08 第64讲　离散型随机变量的分布列、数字特征 【答案】听课 高考数学二轮复习练习

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【知识聚焦】
1.有限个
3.(1)x1p1+x2p2+…+xnpn 平均水平
(2)[x1-E(X)]2p1+[x2-E(X)]2p2+…+[xn-E(X)]2pn 离散程度 (3)①aE(X)+b ②a2D(X)
【对点演练】
1.0.2 [解析] 由离散型随机变量分布列的性质以及已知条件得m+n+0.2=1,m+2n=1.2,解得m=n=0.4,因此m-n2=0.2.
2.13 [解析] 由题意可知P(X=0)+P(X=1)=2a+a=1,解得a=13.
3.10.4 [解析] 因为E(X)=1×0.1+2×0.3+3×0.4+4×0.1+5×0.1=2.8,所以E(3X+2)=3E(X)+2=3×2.8+2=10.4.
4.1,2,3,4,5,6,7 [解析] 因为取到白球时停止操作,所以最少取球次数为1,即第一次就取到了白球;最多取球次数是7,即把所有的黑球取完之后才取到白球.所以取球次数可以是1,2,3,4,5,6,7.
5.37 [解析] 因为随机变量X的分布列为P(X=i)=k2i(i=1,2,3),所以k21+k22+k23=1,解得k=87,所以P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=874+878=27+17=37.
6.12 1116 [解析] 由题意知2c2+12c+12c=1,即2c2+c-1=0,即(2c-1)(c+1)=0,解得c=12或c=-1,由c>0,得c=12.则E(X)=0×12+1×14+2×14=34,又E(X2)=02×12+12×14+22×14=54,所以D(X)=E(X2)-[E(X)]2=54-342=1116.
0.096 [解析] 当X=0时,表示前三次都没有命中,第四次还要射击,但结果不计,所以P(X=0)=0.43=0.064.当X=1时,表示前两次都没有命中,第三次命中,所以P(X=1)=0.6×0.42=0.096.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)根据离散型随机变量分布列的性质即可得到a+c=23,进而可求P(|X|=1).(2)根据分布列中的数据计算出P(X≤-2),P(X≤0)的值,然后对照数据得到结果.
(1)C (2)B [解析] (1)由分布列可知a+c=1-13=23,故P(|X|=1)=P(X=1)+P(X=-1)=a+c=23,故选C.
(2)由分布列知P(X≤-2)=0.2+0.1=0.3,P(X≤0)=0.1+0.2+0.2=0.5,∴当m∈(-2,0]时,P(X变式题 (1)0.6 (2)310 [解析] (1)因为随机变量X服从两点分布,且P(X=1)-P(X=0)=0.2,所以P(X=1)-P(X=0)=0.2,P(X=1)+P(X=0)=1,解得P(X=1)=0.6.
(2)∵随机变量X的分布列为P(X=k)=mk(k+1)(k=1,2,3,4,5),∴P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=m11×2+12×3+13×4+14×5+15×6=1,解得m=65,∴P32例2 [思路点拨] (1)利用期望公式与分布列的性质得到关于a,b的方程组,从而求得a,b的值,再利用方差公式即可得解.(2)根据期望公式求得随机变量X的期望,之后利用方差公式求得随机变量X的方差,再根据二次函数的性质求得结果.
(1)B (2)C [解析] (1)因为E(X)=13,且各概率之和为1,所以-2a+0×13+b=13,a+13+b=1,解得a=19,b=59,所以D(X)=19×-2-132+13×0-132+59×1-132=89.故选B.
(2)根据题意可得,E(X)=0+a+13=a+13,则D(X)=0-a+132×13+a-a+132×13+1-a+132×13=2a2-2a+29=2a-122+329,所以当a在(0,1)内逐渐减小时,D(X)先减小后增大.故选C.
变式题 (1)ABC (2)ABD [解析] (1)由题意得,12+b+16=1,∴b=13,故选项A正确;销售该商品5件,其中3件单件销售利润为0元的概率为C53×123×122=516,故选项B正确;E(X)=0×12+13×a+2×16=13(a+1),可知D(X)=0-13(a+1)2×12+a-13(a+1)2×13+2-13(a+1)2×16=19×(2a2-2a+5)=19×2a-122+92,所以当a=12时,D(X)min=12,故选项C正确;当D(X)=12时,E(X)=13×12+16×2=12,故选项D错误.故选ABC.
(2)由分布列的性质可得16+a+b=1,解得a+b=56①.因为E(X)=0×a+1×b+2×16=1,所以b=23②,联立①②解得a=16,b=23,所以D(X)=(0-1)2×16+(1-1)2×23+(2-1)2×16=13.因为Y=2X-1,所以E(Y)=2E(X)-1=1,D(Y)=4D(X)=4×13=43.故选ABD.
例3 [思路点拨] (1)根据题意,利用全概率公式计算即可求解;(2)由题意可得X的所有可能取值为0,2,4,6,利用独立事件的概率公式计算求出对应的概率,列出X的分布列,求出E(X)即可.
解:(1)设该同学所选的题目为天文、航天、数字科技相关知识的题目分别为事件A1,A2,A3,所选的题目回答正确为事件B,则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.4×23+0.4×12+0.2×13=815,所以该同学在题库中任选一题作答,他回答正确的概率为815.
(2)由题可知X的所有可能取值为0,2,4,6,
P(X=0)=1-23×1-12×1-13=19,
P(X=2)=23×1-12×1-13+1-23×12×1-13+1-23×1-12×13=718,
P(X=4)=23×12×1-13+1-23×12×13+23×1-12×13=718,P(X=6)=23×12×13=19,
则X的分布列为
所以E(X)=0×19+2×718+4×718+6×19=3.
变式题 解:(1)由题意可知,某顾客抽奖一次积3分的频率是630=15,则由频率估计概率,估计某顾客抽奖一次积3分的概率为15.某顾客抽奖一次积2分的频率是930=310,则由频率估计概率,估计某顾客抽奖一次积2分的概率为310.
(2)由题意可知X的所有可能取值为4,5,6,7,8.
P(X=8)=C152C302=729,P(X=7)=C151C91C302=929,P(X=6)=C92+C61C151C302=42145,P(X=5)=C61C91C302=18145,P(X=4)=C62C302=129.则X的分布列为
故E(X)=8×729+7×929+6×42145+5×18145+4×129=6.6.
例4 [思路点拨] (1)首先求随机抽捡的100个“昭通苹果”中A级品的频率,以频率估计概率,再根据独立重复事件求概率;(2)分别求出购进170千克和180千克时的平均利润,比较后,即可确定.
解:(1)由表中的数据可知,抽到A级品的频率为50100=12,故估计抽到A级品的概率为12,所以抽取的10个“昭通苹果”中有4个A级品的概率P=C104×124×126=105512.
(2)若超市购进170千克“昭通苹果”,则设利润为Y1元,卖出的“昭通苹果”为X1千克,则X1的可能取值为170,160,150,Y1的可能取值为(10-6)×170=680,(10-6)×160+(4-6)×10=620,(10-6)×150+(4-6)×20=560,
P(Y1=680)=P(X1=170)=20-2-420=710,P(Y1=620)=P(X1=160)=420=15,P(Y1=560)=P(X1=150)=220=110,则Y1的分布列为
E(Y1)=680×710+620×15+560×110=656.
若超市购进180千克“昭通苹果”,则设利润为Y2元,卖出的“昭通苹果”为X2千克,则X2的可能取值为180,170,160,150,Y2的可能取值为(10-6)×180=720,(10-6)×170+(4-6)×10=660,(10-6)×160+(4-6)×20=600,(10-6)×150+(4-6)×30=540,
P(Y2=720)=P(X2=180)=20-2-4-520=920,P(Y2=660)=P(X2=170)=520=14,P(Y2=600)=P(X2=160)=420=15,P(Y2=540)=P(X2=150)=220=110,
则Y2的分布列为
E(Y2)=720×920+660×14+600×15+540×110=663.X
0
2
4
6
P
19
718
718
19
X
8
7
6
5
4
P
729
929
42145
18145
129
Y1
680
620
560
P
710
15
110
Y2
720
660
600
540
P
920
14
15
110
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(进群送往届全部资料)因为E(Y1)所以超市应购进180千克“昭通苹果”.
变式题 解:(1)设投资项目一获利X1万元,则X1的分布列为
∴E(X1)=60×79+(-30)×29=40.
设投资项目二获利X2万元,则X2的分布列为
∴E(X2)=100×35+0×115+(-60)×13=40,
∴E(X1)=E(X2).
D(X1)=(60-40)2×79+(-30-40)2×29=1400,
D(X2)=(100-40)2×35+(0-40)2×115+(-60-40)2×13=5600,∴D(X1)这说明虽然项目一、项目二获利的均值相等,但项目一更稳妥.综上所述,建议该投资公司选择项目一进行投资.
(2)假设n年后总资产可以翻两番,依题意得200×1+40200n=800,即1.2n=4,等号两边取对数,得n·lg 1.2=lg 4,则n=2lg22lg2+lg3-1≈7.61,∴大约在2031年年底总资产可以翻两番.
X1
60
-30
P
79
29
X2
100
0
-60
P
35
115
13