03 第60讲　二项式定理 【答案】作业 高考数学二轮复习练习

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2.C [解析] 二项展开式的通项为Tr+1=C6r·(2x)6-r-1xr=(-1)r·26-r·C6r·x3-r,令3-r=0,得r=3,所以2x-1x6的展开式中的常数项为(-1)3×26-3×C63=-160.故选C.
3.B [解析] 由题意知,(2x+3)10=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a10(x+1)10,令x=-1,得a0=1.故选B.
4.BD [解析] 由题意知,当x=1时,2n=128,所以n=7.二项式(3x-1)7的展开式共有8项,故A错误;展开式中各二项式系数的和为27=128,故B正确;展开式中第4项和第5项的二项式系数最大,故C错误;展开式中的常数项为(-1)7=-1,故D正确.故选BD.
5.4 [解析] 展开式的通项为Tk+1=C5kakx-12kx5-k=C5kakx5-32k,k=0,1,2,3,4,5,令5-32k=2,得k=2,故 C52a2=160,解得a=4或a=-4(舍去).
6.35 [解析] (1-x)n的展开式的通项为Tr+1=Cnr(-x)r=Cnr(-1)r·xr,则所求x2的系数为C22(-1)2+C32(-1)2+C42(-1)2+C52(-1)2+C62(-1)2=1+3+6+10+15=35.
7.D [解析] ∵展开式中只有第5项的二项式系数最大,∴展开式共有9项,∴n=8,令x=1,得展开式中所有项的系数和为(1+a)8=256,∴a=1或-3.故选D.
8.D [解析] 1+1x4(1+x)3=(1+x)7x4,因为(1+x)7的展开式的通项为Tr+1=C7rxr,r=0,1,…,7,令r=4,所以(1+x)7的展开式中x4的系数为C74=35,故1+1x4(1+x)3的展开式中的常数项为35,故选D.
9.A [解析] Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn=(1+x)n-1.当x=4,n=6时,(1+x)n-1=56-1=(53-1)×(53+1)=124×126能被7整除;当x=4,n=8时,(1+x)n-1=58-1=(52-1)×(52+1)×(54+1)=24×26×626不能被7整除;当x=5,n=7时,(1+x)n-1=67-1=(7-1)7-1不能被7整除;当x=6,n=9时,(1+x)n-1=79-1不能被7整除.故选A.
10.D [解析] 令x+1=t,得1+12tn=a0+a1t+…+antn,∴ai=Cni12i,i=0,1,2,…,n.由题意知a3≥a2,a3≥a4,即Cn3123≥Cn2122,Cn3123≥Cn4124,解得8≤n≤11,又n∈N*,∴n的最大值为11.
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12.AD [解析] 对于A,令x=0,则a0=(0+0+1)9=1,A正确;对于B,[x2+(x+1)]9的展开式的通项为C9r(x2)9-r(x+1)r,(x+1)r的展开式的通项为Crkxr-k,∴(x2+x+1)9的展开式的通项为C9rCrkx18-r-k,令18-r-k=2,则r+k=16,又r∈[0,9],k∈[0,r],r,k∈N,∴k=7,r=9或k=8,r=8,∴a2=C99C97+C98C88=36+9=45,B错误;对于C,令x=1,则a0+a1+a2+…+a18=39,令x=-1,则a0-a1+a2-…+a18=1,两式相加得2(a0+a2+…+a18)=39+1,∴a0+a2+a4+…+a18=39+12,又a0=1,∴a2+a4+…+a18=39+12-1=39-12,C错误;对于D,(x2+x+1)9=a0+a1x+a2x2+…+a18x18,两边同时求导,得9(x2+x+1)8(2x+1)=a1+2a2x+…+18a18x17,令x=1,则a1+2a2+3a3+…+18a18=9×38×3=311,D正确.故选AD.
13.-448 [解析] 令1+x=t,可得x=t-1,则(2-t)8=a0+a1t+a2t2+…+a8t8,(2-t)8的展开式的通项为Tk+1=C8k28-k(-t)k=C8k28-k(-1)ktk(k=0,1,2,…,8),令k=5,得a5=C85×23×(-1)5=56×8×(-1)=-448.
14.-8 [解析] 2x-13xn的展开式中所有项的系数的绝对值之和为(2+1)n=81,得n=4,2x-13x4的展开式的通项为Tr+1=C4r(2x)4-r(-x-13)r=(-1)r24-rC4rx4-43r,令4-43r=0,得r=3,故展开式中的常数项为(-1)3×24-3×C43=-8.
15.C [解析] 因为Cn0(x+2)n-Cn1(x+2)n-1+Cn2(x+2)n-2-…+(-1)nCnn=(x+2-1)n=(x+1)n,所以(x+1)n=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an,当x=1时,a0+a1+…+an=(1+1)n=2n,当x=0时,an=(0+1)n=1,由等式左右两边xn的系数相等可得a0=Cn0=1,所以a1+a2+…+an-1=2n-2,故选C.
16.1630 13-2(n-1)n(n+1) [解析] 由题意知,“莱布尼茨三角形”第8行的第5个数是1(8+1)C84=1630.由“莱布尼茨三角形”的特点可知,每个数均等于其“脚下”两个数之和,则1(n+1)Cnn-2+1(n+1)Cnn-3=1nCn-1n-3,1nCn-1n-3+1nCn-1n-4=1(n-1)Cn-2n-4,1(n-1)Cn-2n-4+1(n-1)Cn-2n-5=1(n-2)Cn-3n-5,…,15C42+15C41=14C31,14C31+14C30=13C20,将上述各式相加,得1(n+1)Cnn-2+1(n+1)Cnn-3+1nCn-1n-4+…+120+14=13,∴1(n+1)Cnn-2+Sn=13,∴Sn=13-2(n-1)n(n+1).