06 第63讲　全概率公式及应用 【答案】听课 高考数学二轮复习练习

这是一份06 第63讲　全概率公式及应用 【答案】听课 高考数学二轮复习练习，共5页。
【对点演练】
[解析] 设A1为“第一天选择一餐厅就餐”,B1为“第一天选择二餐厅就餐”,A2为“第二天选择一餐厅就餐”,则P(A1)=P(B1)=0.5,P(A2|A1)=0.6,P(A2|B1)=0.7,由全概率公式可知P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.5×0.6+0.5×0.7=0.65.
2.86.4% [解析] 用A表示生产线初始状态良好,B表示产品为合格品,则P(A)=80%,P(B|A)=95%,P(B|A)=60%,所以P(A|B)=P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=80%×95%80%×95%+(1-80%)×60%≈86.4%.
[解析] 设事件Ai=“第i天去2楼阅读”, 事件Bi=“第i天去3楼阅读”,则P(A1)=P(B1)=0.5,P(B2|A1)=1-0.7=0.3,P(B2|B1)=1-0.8=0.2,所以P(B2)=P(A1)P(B2|A1)+P(B1)P(B2|B1)=0.5×0.3+0.5×0.2=0.25.
4.730 [解析] 记事件A1,A2,A3分别表示此人选自甲、乙、丙三个地区,事件B=“此人被录取”,则P(A1)=P(A2)=P(A3)=13,P(B|A1)=13,P(B|A2)=15,P(B|A3)=16,故P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=13×13+13×15+13×16=730.
[解析] 设A=“任取一个产品,经检查是合格品”,B=“任取一个产品的确是合格品”,则A=BA+BA,则P(A)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)=0.96×0.98+0.04×0.05=0.942 8,故所求概率为P(B|A)=P(B)P(A|B)P(A)=0.96× 8≈0.998.
● 课堂考点探究
探究点一
1.B [解析] 因为P(A)=0.5,所以P(A)=1-0.5=0.5,所以P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=0.5×P(B|A)+0.5×0.2=0.3,解得P(B|A)=0.4.故选B.
2.B [解析] 由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=120×0+1920×P(B|A)=120,解得P(B|A)=119.故选B.
3.13 [解析] 因为P(A)=13,所以P(A)=23,由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=13×15+23×25=13.
4.83192 [解析] 由题意得P(A2|A1)=3P(A1)=3×16=12,P(A2|A1)=14,则P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(A1)P(A2|A1)=16×12+56×14=724,则P(A3|A2)=3P(A2)=3×724=78,又P(A3|A2)=14,所以P(A3)=P(A2)P(A3|A2)+P(A2)P(A3|A2)=724×78+1-724×14=83192.
例1 [思路点拨] (1)由条件根据全概率公式求解即可.(2)先根据相互独立事件的概率公式即可求出第一个空;根据古典概型的概率计算公式或全概率公式可求出第二个空.
(1)A (2)120 35 [解析] (1)设事件B为取到男性志愿者,事件A1为所抽到的单位为甲单位,事件A2为所抽到的单位为乙单位,则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=12×512+12×46=1324.故选A.
(2)方法一:设A=“取到的三个球都是黑球”,根据相互独立事件的概率公式得P(A)=40%×25%×50%=0.05=120.设C=“将三个盒子中的球混合后任取一个球是白球”,则P(C)=5×(1-40%)+4×(1-25%)+6×(1-50%)5+4+6=35.
方法二:设A1=“从甲盒子中取到一个黑球”,A2=“从乙盒子中取到一个黑球”,A3=“从丙盒子中取到一个黑球”,A=“取到的三个球都是黑球”,根据相互独立事件的概率公式,得P(A)=P(A1)·P(A2)·P(A3)=40100×25100×50100=120.设C=“将三个盒子中的球混合后任取一个球是白球”,B1=“取到的球是甲盒子中的”,B2=“取到的球是乙盒子中的”,B3=“取到的球是丙盒子中的”,则Ω=B1∪B2∪B3,且B1,B2,B3两两互斥.根据题意得P(C)=P(B1)P(C|B1)+P(B2)P(C|B2)+P(B3)P(C|B3)=515×60100+415×75100+615×50100=35.
变式题 (1)B (2)0.56 [解析] (1)设A=“发送的信号为0”, B=“接收到的信号为0”,则A=“发送的信号为1”, B=“接收到的信号为1”,则P(A)=0.5,P(A)=0.5,P(B|A)=0.9,P(B|A)=0.1,P(B|A)=0.05,P(B|A)=0.95,所以接收的信号为0的概率P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=0.5×0.9+0.5×0.05=0.475,所以接收的信号为1的概率P(B)=1-P(B)=1-0.475=0.525.故选B.
(2)记取到一等麦种和二等麦种分别为事件A1,A2,所结麦穗含有50粒以上麦粒为事件B,则P(A1)=0.9,P(A2)=0.1,P(B|A1)=0.6,P(B|A2)=0.2,由全概率公式可得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.9×0.6+0.1×0.2=0.56.
例2 [思路点拨] (1)记事件A为某人患肝癌,事件B为化验结果呈阳性,利用全概率公式求出P(B)的值,再利用贝叶斯公式可求得所求事件的概率.(2)利用全概率公式求得“取到一件产品为正品”的概率,再根据贝叶斯公式求得正确答案.
(1)C (2)丙 [解析] (1)记事件A为某人患肝癌,事件B为化验结果呈阳性,由题意可知P(A)=11000,P(B|A)=9991000,P(B|A)=11000,所以P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=11000×9991000+9991000×11000=9995×105,现在某人的化验结果呈阳性,则他真的患肝癌的概率是P(A|B)=P(AB)P(B)=P(A)P(B|A)P(B)=9991069995×105=12.故选C.
(2)“取到一件产品为正品”的概率为0.95×22+3+5+0.9×32+3+5+0.8×52+3+5=0.86,则它是由甲厂生产的概率为0.95×22+3+50.86=1986,它是由乙厂生产的概率为0.9×32+3+50.86=2786,它是由丙厂生产的概率为0.8×52+3+50.86=2043,因为2043>2786>1986,所以它是由丙厂生产的概率最大.
变式题 (1)B (2)0.35 [解析] (1)记事件A为从剩下的9箱中随机打开2箱,结果是1箱语文书、1箱数学书,记事件B1为丢失的一箱是语文书,事件B2为丢失的一箱是数学书,事件B3为丢失的一箱是英语书,则P(A)=∑i=13P(Bi)P(A|Bi)=12×4×3C92+310×5×2C92+15×5×3C92=13,P(AB3)=P(B3)P(A|B3)=15×5×3C92=112,由贝叶斯公式可得P(B3|A)=P(AB3)P(A)=14.故选B.
(2)记事件M为这人患了流感,事件N1,N2,N3分别为这人来自A,B,C地区.由题意可知P(N1)=0.2,P(N2)=0.35,P(N3)=0.45,P(M|N1)=0.02,P(M|N2)=0.065,P(M|N3)=0.085,则P(M)=P(N1)P(M|N1)+P(N2)P(M|N2)+P(N3)P(M|N3)=0.065,则P(N2|M)=P(N2)P(M|N2)P(M)=0.35.
例3 解:(1)设事件A为“甲最终获胜”,事件B为“乙最终获胜”.设事件C1为“在第一、二回射击中甲均获胜”,则P(A|C1)=1;设事件C2为“在第一、二回射击中乙均获胜”,则P(A|C2)=0;设事件C3为“在第一、二回射击中甲、乙各获胜一次”,则P(A|C3)=P(A).
显然P(C1)=α2,P(C2)=β2,P(C3)=2αβ,由全概率公式,得P(A)=P(A|C1)P(C1)+P(A|C2)P(C2)+P(A|C3)P(C3)=α2+0+2αβP(A),解得P(A)=α21-2αβ,
同理,P(B)=P(B|C1)P(C1)+P(B|C2)P(C2)+P(B|C3)P(C3)=β2+0+2αβP(B),解得P(B)=β21-2αβ.
(2)因为P(A)+P(B)=α2+β21-2αβ=(α+β)2-2αβ1-2αβ=1,所以比赛不会无限地一直进行下去.
变式题 解:(1)①设事件A=“该同学有购买意向”,事件Bi=“该同学来自(i)班”(i=1,2,3).
由题意可知P(B1)=27,P(B2)=13,P(B3)=821,P(A|B1)=12,P(A|B2)=13,P(A|B3)=14,由全概率公式可得P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=27×12+13×13+821×14=2263.
②由贝叶斯公式可得P(B2|A)=P(B2)P(A|B2)P(A)=13×132263=722.
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(进群送往届全部资料)(2)由题意可得每次叫价增加1元的概率为23,每次叫价增加2元的概率为13.设叫价为n(3≤n≤10)元的概率为Pn,叫价出现n元的情况只有下列两种:
①叫价为n-1元,且骰子点数大于2,其概率为23Pn-1;
②叫价为n-2元,且骰子点数小于3,其概率为13Pn-2.
所以Pn=23Pn-1+13Pn-2(n≥3),易得P1=23,P2=23×23+13=79,因为Pn-Pn-1=-13Pn-1+13Pn-2=-13(Pn-1-Pn-2)(n≥3),所以当n≥2时,数列{Pn-Pn-1}是首项为19,公比为-13的等比数列,所以Pn-Pn-1=19×-13n-2(n≥2),所以P10=P1+(P2-P1)+(P3-P2)+…+(P9-P8)+(P10-P9)=23+19×1--1391--13=34+14×1310≈0.75,故甲同学获得该笔记本购买资格的概率约为0.75.