人教版（2024）八年级上册第十一章 三角形11.2 与三角形有关的角本节综合教学设计

这是一份人教版（2024）八年级上册第十一章 三角形11.2 与三角形有关的角本节综合教学设计，共16页。
第1课时 三角形的内角和
课时目标
1.学生通过度量或剪图、拼图等过程,感知三角形内角和等于180°,经历添加辅助线证明三角形内角和定理的过程,锻炼学生的动手操作能力和合作探究能力,让学生体验教学活动的探索性和创造性,发展学生几何直观能力的核心素养.
2.能运用三角形内角和定理解决简单的与三角形中角有关的计算和证明问题,培养学生用数学知识解决简单几何问题的能力.
学习重点
三角形内角和定理.
学习难点
三角形内角和定理的推理过程.
课时活动设计
情境导入
我们在小学已经知道,任意一个三角形的内角和等于180°,那么怎样证明这个结论的正确性呢?小学中我们通过度量的方法进行过验证,但我们不可能对所有的三角形进行验证,有没有一种能证明任意三角形的内角和等于180°的方法呢?
设计意图:提出问题,使学生产生强烈的求知欲,为下一环节打下基础.
探究新知
探究1 三角形的内角和
1.在准备的三角形硬纸上标出三角形三个内角的编码,如图1.
2.让学生动手把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处(如图2),用量角器量出∠BCD的度数,可得∠A+∠B+∠ACB=180°.
3.把∠B和∠C剪下按下图拼在一起(如图3),用量角器量一量∠MAN的度数,会得到什么结果?
教师在学生完成后,提出问题,小组交流.
(1)在图2中,直线BC与AB是什么关系?
解:相交.
(2)在图3中,直线MN与BC是什么关系?
解:平行.
你能从中找到三角形内角和定理的证明方法吗?
探究2 证明三角形内角和定理
三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°.
已知:△ABC如图所示.
求证:∠A+∠B+∠C=180°.
教师引导学生从上面的操作中得到证明三角形内角和定理的方法,然后规范地写出证明过程.注意向学生提示辅助线要用虚线.
证明:如图,过点A作直线l,使l∥BC.
∵l//BC,∴∠2=∠4(两直线平行,内错角相等).
同理∠3=∠5.
∵∠1,∠4,∠5可以组成平角,
∴∠1+∠4+∠5=180°(平角定义).
∴∠1+∠2+∠3=180°(等量代换).
以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都等于180°,得到如下定理.
三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°.
除上述方法外,你能想出这个定理的其他证法吗?
学生先独立思考,然后小组交流.
教师总结点拨:多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是借助平行线的“移角”的功能,将三个角转化成一个平角.为了证明三个角的和等于180°,将三个角转化为一个平角或同旁内角互补等,这种转化思想是数学中的常用方法.
师生合作交流,归纳出几种常见的验证方法的辅助线作法(如图):
设计意图:学生通过度量、剪拼等操作,进一步感知三角形三个内角的和等于180°,通过小组共同探究,发现操作的局限性,进而了解证明的必要性;另一方面从动手操作的过程中受到启发,感悟添加辅助线的方法,获得证明思路,体会辅助线在几何证明中的重要作用.培养学生的抽象能力,学会用数学语言表达现实世界.感悟几何证明的意义,体会几何证明的规范性.鼓励学生从不同的角度思考问题,进一步体会作辅助线的方法,丰富学生的解题经验.
典例精讲
例1 如图,在△ABC中,∠BAC=40°,∠B=75°,AD是△ABC的角平分线.求∠ADB的度数.
分析:∠ADB是△ABD的一个内角,在△ABD中,∠B=75°,如果能求出∠BAD的度数,就能求出∠ADB的度数.
解:由∠BAC=40°,AD是△ABC的角平分线,得∠BAD=12∠BAC=20°.
在△ABD中,∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°.
例2 如图是A,B,C三岛的平面图,C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛的北偏东80°方向,C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度?从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是多少度?
分析:A,B,C三岛的连线构成△ABC,所求的∠ACB是△ABC的一个内角,如果能求出∠CAB,∠ABC,就能求出∠ACB.
解法一:∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°.
由AD∥BE,得∠BAD+∠ABE=180°.
所以∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°,
∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°.
在△ABC中,∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°,
答:从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60°,从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°.
如果不求∠ABC,能不能求∠ACB?
解法二:如图,过点C作CF,使CF∥AD.
由CF∥AD,得∠ACF=∠DAC=50°.
由CF∥BE,得∠BCF=∠CBE=40°.
所以∠ACB=∠ACF+∠BCF=50°+40°=90°.
答:从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°.
我们发现解法二中,没有用到“B岛在A岛的北偏东80°方向”(即∠BAD=80°)这个条件,那么仍然采用解法一的基本思路,不添加任何辅助线,能否不用这个“多余”的条件呢?
解法三:由AD∥BE,可得∠BAD+∠ABE=180°,
即∠BAC+∠CAD+∠ABC+∠CBE=180°.
所以∠BAC+∠ABC=180°-(∠CAD+∠CBE)=180°-(50°+40°)=90°.
在△ABC中,∠ACB=180°-(∠BAC+∠ABC)=180°-90°=90°.
答:从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°.
问题:解法一明明用到了∠DAB=80°这个条件,它为什么没有对结果产生干扰呢?你能看出其中的奥秘吗?
提示:只要把解法一用一个综合算式来表示,就能看出其中的奥秘?
解:∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-(∠ABE-∠EBC)-(∠BAD-∠CAD)=180°-(180°-∠BAD-∠EBC)-(∠BAD-∠CAD)=180°-180°+∠BAD+∠EBC-∠BAD+∠CAD=∠EBC+∠CAD.
设计意图:例1运用三角形内角和定理求相关角的度数,促进学生进一步巩固定理内容.例2利用三角形内角和定理解决生活中的简单问题,通过一题多解,培养学生思维的发散性,提高学生的应用意识和数学表达能力.
巩固练习
1.在△ABC中,若∠A=30°,∠B=50°,则∠C= 100° .
2.如图,在△ABC中,∠1+∠2+∠3+∠4= 280° .
3.如图,在△ABC中,BP平分∠ABC,CP平分∠ACB.
(1)若∠A=60°,求∠BPC的度数;
(2)写出∠BPC与∠A之间的数量关系.
解:(1)∵△ABC中,∠A=60°,
∴∠ABC+∠ACB=120°.
∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,
∴∠PBC+∠PCB=12(∠ABC+∠ACB)=60°.
∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°,
∴∠BPC=180°-60°=120°.
(2)∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,
∴∠PBC+∠PCB=12(∠ABC+∠ACB).
∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°,
∴∠BPC=180°-12(∠ABC+∠ACB)=180°-12(180°-∠A)=90°+12∠A.
设计意图:培养学生分析问题、解决问题的能力.当堂检测,及时反馈学习效果.
课堂小结
1.通过本节课的学习,你在知识上有哪些收获?你是通过什么方法获得这些知识的?
2.本节课的主要内容.
(1)三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°.
(2)求一个角的度数的方法:将所求角设法转化到三角形中,或添加辅助线,利用三角形的内角和等于180°来解题.
(3)求一个角的度数的技巧:适当的设出未知数,利用方程思想来解题,也可适当运用整体思想来解题.
设计意图:复习巩固本节课的知识,学会总结反思,培养学生的归纳概括能力和语言表达能力.
课堂8分钟.
1.教材第13页练习第1,2题,第16页习题11.2第1题.
2.七彩作业.
教学反思

第2课时 直角三角形的两个锐角互余
课时目标
1.理解并掌握直角三角形的性质和判定,体会从一般到特殊的数学思想,增强合作交流的能力和创新意识.
2.能运用直角三角形的性质和判定解决简单问题,培养学生应用数学知识解决简单几何问题的能力.
学习重点
了解直角三角形两个锐角的关系.
学习难点
1.掌握直角三角形的判定.
2.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.
课时活动设计
回顾复习
1.三角形的内角和是多少度?
2.我们学习过的三角形按角分类,能分为哪些呢?
设计意图:回顾上节课所学知识,为本节课所学内容做准备,为后续学习作铺垫.
回顾引入
我们学习几何知识,通常先学习一般图形,再学习特殊图形.上节课我们学习了一般三角形的一个重要性质,就是三角形的内角和定理,它反映了三角形三个内角之间的关系,今天我们学习有一个特殊内角的三角形——直角三角形.
直角三角形可以用符号“Rt△”表示,如图所示的直角三角形ABC可以表示为“Rt△ABC”.
直角三角形作为特殊的三角形,它是否具有一般三角形的性质呢?换言之,三角形的内角和定理适用于直角三角形吗?直角三角形的内角之间还有什么独特的性质吗?
设计意图:通过新旧知识的衔接,构成知识之间的联系,提出问题,激发学生的学习兴趣,并启发学生思考.
探究新知
探究1 直角三角形的性质
我们常用的直角三角板,两锐角的度数之和为多少度?
准备一张直角三角形纸片,教师引导学生类比三角形内角和定理的探索步骤自主探究,小组交流.
(1)测量角度:用量角器分别测量直角三角形两个锐角的度数,精确到度,看它们是否互余;
(2)猜想结论:多次测量后,得到共同的结论“直角三角形的两个锐角互余”;
(3)拼合验证:把直角三角形纸片的两个锐角剪下,拼合在一起,看能否组成直角;
(4)演绎证明:已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.求证:∠A+∠B=90°.
证明:在Rt△ABC中,∠C=90°,
由三角形内角和定理,得∠A+∠B+∠C=180°,即∠A+∠B+90°=180°,
所以∠A+∠B=90°.
(5)定理表述:证明后的结论可以作为定理使用.这个结论“直角三角形的两个锐角互余”可以看作是三角形内角和定理的一个推论.
探究2 直角三角形的判定
我们知道,如果一个三角形是直角三角形,那么这个三角形有两个角互余.反过来,有两个角互余的三角形是直角三角形吗?请同学们说说理由.
学生独立画图,写出已知,求证,并证明.
教师点拨:在没有证明三角形是直角三角形之前,不能默认它是直角三角形,比如:不能给三角形标注直角符号.
已知:如图,在△ABC中,∠A+∠B=90°.求证:△ABC是直角三角形.
证明:在△ABC中,因为∠A+∠B+∠C=180°,
又因为∠A+∠B=90°,所以∠C=90°.
所以△ABC是直角三角形.
教师总结:有两个角互余的三角形是直角三角形.
设计意图:本环节让学生体会从具体到抽象、从特殊到一般的研究问题的方法,探究出直角三角形的性质之后,学生自主探究直角三角形的判定并完成证明.在此过程中不仅培养了学生的抽象能力,使学生学会用数学语言表达现实世界,感悟几何证明的意义,还让学生体会到几何证明的规范性.
典例精讲
例 如图,∠C=∠D=90°,AD,BC相交于点E.∠CAE与∠DBE有什么关系?为什么?
解:在Rt△ACE中,∠CAE=90°-∠AEC.
在Rt△BDE中,∠DBE=90°-∠BED.
∵∠AEC=∠BED,
∴∠CAE=∠DBE.
设计意图:该例题是对直角三角形的性质和余角的性质的综合运用,通过探究此题,提高学生解决问题的能力,发展学生的推理能力,提高学科素养.
巩固练习
1.满足下列条件的△ABC中,不是直角三角形的是( D )
A.∠A+∠B=∠C B.∠A-∠B=∠C
C.∠A：∠B：∠C=1：2：3 D.∠A=∠B=3∠C
2.在△ABC中,若∠A=43°,∠B=47°,则这个三角形是 直角三角形 .
3.如图,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,D是AB上一点,且∠ACD=∠B.求证:△ACD是直角三角形.
证明:∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°.
∵∠ACD=∠B,
∴∠A+∠ACD=90°.
∴△ACD是直角三角形.
设计意图:围绕课堂中的主要问题,当堂训练,及时反馈学习效果.
课堂小结
本节课上,同学们学到了什么知识?还学到了探索几何知识的哪些方法?
1.本节课的主要内容是直角三角形的性质及判定,即“直角三角形的两个锐角互余”,以及“有两个角互余的三角形是直角三角形”.
2.学习方法,可以启发学生总结,比如:
(1)采用类比的方法探索新知;
(2)通过“测量角度——猜想结论——拼合验证——演绎证明——定理表述”等步骤研究新知;
(3)利用基本图形特征,应用新知.
设计意图:复习巩固本节课所学知识,及时进行总结反思.通过对数学知识的学习,感悟知识的获取过程,提高对数学思想方法的认识.
课堂8分钟.
1.教材第14页练习第1,2题.第16,17页习题11.2第4,10题.
2.七彩作业.
教学反思

11.2.2 三角形的外角
课时目标
1.让学生经历观察、思考、猜想、推理、归纳的过程,理解并掌握三角形的外角的概念和性质.
2.会用三角形的外角性质解决简单的与三角形外角有关的计算和证明问题,培养学生用数学知识解决简单几何问题的能力.
3.通过观察和动手操作,体会探索过程,学会推理的数学思想方法,培养主动探索、勇于发现,敢于实践及合作交流的习惯.
学习重点
掌握三角形的外角的性质.
学习难点
会利用三角形的外角性质解决有关问题.
课时活动设计
导入新课
1.如图,△ABC的三个内角是什么?它们有什么关系?
若延长BC至D,则∠ACD是什么角?这个角与△ABC的三个内角有什么关系?
设计意图:复习旧知识,提出新问题,激发学生探究的兴趣,为本节所学内容作铺垫.
探究新知
探究1 三角形外角的概念
学生自主阅读教材第14页最后一段话,了解三角形外角的概念.
如图,∠ACD叫做△ABC的外角,也就是三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.
三角形外角的特征:(1)顶点在三角形的一个顶点上;(2)一条边是三角形的一边;(3)另一条边是三角形某条边的延长线.
想一想:三角形的外角共有几个?
解:共6个.
注意:三角形的每个顶点处有两个外角,它们是对顶角.
探究2 三角形外角的性质
如图,三角形的外角∠ACD与相邻的∠ACB是邻补角,那与另外两个角有怎样的数量关系?
解:因为∠ACD+∠ACB=180°,∠A+∠B+∠ACB=180°,
所以∠A+∠B=180°-∠ACB,∠ACD=180°-∠ACB.
所以∠A+∠B=∠ACD.
追问1:你能用文字语言叙述这个结论吗?
解:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
在这里,我们通过三角形内角和定理直接推出的结论,和定理一样,推论可以作为进一步推理的依据.
追问2:由加数与和的关系,你还能知道什么?
解:三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.
即∠ACD>∠A,∠ACD>∠B.
追问3:你能用作平行线的方法证明此结论吗?
如图,这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线,求证:∠ACD=∠A+∠B.
学生先独立思考后组内交流,最后师生共同完成.
证明:因为CM∥AB,所以∠A=∠1,∠B=∠2.
又因为∠ACD=∠1+∠2,
所以∠ACD=∠A+∠B.
设计意图:让学生学会用数学语言表达现实世界.师生共同完成证明过程,让学生通过严格的逻辑推理证明三角形外角的性质,感悟几何证明的意义,体会几何证明的规范性.
典例精讲
例 如图,∠BAE,∠CBF,∠ACD是△ABC的三个外角,它们的和是多少?
分析一:∠BAE与∠2,∠3,∠CBF与∠1,∠3,∠ACD与∠1,∠2有什么关系?∠1,∠2,∠3有什么关系?
解法一:由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,得∠BAE=∠2+∠3,∠CBF=∠1+∠3,∠ACD=∠1+∠2.
所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3).
由∠1+∠2+∠3=180°,得∠BAE+∠CBF+∠ACD=2×180°=360°.
你还有其他解法吗?
分析二:∠BAE与∠1,∠CBF与∠2,∠ACD与∠3有什么关系?∠1,∠2,∠3有什么关系?
解法二:因为∠BAE+∠1=180°,∠CBF+∠2=180°,∠ACD+∠3=180°,
所以∠BAE+∠CBF+∠ACD+(∠1+∠2+∠3)=540°.
因为∠1+∠2+∠3=180°,
所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°.
解法三:如图,过点A作AM平行于BC,
所以∠ACD=∠EAM,∠CBF=∠BAM,∠CBF+∠ACD=∠BAM+∠EAM.
所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=∠BAE+∠BAM+∠EAM=360°.
你能用语言叙述本例的结论吗?
解:三角形外角的和等于360°.
设计意图:通过例题,让学生会运用三角形的外角性质解决问题,同时巩固三角形的内角和定理.通过一题多解,鼓励学生从不同的角度思考问题,培养学生的发散思维能力,并让学生学会总结,用最优的方法解决问题.
巩固练习
如图,点D在△ABC边AB的延长线上,DE∥BC.若∠A=35°,∠C=24°,则∠D的度数是( B )
A.24° B.59° C.60° D.69°
2.如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
解:∵∠CFG是△FBE的外角,
∴∠CFG=∠B+∠E.
同理∠CGF=∠A+∠D.
在△CFG中,∠C+∠CFG+∠CGF=180°,
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
设计意图:通过练习,进一步巩固所学知识.当堂检测,及时反馈,查漏补缺.
课堂小结
1.什么是三角形的外角?
2.三角形的外角有哪些性质?
设计意图:及时总结反思,巩固本节课所学知识,培养学生归纳总结的能力.
课堂8分钟.
1.教材第15页练习,第17页习题11.2第11题.
2.七彩作业.
教学反思