08 第54讲　圆锥曲线热点问题 02 第2课时　定点、定值、探索性问题 【答案】听课 高考数学二轮复习练习

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例1 [思路点拨] (1)根据已知条件,求出双曲线的实半轴长a和虚半轴长b,即可求解.
(2)分直线MN的斜率不存在与存在两种情况进行分析,当直线MN的斜率不存在时,可求得点P坐标;当直线MN的斜率存在时,设出点M,N坐标及直线MN的方程,并与双曲线C的方程联立,再结合根与系数的关系推得点P的横坐标为定值.即可得证.
解:(1)设双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),由题意得c=25,ca=5,c2=a2+b2,可得a=2,b=4,c=25,
故双曲线C的方程为x24-y216=1.
(2)证明:由(1)得A1(-2,0),A2(2,0).
当直线MN的斜率不存在时,直线MN的方程为x=-4,则易知M(-4,43),N(-4,-43),∴直线MA1的方程为y=-23(x+2),直线NA2的方程为y=233(x-2),
由y=-23(x+2),y=233(x-2),解得x=-1,y=-23,∴P(-1,-23).
当直线MN的斜率存在时,设M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN的方程为y=k(x+4),由题意知k≠0且k≠±2,
直线MA1的方程为y=y1x1+2(x+2),直线NA2的方程为y=y2x2-2(x-2).联立直线MA1与直线NA2的方程,消去y得y1x1+2(x+2)=y2x2-2(x-2),则k(x1+4)x1+2(x+2)=k(x2+4)x2-2(x-2),即(x1+4)(x2-2)(x+2)=(x2+4)(x1+2)(x-2),解得x=2·x1x2+x1+3x23x1-x2+8①.
由y=k(x+4),x24-y216=1,可得(4-k2)x2-8k2x-16k2-16=0,
则x1+x2=8k24-k2,x1x2=-16·k2+14-k2,可得x1x2=-2·1+1k2(x1+x2),8=4k2-1(x1+x2),
代入①可得x=2·-2·1+1k2(x1+x2)+x1+3x23x1-x2+4k2-1(x1+x2)=
--2k2-1x1+1-2k2x2-2k2-1x1+1-2k2x2=-1,∴当直线MN的斜率存在时,点P在直线x=-1上.又点(-1,-23)在直线x=-1上,故点P在定直线x=-1上.
变式题 解:(1)设E的方程为x2m2+y2n2=1(m>0,n>0).将A(0,-2),B32,-1两点的坐标分别代入E的方程得4n2=1,94m2+1n2=1,可得m2=3,n2=4,故E的方程为x23+y24=1.
(2)证明:由A(0,-2),B32,-1可得直线AB的方程为y=23x-2.
①若过点P(1,-2)的直线的斜率不存在,则该直线的方程为x=1,将x=1代入x23+y24=1,可得M1,-263,N1,263,将y=-263代入y=23x-2,可得x=3-6,则T3-6,-263.由MT=TH,得H5-26,-263,
则直线HN的方程为y=2+263x-2,此时直线HN过点(0,-2).
②若过点P(1,-2)的直线的斜率存在,则设该直线的方程为y=k(x-1)-2,M(x1,y1)(-2