03 第60讲　二项式定理 【答案】听课 高考数学二轮复习练习

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【知识聚焦】
1.Cn0an+Cn1an-1b1+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn (1)n+1
2.k+1 3.Cnkan-kbk
4.(2)①Cnn2 ②Cnn-12 Cnn+12 (3)①2n
【对点演练】
1.160 [解析] 展开式的通项为 Tr+1=C6r16-r(2x)r=C6r2rxr,令r=3,则(1+2x)6的展开式中x3的系数为C63×23=6×5×43×2×1×8=160.
2.2 [解析] 设f(x)=ax2-1x9,则由题意得f(1)=(a-1)9=1,解得a=2.
3.672 [解析] 由题意得2n=128,则n=7,则展开式的通项为Tr+1=C7r(2x)7-r-1xr=(-1)r27-rC7rx7-2r,令7-2r=3,可得r=2,所以展开式中x3的系数为(-1)2×25C72=672.
4.10n-1 [解析] Cn0·32n+Cn1·32n-2+Cn2·32n-4+…+Cnn-1·32=Cn0·(32)n+Cn1·(32)n-1+Cn2·(32)n-2+…+Cnn-1·(32)1+Cnn·(32)0-Cnn·(32)0=(32+1)n-1=10n-1.
5.6 [解析] (x+43y)20的展开式的通项为Tr+1=C20rx20-r(43y)r=C20rx20-ryr·3r4,所以当r4为整数时,系数为有理数.因为0≤r≤20,且r∈N,所以r=0,4,8,12,16,20,所以系数为有理数的项共有6项.
6.3 [解析] 令x=1,则各项系数的和为4n,又各二项式系数的和为2n,所以4n-2n=56,即(2n)2-2n-56=0,可得2n=8,故n=3.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)写出二项展开式的通项,令x的幂指数等于0,即可求得答案.(2)根据题意,写出二项展开式的通项,由条件列出方程,即可得到结果.
(1)D (2)±1 [解析] (1)展开式的通项为Tr+1=C6r×(2x)6-r×-1x2r=C6r×26-r×x6-r×(-1)r×x-2r=C6r×x6-3r×26-r×(-1)r,r=0,1,2,…,6,令6-3r=0,得r=2,所以展开式中的常数项为T3=C62×24×(-1)2=240.故选D.
(2)因为(x+a)6的展开式的通项为Tr+1=C6r(x12)6-rar=arC6rx6-r2,且x的系数与x2的系数相等,所以a4C64=a2C62,即a4=a2,所以a2(a2-1)=0,又a≠0,所以a=±1.
变式题 28x和x-4 [解析] 由题意知,3x+1x8的展开式的通项为Tr+1=C8r(3x)8-r1xr=C8r·x16-5r6,r=0,1,2,…,8,令16-5r6∈Z,得r=2或8,所以T2+1=C82·x16-106=28x,T8+1=C88·x16-406=x-4,故有理项是28x和x-4.
例2 [思路点拨] (1)根据二项式系数的性质求得n=7,再根据二项展开式的通项即可求得指定项的系数.(2)根据已知条件可得n=8,结合二项展开式的通项求系数最大的项,进而可求其二项式系数.
(1)B (2)28 [解析] (1)因为(x-2y)n的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等,所以Cn3=Cn4,则n=7.(x-2y)7的展开式的通项为Tr+1=C7rx7-r(-2y)r,令r=2,则展开式中x5y2的系数为C72(-2)2=84.故选B.
(2)因为展开式中各二项式系数的和为2n=256,所以n=8,则13x+x8的展开式的通项为Tr+1=C8r13x8-r(x)r=C8r38-rx3r2-8,r=0,1,2,…,8.令C8r38-r≥C8r+137-r,C8r38-r≥C8r-139-r,得r=6,所以展开式中第7项的系数最大,其二项式系数为C86=28.
变式题 (1)240x6 (2)60 [解析] (1)由题可得n2+1=4,解得n=6,所以T5=C641x2(-2x2)4=240x6.
(2)由题意得22n=64,解得n=3,则x+2x6的展开式的通项为Tr+1=C6r(x)6-r2xr=C6r·2r·x3-r,令3-r=1,解得r=2,则展开式中x的系数为C62·22=60.
例3 [思路点拨] (1)根据展开式的特点,给x赋值0,1或-1,分析各选项即可.(2)观察已知条件,通过求导赋值构造出式子a1+2a2+3a3+4a4+5a5,计算即可.
(1)ACD (2)240 [解析] (1)(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,令x=0,则a0=15=1,故A正确;将x=1代入(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,得-1=a0+a1+a2+a3+a4+a5,所以a1+a2+a3+a4+a5=-1-a0=-2,故B错误;将x=-1代入(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,得35=a0-a1+a2-a3+a4-a5,故C正确;二项式(1-2x)5的展开式的通项为Tr+1=C5r(-2)rxr,所以当r为奇数时,C5r(-2)r为负数,即ai0(其中i为偶数),所以a0-|a1|+a2-|a3|+a4-|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5=-1,故D正确.故选ACD.
(2)(3x-4)5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4+a5(x-1)5,对式子两边同时求导,得15(3x-4)4=a1+2a2(x-1)+3a3(x-1)2+4a4(x-1)3+5a5(x-1)4,令x=2,得15×(3×2-4)4=a1+2a2+3a3+4a4+5a5=240.
变式题 (1)A (2)A (3)0 [解析] (1)因为ax-13x5(a为常数)的展开式中各项系数的和与各二项式系数的和相等,所以(a-1)5=25,得a=3,则3x-13x5的展开式的通项为Tr+1=C5r(3x)5-r-13xr=C5r·35-r·(-1)rx15-5r6,令15-5r6=0,得r=3,所以展开式中的常数项为C53×35-3×(-1)3=-90,故选A.
(2)(2x-1)3-(x+2)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,令x=1,得(2-1)3-(1+2)4=a0+a1+a2+a3+a4=-80,令x=-1,得(-2-1)3-(-1+2)4=a0-a1+a2-a3+a4=-28,两式相加得2(a0+a2+a4)=-108,所以a0+a2+a4=-54.故选A.
(3)令x=-1e可得0=a0-a1e+a2e2-a3e3+a4e4-…-a2023e2023.
例4 [思路点拨] 根据展开式的特征,将x4+(x+1)7转化为[(x+2)-2]4+[(x+2)-1]7,利用二项展开式的通项即可求得答案.
B [解析] 由题意得x4+(x+1)7=[(x+2)-2]4+[(x+2)-1]7=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a7(x+2)7,故a3=C41(-2)1+C74(-1)4=-8+35=27,故选B.
变式题 78 [解析] 令x=0,可得a0=2,令x=1,可得27=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7①,令x=-1,则25=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7②,所以①+②可得2(a0+a2+a4+a6)=25+27=160,所以2+a2+a4+a6=80,即a2+a4+a6=78.
例5 [思路点拨] (1)将多项式按第一项展开,利用二项展开式的通项即可求得答案.(2)根据题意可得,5个因式中3个因式选择x,2个因式选择常数,即可求解.
(1)A (2)A [解析] (1)1-yx(2x+y)8=(2x+y)8-yx(2x+y)8,(2x+y)8的展开式的通项为Tr+1=C8r(2x)8-ryr,则1-yx(2x+y)8的展开式中含x2y6的项为C86(2x)2y6-yxC85(2x)3y5=112x2y6-448x2y6=-336x2y6,故展开式中x2y6的系数为-336,故选A.
(2)5个因式中3个因式选择x,2个因式选择常数,则含x3的项的系数是(-4)×5+3×5+3×(-4)+(-2)×5+(-2)×3+(-2)×(-4)+1×5+1×(-4)+1×3+1×(-2)=-23.故选A.
变式题 (1)D (2)C [解析] (1)根据二项式定理得(1-x)(1+2x)4=(1-x)(1+8x+24x2+32x3+16x4),所以a0=1,a4x4=-x·32x3+1×16x4=-16x4,则a4=-16,所以a4-a0=-16-1=-17.故选D.
(2)(x+1)4的展开式中x2的系数为C42=6,x3的系数为C41=4,所以(ax-2)(x+1)4的展开式中x3的系数为6a-2×4=6a-8,依题意得6a-8=-2,得a=1.故选C.
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(进群送往届全部资料)例6 [思路点拨] (1)根据给定的多项式,分析展开式中含x3的项的构成,列式计算即可.(2)写出展开式的通项,令x的幂指数为0,即可求得常数项.
(1)C (2)8953 [解析] (1)x3+1x-15可看作5个x3+1x-1相乘,展开式中含x3的项可由2种情况获得:从5个式子中取2个式子提供x3,余下3个式子提供1x,则可得到C52(x3)2·C331x3=10x3;从5个式子中取1个式子提供x3,余下4个式子提供-1,则可得到C51(x3)1·C44(-1)4=5x3.所以x3+1x-15的展开式中x3的系数为10+5=15.故选C.
(2)展开式的通项为Tr+1=C10r·x+1x10-r=C10r·C10-rm·x10-r-m1xm=C10r·C10-rm·x10-r-2m.当m=0,r=10时,常数项为1;当m=1,r=8时,常数项为C108·C21=90;当m=2,r=6时,常数项为C106·C42=210×6=1260;当m=3,r=4时,常数项为C104·C63=210×20=4200;当m=4,r=2时,常数项为C102·C84=45×70=3150;当m=5,r=0时,常数项为C100·C105=1×252=252.故展开式中的常数项为1+90+1260+4200+3150+252=8953.
变式题 (1)C (2)12 [解析] (1)(x2-x+y)6=[(x2-x)+y]6,其展开式的通项为Tr+1=C6r(x2-x)6-ryr,令r=2,可得T3=15(x2-x)4y2,其中(x2-x)4的展开式的通项为Pk+1=C4k(x2)4-k(-x)k=(-1)kC4kx8-k,令8-k=5,得k=3,所以P4=-4x5,故x5y2的系数为-4×15=-60.故选C.
(2)x2+1x2-22(x+m)3=x-1x4(x+m)3,其展开式的通项为C4k-1xkx4-k·C3rmrx3-r=(-1)kC4kC3rmrx7-r-2k,0≤r≤3,0≤k≤4,r,k∈Z,令7-r-2k=3,则k=1,r=2或k=2,r=0,所以(-1)1C41C32m2+(-1)2C42C30m0=3,即-12m2+6=3,因为m>0,所以m=12.