2024年广东省惠州市惠东县九年级数学第一学期开学学业水平测试模拟试题【含答案】

这是一份2024年广东省惠州市惠东县九年级数学第一学期开学学业水平测试模拟试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）矩形ABCD中AB=10，BC=8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，点D正好落在AB边上的F点．则AE的长是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
2、（4分）若是分式方程的根，则的值为( )
A．9B．C．13D．
3、（4分）若，则下列变形错误的是（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都为8.8环，方差分别为，，=0.48，=0.45，则四人中成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
6、（4分）如图，点M是直线y=2x+3上的动点，过点M作MN垂直于x轴于点N，y轴上是否存在点P，使得△MNP为等腰直角三角形，则符合条件的点P有（提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
7、（4分）若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B．C．D．
8、（4分）要测量河岸相对两点A、B的距离，已知AB垂直于河岸BF，先在BF上取两点C、D，使CD=CB，再过点D作BF的垂线段DE，使点A、C、E在一条直线上，如图，测出BD=10，ED=5，则AB的长是（ ）
A．2.5B．10C．5D．以上都不对
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）一组数据1，2，3，x，5的平均数是3，则该组数据的方差是_____．
10、（4分）已知一组数据1,2,0,-1,x,1的平均数是1,则这组数据的极差为____.
11、（4分）己知某汽车油箱中的剩余油量y（升）与该汽车行驶里程数x（千米）是一次函数关系，当汽车加满油后，行驶200千米，油箱中还剩油126升，行驶250千米，油箱中还剩油120升，那么当油箱中还剩油90升时，该汽车已行驶了____千米
12、（4分））如图，Rt△ABC中，C= 90，以斜边AB为边向外作正方形 ABDE，且正方形对角线交于点D，连接OC，已知AC=5，OC=6，则另一直角边BC的长为 ．
13、（4分）判断下列各式是否成立：
=2； =3； =4； =5
类比上述式子，再写出两个同类的式子_____、_____，你能看出其中的规律吗？用字母表示这一规律_____,
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）先化简，再求值：.其中.
15、（8分）在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连结BE．
（感知）如图①，过点A作AF⊥BE交BC于点F．易证△ABF≌△BCE．（不需要证明）
（探究）如图②，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G．
（1）求证：BE=FG．
（2）连结CM，若CM=1，则FG的长为 ．
（应用）如图③，取BE的中点M，连结CM．过点C作CG⊥BE交AD于点G，连结EG、MG．若CM=3，则四边形GMCE的面积为 ．
16、（8分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
17、（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1．求AC的长．
18、（10分）我市从 2018 年 1 月 1 日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自 行车的市场需求量日渐增多．某商店计划最多投入 8 万元购进 A、B 两种型号的 电动自行车共 30 辆，其中每辆 B 型电动自行车比每辆 A 型电动自行车多 500 元．用 5 万元购进的 A 型电动自行车与用 6 万元购进的 B 型电动自行车数量一 样．
（1）求 A、B 两种型号电动自行车的进货单价；
（2）若 A 型电动自行车每辆售价为 2800 元，B 型电动自行车每辆售价为 3500 元，设该商店计划购进 A 型电动自行车 m 辆，两种型号的电动自行车全部销售 后可获利润 y 元．写出 y 与 m 之间的函数关系式；
（3）该商店如何进货才能获得最大利润；此时最大利润是多少元．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D在线段BC上一动点，以AC为对角线的平行四边形ADCE中，则DE的最小值是______．
20、（4分）在平面直角坐标系中，将点P(﹣2，1)向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点P'的坐标是_____．
21、（4分）如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF， 则下列结论：
①△EBF≌△DFC；
②四边形AEFD为平行四边形；
③当AB=AC，∠BAC=1200时，四边形AEFD是正方形．
其中正确的结论是 ．（请写出正确结论的番号）．
22、（4分）某商店销售型和型两种电脑，其中型电脑每台的利润为400元，型电脑每台的利润为500元，该商店计划一次性购进两种型号的电脑共100台，设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元，则关于的函数解析式是____________.
23、（4分）已知菱形的两条对角线长分别为4和9，则菱形的面积为_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，是由绕点顺时针旋转得到的，连结交斜边于点，的延长线交于点．
（1）若，，求；
（2）证明：；
（3）设，试探索满足什么关系时，与是全等三角形，并说明理由．
25、（10分）解不等式组：，并写出所有整数解.
26、（12分）如图，直线的解析式为，且与轴交于点D，直线经过点、，直线、交于点C．
（1）求直线的解析表达式；
（2）求的面积；
（3）在直线上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，请求出点P的坐标．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
由矩形的性质和折叠的性质可得CF=DC=10，DE=EF，由勾股定理可求BF的长，即可得AF=4，在Rt△AEF中，由勾股定理即可求得AE的长．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=10，BC=AD=8，∠A=∠D=∠B=90°，
∵折叠，
∴CD=CF=10，EF=DE，
在Rt△BCF中，BF==6，
∴AF=AB-BF=10-6=4，
在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，
∴AE2+16=(8-AE)2，
∴AE=3，
故选A．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是本题的关键．
2、B
【解析】
把x=4代入分式方程计算即可求出a的值.
【详解】
解：把代入分式方程得：，
去分母得：，
解得：，
故选：．
此题考查了分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
3、D
【解析】
根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解
【详解】
解：由得3a=2b,
A. 由可得：3a=2b, 本选项正确；
B. 由可得：3a=2b, 本选项正确；
C. , 可知本选项正确；
D. ,由前面可知本选项错误。
故选：D
本题考查了比例的性质，熟练掌握内项之积等于外项之积是解题的关键．
4、C
【解析】
首先设，将代数式化为含有同类项的代数式，即可得解.
【详解】
设
∴
∴
故答案为C.
此题主要考查分式计算，关键是设参数求值.
5、D
【解析】
根据方差的意义进行判断．
【详解】
解：∵＜＜＜
∴四人中成绩最稳定的是丁．
故选：D．
本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
6、C
【解析】
根据等腰直角三角形的定义,由题意,应分两类情况讨论：当MN为直角边时和当MN为斜边时点Ｐ的位置的求法．
【详解】
当M运动到(－1，1)时，ON=1，MN=1，
∵MN⊥x轴，所以由ON=MN可知，(0，0)和(0，1)就是符合条件的P点；
又当M运动到第三象限时，要MN=MP，且PM⊥MN，设点M(x，2x+3)，则有－x=－(2x+3)，解得x=－3，所以点P坐标为(0，－3)．
如若MN为斜边时，则∠ONP=45°，所以ON=OP，设点M(x，2x+3)，则有－x=－(2x+3)，化简得－2x=－2x－3，这方程无解，所以这时不存在符合条件的P点；
又当点M′在第二象限，M′N′为斜边时，这时N′P=M′P，∠M′N′P=45°，设点M′(x，2x+3)，则OP=ON′，而OP=M′N′，∴有－x=(2x+3)，解得x=－，这时点P的坐标为(0，－)．
因此，符合条件的点P坐标是(0，0)，(0，－)，(0，－3)，(0，1)．
故答案选C,
本题主要采用分类讨论法,来求得符合条件的点P坐标．题中没有明确说明哪个边是直角边,哪条边是斜边,所以分情况说明,在证明时,注意点M的坐标表示方法以及坐标与线段长之间的转换.
7、B
【解析】
分式有意义时，分母x-1≠0，由此求得x的取值范围．
【详解】
依题意得：x-1≠0，
解得x≠1．
故选B．
本题考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零．
8、C
【解析】
∵AB⊥BD，ED⊥AB，
∴∠ABC=∠EDC=90∘，
在△ABC和△EDC中,
，
∴△ABC≌△EDC(ASA)，
∴AB=ED=5.
故选C.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
先用平均数是3可得x的值，再结合方差公式计算即可．
【详解】
平均数是3（1+1+3+x+5），解得：x=4，
∴方差是S1[（1﹣3）1+（1﹣3）1+（3﹣3）1+（4﹣3）1+（5﹣3）1]10=1．
故答案为1．
本题考查了平均数和方差的概念，解题的关键是牢记方差的计算公式，难度不大．
10、4
【解析】
根据平均数的定义求出x的值，再根据极差的定义解答．
【详解】
1+2+0-1+x+1=1×6，所以x=3，
则这组数据的极差=3-（-1）=4，
故答案为：4.
本题考查了算术平均数、极差，熟练掌握算术平均数、极差的概念以及求解方法是解题的关键.
11、500
【解析】
根据当汽车加满油后，行驶200千米，油箱中还剩油126升，行驶250千米，油箱中还剩油120升，那么当油箱中还剩油90升时，根据题意列出式子进行计算即可．
【详解】
（250-200）÷（126-120）×（120-90）+250=500，
故答案为：500.
此题考查有理数的混合运算，解题关键在于根据题意列出式子.
12、4．
【解析】
正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．
【分析】如图，过O作OF垂直于BC，再过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，
∵四边形ABDE为正方形，∴∠AOB=90°，OA=OB．
∴∠AOM+∠BOF=90°．
又∵∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°．∴∠BOF=∠OAM．
在△AOM和△BOF中，
∵∠AMO=∠OFB=90°，∠OAM=∠BOF， OA=OB，
∴△AOM≌△BOF（AAS）．∴AM=OF，OM=FB．
又∵∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，∴四边形ACFM为矩形．∴AM=CF，AC=MF=2．
∴OF=CF．∴△OCF为等腰直角三角形．
∵OC=3，∴根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2，即2CF2=（3）2，解得：CF=OF=3．
∴FB=OM=OF－FM=3－2=4．∴BC=CF+BF=3+4=4．
13、
【解析】
类比上述式子，即可两个同类的式子，然后根据已知的几个式子即可用含n的式子将规律表示出来．
【详解】
，
用字母表示这一规律为： ，
故答案为：，.
此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于找到规律.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、原式=，又x2+2x-15=0，得x2+2x=15，∴原式=.
【解析】
试题分析：先算括号里面的，再算除法，最后算减法，根据x2+2x-15=0得出x2+2x=15，代入代数式进行计算即可．
试题解析：原式=.
∵x2+2x-15=0，
∴x2+2x=15，
∴原式=.
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，此类题型的特点是：利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．
15、（1）证明见解析；（1）1，2.
【解析】
【分析】感知：利用同角的余角相等判断出∠BAF=∠CBE，即可得出结论；
探究：（1）判断出PG=BC，同感知的方法判断出△PGF≌CBE，即可得出结论；
（1）利用直角三角形的斜边的中线是斜边的一半，
应用：借助感知得出结论和直角三角形斜边的中线是斜边的一半即可得出结论．
【详解】感知：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BCE=∠ABC=20°，
∴∠ABE+∠CBE=20°，
∵AF⊥BE，
∴∠ABE+∠BAF=20°，
∴∠BAF=∠CBE，
在△ABF和△BCE中，
，
∴△ABF≌△BCE（ASA）；
探究：（1）如图②，
过点G作GP⊥BC于P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠ABC=20°，
∴四边形ABPG是矩形，
∴PG=AB，∴PG=BC，
同感知的方法得，∠PGF=∠CBE，
在△PGF和△CBE中，
，
∴△PGF≌△CBE（ASA），
∴BE=FG；
（1）由（1）知，FG=BE，
连接CM，
∵∠BCE=20°，点M是BE的中点，
∴BE=1CM=1，
∴FG=1，
故答案为：1．
应用：同探究（1）得，BE=1ME=1CM=6，
∴ME=3，
同探究（1）得，CG=BE=6，
∵BE⊥CG，
∴S四边形CEGM=CG×ME=×6×3=2，
故答案为：2．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关的性质与定理、判断出CG=BE是解本题的关键．
16、
【解析】
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【详解】
解不等式，得：，
解不等式，得：，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
则不等式组的解集为，
本题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
17、AC＝
【解析】
根据勾股定理求出BD，设AC＝x，得到AD＝x﹣6，根据勾股定理列方程，解方程得到答案．
【详解】
解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
在Rt△BCD中，BD＝＝6，
设AC＝AB＝x，则AD＝x﹣6，
在Rt△ACD中，AC2＝AD2+CD2，即x2＝（x﹣6）2+12，
解得，x＝，即AC＝．
本题考查了勾股定理，解题的关键是熟练的掌握勾股定理的运用.
18、（1）A、B 两种型号电动自行车的进货单价分别为 2500 元 3000 元；（2）y=﹣200m+15000（20≤m≤30）；（3）m=20 时，y 有最大值，最大值为 11000 元．
【解析】
（1）设 A、B 两种型号电动自行车的进货单价分别为 x 元、（x+500）元，根据用 5 万元购进的 A 型电动自行车与用 6 万元购进的 B 型电动自行车数量一 样，列分式方程即可解决问题；
（2）根据总利润=A 型的利润+B 型的利润，列出函数关系式即可；
（3）利用一次函数的性质即可解决问题．
【详解】
解：（1）设 A、B 两种型号电动自行车的进货单价分别为 x 元、（x+500） 元，
由题意：=，
解得：x=2500，
经检验：x=2500 是分式方程的解，
答：A、B 两种型号电动自行车的进货单价分别为 2500 元 3000 元；
（2）y=300m+500（30﹣m）=﹣200m+15000（20≤m≤30）；
（3）∵y=300m+500（30﹣m）=﹣200m+15000，
∵﹣200＜0，20≤m≤30，
∴m=20 时，y 有最大值，最大值为 11000 元．
本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用等知识，读懂题意，找准等量关系列出方程，找准数量关系列出函数关系是解题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小，根据三角形中位线定理即可求解．
【详解】
解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小．
∵OD⊥BC，BC⊥AB，
∴OD∥AB，
又∵OC=OA，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD=AB=3，
∴DE=2OD=1．
故答案为：1．
本题考查了三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正确理解DE最小的条件是关键．
20、（1，5）
【解析】
根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求解即可．
【详解】
解：∵点P（-2，1）向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点P'，
∴点P′的横坐标为-2+3=1，
纵坐标为1+4=5，
∴点P′的坐标是（1，5）．
故答案为（1，5）．
本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
21、①②．
【解析】
试题分析：∵△ABE、△BCF为等边三角形，∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°，∴∠ABE﹣∠ABF=∠FBC﹣∠ABF，即∠CBA=∠FBE，在△ABC和△EBF中，∵AB=EB，∠CBA=∠FBE，BC=BF，∴△ABC≌△EBF（SAS），选项①正确；
∴EF=AC，又∵△ADC为等边三角形，∴CD=AD=AC，∴EF=AD，同理可得AE=DF，∴四边形AEFD是平行四边形，选项②正确；
若AB=AC，∠BAC=120°，则有AE=AD，∠EAD=120°，此时AEFD为菱形，选项③错误，
故答案为①②．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的性质；3．平行四边形的判定；4．正方形的判定．
22、
【解析】
根据“总利润=A型电脑每台利润×A电脑数量+B型电脑每台利润×B电脑数量”可得函数解析式.
【详解】
解：根据题意，
y=400x+500（100-x）=-100x+50000；
故答案为
本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是根据总利润与销售数量的数量关系列出关系式．
23、1
【解析】
利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解．
【详解】
菱形的面积=×4×9=1．
故答案为1．
此题考查菱形的性质，难度不大
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）；（2）见解析；（3），见解析
【解析】
（1）根据旋转的性质可以证得：△ACC′∽△ABB′，即可求解；
（2）根据旋转的性质可以证得：AC=AC′，AB=AB′，∠CAB=∠C′AB′，再根据∠AEC=∠FEB即可证明两个三角形相似；
（3）当β=2α时，△ACE≌△FBE．易证∠ABC=∠BCE，再根据CE=BE，即可证得．
【详解】
（1）解：∵AC=AC′，AB=AB′，
∴
由旋转可知：∠CAB=∠C′AB′，
∴∠CAB+∠EAC′=∠C′AB′+∠EAC′，即∠CAC′=∠BAB′，
又∵∠ACB=∠AC′B′=90°，
∴△ACC′∽△ABB′，
∵AC=3，AB=4，
∴ ；
（2）证明：∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，
∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAB=∠C′AB′，
∴∠CAC′=∠BAB′，
∴∠ABB′=∠AB′B=∠ACC′=∠AC′C，
∴∠ACC′=∠ABB′，
又∵∠AEC=∠FEB，
∴△ACE∽△FBE．
（3）解：当β=2α时，△ACE≌△FBE．理由：
在△ACC′中，

∵AC=AC′，
∴∠ACC′=∠AC′C= =90°-α，
在Rt△ABC中，
∠ACC′+∠BCE=90°，
即90°-α+∠BCE=90°，
∴∠BCE=90°-90°+α=α，
∵∠ABC=α，
∴∠ABC=∠BCE，
∴CE=BE，
由（2）知：△ACE∽△FBE，
∴△ACE≌△FBE．
此题考查了相似三角形的性质，三角形全等的判定与应用，正确理解图形旋转的性质是解题的关键．
25、1,2,3,4,5,6
【解析】
根据不等式的性质依次求出各不等式的解集，再求出公共解集，即可求解.
【详解】
解
解不等式①得x≥1，
解不等式②得x＜
故不等式组的解集为1≤x＜
故整数解为1,2,3,4,5,6
此题主要考查不等式的解集，解题的关键是熟知不等式的性质.
26、（1）；（2）；（3）P（6，3）．
【解析】
试题分析：（1）利用待定系数法求直线的解析表达式；
（2）由方程组得到C（2，﹣3），再利用x轴上点的坐标特征确定D点坐标，然后根据三角形面积公式求解；
（3）由于△ADP与△ADC的面积相等，根据三角形面积公式得到点D与点C到AD的距离相等，则D点的纵坐标为3，对于函数，计算出函数值为3所对应的自变量的值即可得到D点坐标．
试题解析：（1）设直线的解析表达式为，把A（4，0）、B（3，）代入得：，解得：，所以直线的解析表达式为；
（2）解方程组：，得：，则C（2，﹣3）；当y=0时，，解得x=1，则D（1，0），所以△ADC的面积=×（4﹣1）×3=；
（3）因为点D与点C到AD的距离相等，所以D点的纵坐标为3，当y=3时，，解得x=6，所以D点坐标为（6，3）．
考点：两条直线相交或平行问题．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人