湖南省邵阳市第二中学等多校联考2025届高三上学期9月月考数学试题

这是一份湖南省邵阳市第二中学等多校联考2025届高三上学期9月月考数学试题，共10页。试卷主要包含了已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
2.已知等差数列的前项和为，若，且，则（ ）
A.60B.72C.120D.144
3.已知是定义在上的奇函数，若，则（ ）
A.B.C.2D.3
4.已知过点的直线与圆相交于，两点，若，则的斜率为（ ）
A.B.C.D.
5.中国冶炼铸铁的技术比欧洲早2000年左右，铸铁技术的诞生标志着真正的铁器时代的开始.现将一个表面积为的实心铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的实心铁锭，若该铁锭的上、下底面的边长分别为和，则该铁锭的高为（ ）
A.3cmB.C.D.
6.已知，是函数的图象上的两个不同的点，则（ ）
A.B.C.D.
7.已知正方体的棱长为，，，若平面，则线段的长度的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
8.已知，若，恒成立，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数，则（ ）
A.的最小正周期为B.在区间上无最大值
C.在区间上单调递减D.的图象关于直线对称
10.在平面直角坐标系中，已知点，，，，，的外接圆分别为圆、圆，则下列结论正确的是（ ）
A.直线的方程为B.点恒在圆外
C.若圆与圆的半径相等，则D.若，则圆的圆心的横坐标为0
11.已知圆锥的侧面积为，且母线长为底面半径的3倍，若线段为底面圆的一条直径，为线段的中点，为圆锥底面内一动点，且，则（ ）
A.圆锥的高为
B.一质点从点出发沿圆锥的侧面运动到点的路径最短为
C.与圆锥的侧面和底面均相切，且球心在线段上的球的半径为
D.动点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知复数在复平面内对应的点的横坐标为2，则______.
13.若，满足，且，则______.
14.已知平面向量，，满足，，，且，若恒成立，则实数的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
在中，角，，的对边分别为，，，已知.
（I）求；
（II）若，求的取值范围.
16.（15分）
如图，在三棱台中，平面，，，是棱的中点.
（I）求证：平面；
（II）求二面角的正弦值.
17.（15分）
已知是椭圆的右焦点，过点作两条相互垂直的动直线和，与交于，两点，与交于，两点.
（I）若轴，求；
（II）设，分别为线段，的中点，求证：直线过定点.
18.（17分）
已知函数，.
（I）若，求曲线在点处的切线方程.
（II）若有两个极值点，。
（i）证明：；
（ii）证明：.
19.（17分）
已知，，若方程有两个不相等的非零实数根，，设，，其中，称数列和为方程的“特征数列”.
（I）若，，求特征数列的前项和；
（II）若，，证明：为定值；
（III）从集合中随机取一个数作为，从集合中随机取一个数作为，求事件“且”的概率.
高三数学・答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.C 2.B 3.C 4.A 5.D 6.D 7.B 8.A
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.ACD 10.BC 11.BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 13. 14.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.解析（I）由已知得，
由余弦定理可得.
因为，所以.
（II）由正弦定理可得
因为，所以由（I）可知，
故，故，
则的取值范围是.
16.解析（I）如图，取棱的中点，连接，，.
则，所以点在平面内.
由已知可得，，且，所以四边形是正方形，
所以.
因为，所以.
又因为，且，平面，
所以平面.
（II）由题意知，，，
所以平面，所以.
故以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图.
不妨设，则，，，，，
故，.
设为平面的法向量，
则令，则.
由（I）知平面的一个法向量为.
所以，
所以二面角的正弦值为.
17.解析（I）由题意知.
因为轴，所以，两点的纵坐标相同，设为.
由椭圆方程，不妨令，，
因为，所以，
整理得，所以.
（II）设，.
当与的斜率都存在时，设直线，与联立，
消去，整理得，
，，
，
.
同理，用替换，可得.
当时，，两点的横坐标均为，故直线过点.
当时，，即，
此时直线过点.
当或与轴重合时，也与轴重合，此时直线也经过点，
综上可知，直线过定点.
18.解析（I）由题意知，则，
所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为.
（II）（i），则.
令，得.
设，则，，
令，得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以.
由有两个极值点，可得方程有两个实根，
即有两个实根，则.
（ii）由题意知，是方程的两个实根，即，且.
设，
则，
令，则当时，，
故在上单调递增，故，故当时，，
故在上单调递增，故，则.
则，即.
由（i）可知在上单调递减，故，则.
19.解析（I）解方程，得或3，所以.
所以.
（II）由题意可知，.
，
所以，
即为定值5.
（III）由题知一共有种不同的情况，且均满足和，所以方程一定有两个不相等的非零实数根，.
，要使，则需.
通过特例观察可以猜想，下面证明该等式：
.
，.
当，时，，所以的各项依次为，，，，，，…，不符合题意；
当，时，，所以的各项依次为，，，，，，…，符合题意；
当，时，由，可得，符合题意；
当，时，，所以的各项依次为，，，，，，…，符合题意；
当，时，由，可得，符合题意.
所以满足“且”的一共有（种）情况，
故所求概率为.