上海外国语大学附属浦东外国语学校2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题

这是一份上海外国语大学附属浦东外国语学校2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题，共11页。试卷主要包含了09，; 2，A 14等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．已知全集，集合，则________．
2．已知复数满足，则________．
3．若直线与直线垂直，则实数________．
4．已知函数图像的一部分如图所示，则________．
5．已知，均为单位向量，且，则与的夹角的余弦值为________．
6．在正项等比数列中，，是的两个根，则________．
7．在棱长为1的正方体中，是的中点，若，都是上的点，且，是上的点，则三棱锥的体积是________．
8．已知函数，不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是________．
9．已知定点，点为椭圆的右焦点，点在椭圆上移动，求的最大值与最小值的和为________．
10．若函数在区间上的值域为，则称区间为函数的一个“倒值区间”．已知定义在上的奇函数，当时，，则函数在上的“倒值区间”为________．
11．平面内互不重合的点、、、、、、，若，，2，3，4，则的取值范围是________．
12．设关于的方程的从小到大的第个非负解为，若数列是无穷等差数列，且在区间中的项恰好比在区间中的项少2项，则的取值集合为________．
二、选择题（13-14每题4分，15-16每题5分）
13．已知，，则是的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．既不充分也不必要 D．充分必要
14．空间和两条异面直线同时都垂直且相交的直线（ ）
A．不一定存在 B．有且只有1条
C．有1条或不存在 D．有无数条
15．已知在R上是增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题 D．①为假合题，②为真命题
三、解答题（）
17．（）已知的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求的值；
（2）若，求面积的最大值．
18．（）为了提高浦东新区的教育数学水平，数育局打算从区内某学校推荐的10名教师中任选3人去参加教学交流活动。这10名教师中，语文教师3人，数学教师4人，英语教师3人．求：
（1）选出的语文数师人数多于数学教师人数的概率；
（2）选出的3人中，语文教师人数的分布列和数学期望．
19．（）如图，在正方体中，，，分别是，的中点．
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求点到平面的距离．
20．（）已知抛物线，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为．
（1）若到扰物线准线的距离为3，求的值；
（2）当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离：
（3）直线，是第一象限内上异于的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为．若在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围．
21．（）已知函数，
（1）当时，求函数的极值；
（2）求函数的单调区间：
（3）若对任意的实数，，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”．当时，若函数是“恒切函数”，求证：．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．平面内互不重合的点、、、、、、，若，，2，3，4，则的取值范围是________．
【答案】【解析】设为的重心，则
因为,所以,
即在以点为圆心,为半径的圆上,
不妨设点与坐标原点重合,作出半径分别为,的同心圆,如图所示,
则,当且仅当都在线段上,等号成立,而
当且仅当在线段上,且在线段上，在线段上时，等号成立。
综上所述,的最大值为5,最小值为1,可知故答案为:.
12．设关于的方程的从小到大的第个非负解为，若数列是无穷等差数列，且在区间中的项恰好比在区间中的项少2项，则的取值集合为________．
【答案】
【解析】设第个正解,则的正解从小到大排列为,
由,得,因为数列是无穷等差数列,
所以,所以,
当时,,当时，,
因为在区间中的项恰好比在区间中的项少2项,
所以解得,
所以为正整数,且.故答案为:.
二、选择题
13.A 14.B 15.D 16.D
16．设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题 D．①为假合题，②为真命题
【答案】D
【解析】①不成立.可举反例:
②,
前两式作差可得:,
结合第三式可得:,同理可得:,
因此②正确.故选：D.
三．解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2）
20．（）已知抛物线，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为．
（1）若到扰物线准线的距离为3，求的值；
（2）当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离：
（3）直线，是第一象限内上异于的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为．若在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】(1)抛物线的准线为,由于到抛物线准线的距离为3,
则点的横坐标为2,则,解得；
(2)当时,点的横坐标为,则,设,则的中点为,
由题意可得,解得,所以,则,
由点斜式可得，直线的方程为,即,
所以原点到直线的距离为
(3)如图,设,则,
故直线的方程为,
令,可得,
即
则,依题意,恒成立,
又
则最小值为,即,即,
则,解得,
又当时,当且仅当时等号成立,
而,即当时,也符合题意.故实数的取值范围为.
21．（）已知函数，
（1）当时，求函数的极值；
（2）求函数的单调区间：
（3）若对任意的实数，，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”．当时，若函数是“恒切函数”，求证：．
【答案】（1）极小值,无极大值.
（2）当时,在单调递增,在单调递减;
当时,在单调递减. （3）见解析
【解析】(1)函数
当时,,,当时,单调递减，
当时,单调递增,故有极小值,无极大值.
(2)由,得,
当时,,,且为增函数,
时,在单调递增;
时,在单调递减;
当时,在单调递减,
综上,当时,在单调递增,在单调递减;
当时,在单调递减.
(3)证明:当时,函数是"恒切函数",
且设函数与直线切点
是方程的根，
设，则,
当时,单调递减;当时,单调递增;
且
是方程的根,或
，故