①|AB|=1+k2|x1-x2|=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2];
②|AB|=1+1k2|y1-y2|=1+1k2[(y1+y2)2-4y1y2](k≠0).
2.弦长公式的运用技巧
弦长公式的运用需要利用曲线方程和直线方程联立消元建立一元二次方程,设直线方程也很考究,不同形式的直线方程直接关系到计算量的大小.我们的经验是:直线经过的定点在纵轴上,一般设为斜截式y=kx+b,即“定点落在纵轴上,斜截式帮大忙”;直线经过的定点在横轴上,一般设为my=x-a,即“直线定点落横轴,斜率倒数作参数”.
变式题1 (1)已知斜率为1的直线l与椭圆x22+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为( )
A.2B.233C.263D.433
(2)[2023·新课标Ⅱ卷] 已知椭圆C:x23+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB的面积是△F2AB面积的2倍,则m=( )
A.23B.23C.-23D.-23
变式题2 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=63,上顶点为A,右顶点为B,△AOB(O为坐标原点)的面积为3.
(1)求C的方程;
(2)过C的右焦点的直线l与C交于P,Q两点,若|PQ|=667,求l的方程.
中点弦与弦中点问题
例3 已知椭圆x24+y23=1.
(1)求过点C(1,1)且被点C平分的弦所在直线的方程;
(2)求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程;
(3)过椭圆的左焦点F作椭圆x24+y23=1的弦,求弦的中点P的轨迹方程.
总结反思
处理中点弦问题常用的方法:(1)点差法,设出弦的两端点坐标后,代入椭圆方程,并将两式相减,式中含有x1+x2,y1+y2,y1-y2x1-x2三个未知量,这样就直接联系了弦中点坐标和弦所在直线的斜率,借助中点坐标公式即可求得斜率.
(2)联立直线与椭圆的方程,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.特别要注意的是中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端:根与系数的关系在解题过程中易漏解,需关注弦所在直线的斜率问题;点差法为形式变化,注意中点必须在椭圆内.
变式题 (1)已知椭圆x24+y2=1,则该椭圆所有斜率为12的弦的中点的轨迹方程为 .
(2)已知直线l交椭圆x216+y212=1于M,N两点,B(0,4),若△BMN的重心为椭圆的右焦点,则直线l的方程为 .
直线与椭圆的综合问题
例4 (1)[2023·嘉兴二模] 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,点P在椭圆上,连接PF1并延长交C于另一点Q,连接QF2,若存在点P使|PQ|=|QF2|成立,则e2的取值范围为 .
(2)已知椭圆Γ:x29+y25=1,过椭圆左焦点F任作一条弦PQ(不与长轴重合),点A,B分别是椭圆的左、右顶点,设直线AP的斜率为k1,直线BQ的斜率为k2,则k1k2+1k22的最小值为 .
总结反思
求解直线与椭圆的综合问题时,常把直线方程与椭圆方程联立,消去x(或y),得到关于y(或x)的一元二次方程,利用一元二次方程根的判别式、根与系数的关系解决.
变式题 (1)(多选题)已知椭圆E:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l1交E于A,B两点(点A在x轴的上方),过F2的直线l2交E于C,D两点,则( )
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(进群送往届全部资料)A.若AF1=2F1B,则l1的斜率k=62
B.|AF1|+4|BF1|的最小值为274
C.以AF1为直径的圆与圆x2+y2=4相切
D.若l1⊥l2,则以A,B,C,D为顶点的四边形面积S的最小值为28849
(2)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为33,过左焦点F作一条斜率为k(k>0)的直线,与椭圆交于A,B两点,满足|AF|=2|FB|,则实数k的值为( )
A.1B.2C.3D.2
(3)[2023·杭州二中模拟] 考虑这样的等腰三角形:它的三个顶点都在椭圆C:x24+y2=1上,且其中恰有两个顶点为椭圆C的顶点,这样的等腰三角形有 个.
直线与椭圆的位置关系
例1 已知直线l:y=x+m,椭圆C:x24+y23=1.当m取何值时,直线l与椭圆C:
(1)有两个不重合的公共点?
(2)有且只有一个公共点?
(3)没有公共点?
总结反思
研究直线与椭圆位置关系的方法
(1)研究直线和椭圆的位置关系,一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.
(2)对于过定点的直线,也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.
变式题 (1)直线y=ax-1(a∈R)与焦点在x轴上的椭圆x25+y2m=1总有公共点,则实数m的取值范围是 .
(2)椭圆x29+y24=1上的点到直线x-2y+8=0的距离的最小值为 .
弦长问题
例2 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为22,且点233,-33在C上.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设过点F2的直线l与C交于A,B两点,若|AF1|·|BF1|=103,求|AB|的值.
总结反思
1.弦长的求解方法
(1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解.
(2)当直线的斜率存在时,斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两个不同的点,则弦长公式的常见形式有如下两种:
①|AB|=1+k2|x1-x2|=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2];
②|AB|=1+1k2|y1-y2|=1+1k2[(y1+y2)2-4y1y2](k≠0).
2.弦长公式的运用技巧
弦长公式的运用需要利用曲线方程和直线方程联立消元建立一元二次方程,设直线方程也很考究,不同形式的直线方程直接关系到计算量的大小.我们的经验是:直线经过的定点在纵轴上,一般设为斜截式y=kx+b,即“定点落在纵轴上,斜截式帮大忙”;直线经过的定点在横轴上,一般设为my=x-a,即“直线定点落横轴,斜率倒数作参数”.
变式题1 (1)已知斜率为1的直线l与椭圆x22+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为( )
A.2B.233C.263D.433
(2)[2023·新课标Ⅱ卷] 已知椭圆C:x23+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB的面积是△F2AB面积的2倍,则m=( )
A.23B.23C.-23D.-23
变式题2 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=63,上顶点为A,右顶点为B,△AOB(O为坐标原点)的面积为3.
(1)求C的方程;
(2)过C的右焦点的直线l与C交于P,Q两点,若|PQ|=667,求l的方程.
中点弦与弦中点问题
例3 已知椭圆x24+y23=1.
(1)求过点C(1,1)且被点C平分的弦所在直线的方程;
(2)求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程;
(3)过椭圆的左焦点F作椭圆x24+y23=1的弦,求弦的中点P的轨迹方程.
总结反思
处理中点弦问题常用的方法:(1)点差法,设出弦的两端点坐标后,代入椭圆方程,并将两式相减,式中含有x1+x2,y1+y2,y1-y2x1-x2三个未知量,这样就直接联系了弦中点坐标和弦所在直线的斜率,借助中点坐标公式即可求得斜率.
(2)联立直线与椭圆的方程,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.特别要注意的是中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端:根与系数的关系在解题过程中易漏解,需关注弦所在直线的斜率问题;点差法为形式变化,注意中点必须在椭圆内.
变式题 (1)已知椭圆x24+y2=1,则该椭圆所有斜率为12的弦的中点的轨迹方程为 .
(2)已知直线l交椭圆x216+y212=1于M,N两点,B(0,4),若△BMN的重心为椭圆的右焦点,则直线l的方程为 .
直线与椭圆的综合问题
例4 (1)[2023·嘉兴二模] 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,点P在椭圆上,连接PF1并延长交C于另一点Q,连接QF2,若存在点P使|PQ|=|QF2|成立,则e2的取值范围为 .
(2)已知椭圆Γ:x29+y25=1,过椭圆左焦点F任作一条弦PQ(不与长轴重合),点A,B分别是椭圆的左、右顶点,设直线AP的斜率为k1,直线BQ的斜率为k2,则k1k2+1k22的最小值为 .
总结反思
求解直线与椭圆的综合问题时,常把直线方程与椭圆方程联立,消去x(或y),得到关于y(或x)的一元二次方程,利用一元二次方程根的判别式、根与系数的关系解决.
变式题 (1)(多选题)已知椭圆E:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l1交E于A,B两点(点A在x轴的上方),过F2的直线l2交E于C,D两点,则( )
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D.若l1⊥l2,则以A,B,C,D为顶点的四边形面积S的最小值为28849
(2)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为33,过左焦点F作一条斜率为k(k>0)的直线,与椭圆交于A,B两点,满足|AF|=2|FB|,则实数k的值为( )
A.1B.2C.3D.2
(3)[2023·杭州二中模拟] 考虑这样的等腰三角形:它的三个顶点都在椭圆C:x24+y2=1上,且其中恰有两个顶点为椭圆C的顶点,这样的等腰三角形有 个.
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