四川省仁寿第一中学校南校区2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题

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1.若随机变量，随机变量，则（ ）
A．0B．C．D．2
2.设是可导函数，且，则（ ）
A. 2 B. C. D.
3.如图是某个闭合电路的一部分，每个元件正常导电的概率为，则从到这部分电源能通电的概率为（ ）
A． B． C． D．
4.已知的展开式第3项的系数是60，则展开式所有项系数和是（ ）
A.-1 B.1 C.64 D.
5.下列命题不正确的是（ ）
A.正十二边形的对角线的条数是54；
B. 身高各不相同的六位同学，三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法；
C.有5个元素的集合的子集共有32个；
D. 6名同学被邀请参加晚会，其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，共有32种去法.
6．某校团委对“学生性别和喜欢某视频是否有关”做了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的一半，男生喜欢该视频的人数占男生人数的，女生喜欢该视频的人数占女生人数的，若依据小概率值的独立性检验，认为喜欢该视频和性别有关，则男生至少有（ ）
附：
.
A．12人B．6人C．10人D．18人
7.已知0为函数的极小值点，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8．已知过点不可能作曲线的切线．对于满足上述条件的任意的b，函数恒有两个不同的极值点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布，）
A B. C. D.
10.设函数,则( )
A．是的极小值点 B．当时,
C．当时, D．当时,
11．已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则的值域为
B．若，则过原点有且仅有一条直线与曲线相切
C．存在，使得有三个零点
D．若，则的取值范围为
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________.
13.已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是________．
14．若，，，对任意，总存在唯一的，使得成立，则实数a的取值范围 ．
四、解答题：共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）某社区举办“闹元宵，猜灯谜”活动.甲、乙、丙三个家庭同时参加此活动．某一灯谜，已知甲家庭猜对的概率是，甲、丙两个家庭都猜错的概率是，乙、丙两个家庭都猜对的概率是．若各家庭是否猜对互不影响．
(1)求乙、丙两个家庭各自猜对此灯谜的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭猜对此灯谜的概率．
16.（15分）已知函数（为实数，且），在区间上最大值为，最小值为.
（1）若函数在区间上为减函数，求实数的取值范围；
（2）过点作函数图象的切线，求切线方程.
17.（15分）台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：令，数据经过初步处理得：

现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数.
(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好?
(2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少?
18.（17分） 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．（1）若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
（2）假设，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
19．（17分）已知函数，且在上的最小值为0.
(1)求实数的取值范围；
(2)设函数在区间上的导函数为，若对任意实数恒成立，则称函数在区间上具有性质.
（i）求证：函数在上具有性质；
（ii）记，其中，求证：.0.050
0.010
3.841
6.635
44
4.8
10
40.3
1.612
19.5
8.06