08 第54讲　圆锥曲线热点问题 02 第2课时　定点、定值、探索性问题 【正文】听课 高考数学二轮复习练习

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定点问题
常用的处理定点问题的思路:
(1)确定题目中的核心变量(此处设为k).
(2)利用条件找到k与过定点的曲线F(x,y)=0的联系,得到有关k与x,y的等式.
(3)所谓定点,是指存在一个特殊的点(x0,y0),使得无论k的值如何变化,等式恒成立.此时要将关于k与x,y的等式进行变形,直至易于找到x0,y0.
常见的变形方向如下:
①若等式的形式为整式,则考虑将含k的项归在一组,变形为“k·( )”的形式,x0,y0只需要先让括号内的部分为零即可;
②若等式为含k的分式,则x0,y0的取值一方面可以考虑使其分子为0,从而使分式的值与分母的取值无关;另一方面可以考虑让分子分母消去有关k的式子使分式变成常数(这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化,但通常选择容易观察到的形式).
例1 [2023·新课标Ⅱ卷] 已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为(-25,0),离心率为5.
(1)求C的方程;
(2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与NA2交于点P,证明:点P在定直线上.


总结反思
解决定点问题的一些技巧与注意事项:
(1)面对复杂问题时,可从特殊情况入手,以确定可能的定点(或定直线),然后再验证该点(或该直线)对一般情况是否符合,属于“先猜再证”.
(2)有些题目所求与定点无关,但是在条件中会隐藏定点,且该定点通常是解题的关键条件,所以当遇到含参数的方程时,要清楚该方程对应哪一类曲线(或直线),从而观察这一类曲线是否过定点.尤其在含参数的直线方程中,要能够找到定点,抓住关键条件,例如直线y=kx+k-1,就应该能够意识到y=k(x+1)-1,进而得到该直线过定点(-1,-1).
变式题 [2022·全国乙卷] 已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且过A(0,-2),B32,-1两点.
(1)求E的方程;
(2)设过点P(1,-2)的直线交E于M,N两点,过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,点H满足MT=TH,证明:直线HN过定点.


定值问题
在解析几何中,有些几何量与参数无关,这就构成了定值问题.常见定值问题的处理方法有:
(1)直接消参求定值:①确定一个(或两个)变量为核心变量,其余量均利用条件用核心变量进行表示;②将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量),然后进行化简,看能否得到一个常数.
(2)从特殊到一般求定值:①在运算过程中,尽量减少所求表达式中变量的个数,以便于向定值靠拢;②巧妙利用变量间的关系,例如点的坐标符合曲线方程等,尽量做到整体代入,简化运算.
例2 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2,离心率为32,点A是椭圆的左顶点,点E的坐标为(1,0),经过点E的直线l交椭圆C于不同的两点M,N,直线l的斜率存在且不为0.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线AM,AN分别交直线x=4于点P,Q,线段PQ的中点为G,设直线l与直线EG的斜率分别为k,k',求证:k·k'为定值.


总结反思
圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略:
(1)求代数式为定值:依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值.
(2)求点到直线的距离为定值:利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得.
(3)求某线段长度为定值:利用弦长公式等求得线段长度的表达式,再依据条件对表达式进行化简、变形即可求得.
变式题 [2023·武汉调研] 过点(4,2)的动直线l与双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)交于M,N两点,当l与x轴平行时,|MN|=42,当l与y轴平行时,|MN|=43.
(1)求双曲线E的标准方程;
(2)点P是直线y=x+1上的一个点,设直线PM,PN的斜率分别为k1,k2,若k1k2为定值,求点P的坐标.


例3 [2023·湖南郴州九校联考] 已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=63,直线l:y=kx+m与椭圆E交于B,C两点.当直线l的方程为y=3x-3时,经过椭圆长轴的一个端点.
(1)求椭圆E的方程.
(2)已知坐标原点为O,在椭圆E上有异于B,C的一点A(p,q),满足OA+OB+OC=0,证明:△ABC的面积为定值.


变式题 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2,左、右焦点分别为F1,F2,M为椭圆C上一点,且MF1⊥x轴,|MF2|=7|MF1|.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知直线x=ty+m(t≠0且00)的焦距为2,点1,22在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程.
(2)若过动点P的两条直线l1,l2均与椭圆C相切,且l1,l2的斜率之积为-1,点A(-3,0),试问:是否存在定点B,使得PA·PB=0?若存在,求出点B的坐标;若不存在,请说明理由.