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高中物理人教版 (2019)必修 第一册2 摩擦力优质学案设计
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这是一份高中物理人教版 (2019)必修 第一册2 摩擦力优质学案设计，文件包含32摩擦力原卷版docx、32摩擦力解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共45页， 欢迎下载使用。
知识点1：摩擦力
1.概念
两个相互接触的物体，当它们发生相对运动或具有相对运动的趋势时，就会在接触而上产生阻碍相对运动或相对运动趋势的力，这种力叫作摩擦力。
2.分类
摩擦力可以分为静摩擦力、滑动摩擦力和滚动摩擦力。当两个相互接触的物体之间只有相对运动的趋势，而没有相对运动时，这时的摩擦力叫作静摩擦力。两个相互接触的物体有相对运动时，这时的摩擦力叫作滑动摩擦力.滚动摩擦是一个物体在另一个物体表面上滚动时产生的摩擦.
3.产生条件
（1）接触面粗糙;（2）相互接触的物体间有挤压，即存在弹力;（3）两物体间有相对运动趋势或相对运动.三个条件同时满足时，才能产生摩擦力.
①有摩擦力一定有弹力，有弹力不一定有摩擦力.
②"相对静止"≠"静止"
（1）两个物体都静止时，是相对静止的.
（2）两个物体以相同的速度运动时，二者速度大小、方向都相同，也是相对静止的。
③对相对运动趋势的理解
相对运动趋势是一种欲动而未动的特殊状态，虽然二者此时相对静止，但若接触面是光滑的，二者就无法保持这种状态，继而会发生相对运动.
知识点2 ：滑动摩擦力的方向和大小
1.滑动摩擦力的方向
滑动摩擦力的方向沿接触面，并且跟物体相对运动的方向相反.
2.滑动摩擦力的大小
滑动摩擦力的大小跟压力的大小成正比，即、，其中是比例常数，叫作动摩擦因数。
（1）与接触面的材料、接触面的粗糙程度有关，无单位，与Ff和FN无关。
（2）在、FN一定的情况下，滑动摩擦力的大小与物体的运动性质无关。
只有滑动摩擦力才能用公式计算，其中FN表示正压力，不一定等于物体的重力.例如，放在水平桌面上的物体，如果受到向下的外力F，则物体对水平桌面的压力为：FN=G+F。
滑动摩擦力的作用效果是阻碍物体间的相对运动，而不是阻碍物体的运动，所以滑动摩擦力的方向可能与物体运动方向相同，也可能相反，即摩擦力可以是动力也可以是阻力。
如图所示，F作用于A上，A、B均向右运动，vA＞vB，滑动摩擦力阻碍相对运动，A 受到B向左的摩擦力，与A运动方向相反;B受到A向右的摩擦力，与B运动方向相同。
知识点3：静摩擦力的方向和大小
1.静摩擦力的方向
与接触面相切，跟物体相对运动趋势的方向相反。
如图所示，A放在B上，用水平力F向右拉A，A并没有移动，即A、B相对静止.A相对于B具有向右的运动趋势，但是A仍然静止，说明有另一个力与F平衡.这个力就是B对A的静摩擦力，方向水平向左.同理，B相对于A具有向左的运动趋势，所以，A对B的静摩擦力的方向水平向右。
静止的物体受到的摩擦力是静摩擦力，运动的物体受到的摩擦力是滑动摩擦力.（×）
解释∶（1）运动的物体可能受到静摩擦力.如图所示，A、B两物体保持相对静止沿水平方向一起向右做匀速运动.A相对于B有沿斜面下滑的趋势，所以A和B之间有静摩擦力，而两物体相对地面都是运动的。
静止的物体可能受到滑动摩擦力如图所示，B受到水平向右的外力F的作用向右做匀速运动，A、B相对运动.B相对于A向右运动，故B受到A水平向左的滑动摩擦力;A相对于B 向左运动，A受到B水平向右的滑动摩擦力.以地面为参考系，A静止，即静止的物体也会受到滑动摩擦力。
2.对静摩擦力方向的理解
（1）相对运动趋势可能由外力引起，也可能由运动状态变化引起。
（2）静摩擦力的方向与相对运动趋势的方向相反，说明摩擦力阻碍物体间的相对运动趋势，而不阻碍物体的运动趋势，所以静摩擦力的方向可能与运动方向相同，也可能相反，也可能垂直，即静摩擦力的方向与物体运动方向无关。
用两个手指竖直捏住铅笔并保持在空中静止，根据二力平衡，铅笔受到竖直向上的静摩擦力，大小等于铅笔的重力.
（1）用手捏住铅笔竖直匀速向上运动，静摩擦力向上，与铅笔的运动方向相同;
（2）用手捏住铅笔竖直匀速向下运动，静摩擦力向上，与铅笔的运动方向相反;
（3）用手捏住铅笔水平匀速运动，静摩擦力向上，与运动方向垂直.
对摩擦力中"三个方向""的理解
①运动方向∶一般指物体相对于地面的运动方向;
②相对运动方向∶通常是指一个物体相对于与它接触的另一个物体的运动方向;
③相对运动趋势方向∶是指一个物体相对于与它接触的另一个物体有运动趋势的某个方向，但二者仍处于相对静止状态。
"相对运动趋势方向""相对运动方向""运动方向"是截然不同的表述，三者之间无必然联系。
3.静摩擦力的大小
（1）静摩擦力的大小可根据力的平衡求解，若物体处于平衡状态，静摩擦力的大小等于使物体产生相对运动趋势的外力的大小.静摩擦力的大小与正压力无关。
（2）最大静摩擦力fmax∶在数值上等于物体即将开始运动时的拉力，略大于滑动摩擦力.一般情况下，最大静摩擦力的大小与正压力成正比。
如图甲所示，用一个从零开始逐渐增大的水平力F拉物块，当F增大到某一值时，物块开始滑动，则物块在此过程中受到的摩擦力随F的变化规律如图乙所示.
（3）物体间的静摩擦力在零与最大静摩擦力之间，即0＜f静≤fmax。
①使物体产生相对运动趋势的力，可以是一个力的作用效果，也可以是多个力共同的作用效果，如图所示。
甲图中产生运动趋势的力是F，所以摩擦力向左，f=F=5N；乙图中产生运动趋势的力是F1和F2共同的作用效果，所以物体的运动趋势向右，摩擦力向左f=F1-F2=2N。
②求解摩擦力大小时，要先判断该力是滑动摩擦力还是静摩擦力，只有滑动摩擦力才可以用计算
【典例1】如图所示，水平地面上有一木箱，受到水平拉力F的作用，F随时间t正比增大，即F=kt（k为常数）。则木箱所受摩擦力f随时间t的变化图像正确的是（ ）
A． B．
C．D．
【典例2】如图所示为军校学生的日常体能训练的场景，该同学开始阶段沿杆加速向上运动然后匀速运动，最后在最高点停留片刻．已知该同学的质量为m，双手与杆之间的动摩擦因数为μ，手与杆之间的弹力为FN，重力加速度为g。下列说法中正确的是（ ）
A．整个运动过程中，手与杆之间的摩擦力为Ff=μFN
B．在匀速运动阶段，该同学受到的摩擦力为静摩擦力，加速阶段为滑动摩擦力
C．无论加速、还是匀速阶段，该同学与杆之间的摩擦力可能均是静摩擦力
D．该同学手与杆之间的弹力越大，所受的摩擦力越大
【典例3】如图所示，质量分别为4kg、5kg的木块A、B用轻质弹簧连接并置于粗糙水平面上，它们与水平面间的动摩擦因数均为0.3，弹簧的劲度系数为400N/m，且被压缩了2.5cm，A、B和弹簧组成的系统处于静止状态。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度的大小g=10m/s2。现用F=8N的水平拉力向右拉木块B，在力F作用瞬间（ ）
A．木块A所受摩擦力的大小是12N
B．木块A所受摩擦力的大小是10N
C．木块B所受摩擦力的大小是18N
D．木块B所受摩擦力的大小是10N
【典例4】如图所示，一本书重约10N，书本正面朝上。一张A4纸夹在书本间，将书本分为等质量的两部分，且能够覆盖几乎整个书页。若将A4纸抽出，至少需用约2.5N的拉力。不计A4纸的质量，则A4纸和书之间的摩擦因数最接近（ ）
A．0.25B．0.30C．0.40D．0.50
【典例5】试卷读卡器的原理可简化成如图所示的模型，搓纸轮与纸张之间的动摩擦因数为μ1，纸张与纸张之间的动摩擦因数为μ2，纸张与底部摩擦片之间的动摩擦因数为μ3，工作时搓纸轮给第1张纸压力大小为F，每张纸质量为m，正常情况下，读卡器能做到“每次只进一张纸”。图中搓纸轮沿逆时针方向转动，带动纸张向右运动，则（ ）
A．搓纸轮受到纸张的摩擦力水平向右
B．第2张纸对第3张纸的摩擦力和第3张对第4张的摩擦力相等
C．若比较纸张之间摩擦力大小，则最后一张受到上一张的摩擦力最大
D．第5张纸与第6张纸之间摩擦力大小为μ2F+5mg
重难点1：摩擦力可以是动力，也可以是阻力
摩擦力总是阻碍物体间的相对运动或相对运动趋势，相不一定阻碍物体的运动，其方向可能与物体的运动方向相同或相反，也可能成一定角度，所以可能是动力，也可能是阻力。
（1）滑动摩擦力可能是动力，也可能是阻力。如图甲所示，A、B都有向右的速度，但vA（2）静摩擦力可能是动力，也可能是阻力.如图乙所示，物体A随传送带一起匀速运动。若一起向上运动，A有相对于传送带下滑的趋势，故A受到沿传送带向上的静摩擦力，静摩擦力为动力.若一起向下运动，A有相对于传送带下滑的趋势，故A受到沿传送带向上的静摩擦力，静摩擦力为阻力。
【典例6】关于摩擦力，下列说法正确的是（ ）
A．摩擦力作用效果一定是阻碍物体间的相对运动
B．静止在粗糙水平桌面上的水杯，受到摩擦力作用
C．摩擦力的方向一定与物体的运动方向相反
D．静摩擦力一定是阻力，滑动摩擦力不一定是阻力
【典例7】下列关于摩擦力的说法中，正确的是（ ）
A．两物体间的摩擦力大小和它们间的压力一定成正比
B．在两个运动的物体之间不可能存在静摩擦力
C．两物体间有摩擦力，不一定有弹力
D．滑动摩擦力的方向与物体的运动方向可以相同，也可以相反
重难点2：摩擦力的有无及方向的判断
1.判断摩擦力有无的三种常用方法
（1）条件法∶相互接触的两个物体之间需要有弹力、接触面粗糙且两物体之间有相对运动或相对运动趋势。
（2）假设法∶当物体的摩擦力不容易判断是否存在时，可以用假设的方法。如图所示，力F作用于B物体上，但A、B 都处于静止状态，判断A、B之间是否存在摩擦力?
假设A受到B施加的摩擦力，则A物体在水平方向只受该摩擦力，所以无法保持静止状态，则假设是不成立的，故A与B之间没有摩擦力。
（3）状态法∶如图所示，若力F拉着木板向右匀速运动，判断地面对木板是否存在摩擦力?
因为木板受到向右的拉力F，且处于匀速运动状态，则地面对木板一定有向左的摩擦力才能使木板受力平衡。
2.摩擦力的方向
（1）与接触面平行或相切;
（2）与相对运动（或相对运动趋势）方向相反.
【典例8】下列实例中对部分力的方向描述正确的是（ ）
A．甲图中，半圆面对杆有竖直向上的弹力FN1，地面对杆有竖直向上的弹力FN2
B．乙图中，篮球与地面发生相互作用时，地面对篮球有竖直向上的弹力FN
C．丙图中，物体A与水平传送带共同匀速向右运动，传送带对A有水平向右的摩擦力Ff
D．丁图中，物体A随斜传送带共同匀速上滑运动时，受到沿传送带向下的摩擦力Ff
【典例9】在图示的皮带传动装置中，A轮为主动轮，B轮为从动轮，箭头表示两轮的旋转方向。关于A、B两轮所受摩擦力的方向，下列说法正确的是（ ）
A．两轮所受摩擦力的方向和两轮转动方向相同
B．两轮所受摩擦力的方向和两轮转动方向相反
C．A轮受的摩擦力方向和A轮的转动方向相同，B轮受摩擦力的方向和B轮转动方向相反
D．A轮受的摩擦力方向和A轮的转动方向相反，B轮受摩擦力的方向和B轮转动方向相同
【典例10】如图所示，一质量为m=8kg的木块放在水平桌面上，在水平方向受到F1和F2作用而处于静止状态，其中F1=10N，F2=3N。已知木块与地面的动摩擦因数为0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。重力加速度大小取g=10m/s2，则木块在水平方向受到的摩擦力Ff下列说法正确的是（ ）
A．若撤去F1保留F2，则Ff=8N，方向向左
B．若撤去F1保留F2，则Ff=3N，方向向右
C．若撤去F2保留F1，则Ff=3N，方向向左
D．若撤去F2保留F1，则Ff=10N，方向向左
【典例11】如图所示，A、B、C三个物体叠放在水平地面上，物体B受到大小为20N，方向水平向右的力的作用，物体C受到大小为5N，方向水平向左的力的作用，三者均处于静止状态，则（ ）
A．物体B对物体A的摩擦力方向水平向右
B．地面与物体C之间的摩擦力大小为5N
C．物体C对物体B的摩擦力方向水平向左
D．地面与物体C之间无摩擦力
重难点3： 摩擦力大小的计算
计算摩擦力时，首先要判断摩擦力是静摩擦力还是滑动摩擦力，可以通过两物体间是存在相对运动还是存在相对运动趋势进行判断
1.静摩擦力的大小
（1）范围∶0＜f静≤fmax
（2）计算方法∶静摩擦力的大小通常要通过受力情况和平衡条件进行计算，随着使物体产生运动趋势的外力的变化而变化。
（3）最大静摩擦力fmax的值略大于滑动摩擦力的值，高中阶段为了计算方便，往往认为最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小。
2.滑动摩擦力的大小
公式∶。公式中FN为接触面受到的正压力，与物体的重力G是两种性质的力，大小和方向不一定相同.Ff与物体是否匀速运动、运动速度的大小、接触面积的大小无关，只与和FN有关。
3.摩擦力的突变问题
摩擦力的变化过程比较复杂，有时会涉及静摩擦力的大小变化、方向变化和静摩擦力与滑动摩擦力之间的转化，要根据题意正确判断摩擦力的变化情况。
【典例12】如图所示，滑块B置于水平地面上，滑块A在一水平力F作用下紧靠滑块B（A、B接触面竖直），此时B恰好不滑动，A刚好不下滑。已知A的质量为m，B的质量为M，A与B间的动摩擦因数为μ1，B与地面间的动摩擦因数为μ2，最大静摩擦力与滑动摩擦力视为相等。则下列表达式正确的是（ ）
A．F=μ2MgB．F=μ2mgC．μ1μ2=MM+mD．μ1μ2=mM+m
【典例13】如图所示，一位同学用双手水平夹起一摞书，并停留在空中。已知手掌与书间的动摩擦因数μ1=0.3，书与书间的动摩擦因数μ2=0.25，设最大静摩擦力的大小等于滑动摩擦力大小。若每本书的质量为0.2kg，该同学对书的水平正压力为100N，每本书均呈竖直静止状态，重力加速度g=10m/s2，则下列说法正确的是（ ）
A．他最多能夹住27本书
B．他最多能夹住30本书
C．每本书受到的摩擦力的合力大小不等
D．书与书之间的摩擦力大小均相等
【典例14】如图所示，已知mA=1 kg， mB=4 kg，原长为L0=5cm的弹簧与A栓连，弹簧此时的长度为L=8 cm，其劲度系数k=100N/m，A与B之间的动摩擦因数μ=0.5，重力加速度g=10 m/s2。
（1）求此时弹簧对A的弹力；
（2）现对B施加一水平向右的力，使B保持向右滑动，一段时间后A保持静止（并未从B上滑落），求此时A与B之间摩擦力f的大小和此时弹簧的长度。
【典例15】如图所示，质量分别为m1和m2的两物块叠放在一起，用细线跨过定滑轮相连，不计滑轮摩擦，细线都呈水平状态。已知m1与m2之间的动摩擦因数为μ1，m2与地面间动摩擦因数为μ2，为了使m1匀速向右运动，所需水平拉力F为多大?
重难点4：动摩擦因数的测定
方案一∶利用砝码和弹簧测力计，借助动态平衡法测量滑动摩擦力和动摩擦因数。
如图甲所示，向砝码盘内加减砝码，轻推铁块P，使其恰能在水平板B上向左匀速滑动，则铁块P处于平衡状态。用弹簧测力计测出P和砝码盘C（含砝码）受到的重力GP和GC，由平衡条件知FN=GP，P所受滑动摩擦力Ff =GC。可求出P、B间的动摩擦因数μ=。
方案二∶利用弹簧测力计借助动态平衡法测定动摩擦因数.如图乙所示，使木板静止在水平桌面上，用手通过弹簧测力计向右拉铁块P，使铁块P向右匀速运动，读出此时弹簧测力计的读数F，再用弹簧测力计测出铁块P的重力，由平衡条件可知FN =GP，且，Ff =F，所以μ=。
方案三∶利用弹簧测力计测木板A和木块B之间的动摩擦因数μ，实验装置如图丙所示.
在水平力F作用下，只要使木板A相对木块B滑动，就可由弹簧测力计的读数得到A、B间的滑动摩擦力Ff，再用弹簧测力计测出木块B的重力GB，根据竖直方向上二力平衡可知B受到A的支持力与B的重力GB大小相等、方向相反，根据μ=可求出动摩擦目μ。
这种方案的优点在于拉动木板A做匀速直线运动或变速直线运动都可以，只要木板A相对于上面的木块B滑动，则木块B就在木板A水平向右的滑动摩擦力和水平向左的弹簧测力计的拉力作用下处于平衡状态。
【典例16】（1）某同学在做“测定木板与木块间动摩擦因素”的实验时，设计了两种实验方案：
方案一：木板固定，用弹簧测力计拉动木块，如图（a）所示。
方案二：用弹簧测力计钩住木块，用力拉动木板，如图（b）所示。除了实验必须的弹簧测力计、木块、木板、细线外，该同学还准备了若干重量均为2.00N的砝码。
上述两种方案中，你认为更合理的方案是 ，理由是 。
（2）该同学在木块上加放砝码，改变木块对木板的压力，记录了5组实验数据，如表所示
请根据上述数据在坐标纸上（图（c）中）作出摩擦力f和砝码对木块的压力F的关系图像（以F为横坐标）。
图像不过原点的原因是 。由图像可知，木块的重力为 N。木块与木板间的动摩擦因数为 。
【典例17】在探究滑块与平板小车间的摩擦因数实验中，某同学设计了如下实验装置。如甲图所示，力传感器A与计算机相连，可获得力随时间变化的规律。将力传感器固定在水平桌面上，测力端通过细绳1与滑块相连，滑块放在较长平板小车右端，滑块的质量m=2kg，小车的质量为M。另一根细绳2跨过定滑轮，其一端连接小车，另一端系一只空沙桶，初始整个装置处于静止状态，（重力加速度取g=10m/s2）。
（1）t=0时刻开始缓慢向沙桶里倒入沙子，当小车刚开始运动时，立即停止倒沙子。传感器测得力的结果如图乙所示。则可求得滑块与小车间的动摩擦因数为μ= ；从图乙还可以看出本实验中滑块与小车间的最大静摩擦力为 N。
（2）实验时如果发现桌面粗糙，则你认为对求的μ有何影响 （填“偏大”、“偏小”或“不变”）；实验中 必须要保持水平（填“细绳1”、“细绳2”或“细绳1和2”）；小车开始运动后如果继续添加沙子，对实验是否有影响 （填“有影响”或“无影响”）。
一、单选题
1．如图所示，A、B、C三个物体质量相等，它们与传送带间的动摩擦因数相同。三个物体随传送带一起匀速运动，运动方向如图中箭头所示。则下列说法正确的是（ ）
A．三个物体受到的摩擦力均不为零
B．三个物体受到的摩擦力均为零
C．B、C受到的摩擦力方向相同
D．B、C受到的摩擦力方向相反
2．如图所示，质量为m的小物块，在水平恒力F的作用下紧贴在竖直墙壁上保持静止状态。自t1时刻起F随时间均匀减小，直至t2时刻减为零，重力加速度为g，关于小物块所受摩擦力Ff大小随时间t变化的图像，下列选项可能正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
3．下列关于摩擦力的说法，正确的是（ ）
A．有摩擦力存在时一定有弹力，有弹力存在时，不一定有摩擦力
B．运动的物体不可能受静摩擦力作用
C．相对静止的物体间，也可能存在摩擦力作用
D．静摩擦力总是阻力
4．质量为10kg的木箱静止在水平地板上，至少要用31N的水平推力，才能使它从原地开始运动。现将一水平推力F作用在木箱上，F随时间t变化的图线如图所示。已知木箱在4s∼6s时间内做匀速直线运动，重力加速度g取10m/s2。则下列说法正确的是（ ）
A．木箱与地板之间的动摩擦因数为0.3
B．0∼2s时间内木箱所受摩擦力大小为0
C．2s∼4s时间内木箱所受摩擦力大小为31N
D．4s∼6s时间内木箱所受摩擦力大小为30N
5．如图所示，水平地面上有重力分别为60N和50N的A、B两木块，它们之间夹有被拉长了2.5cm的轻质弹簧，已知弹簧的劲度系数k=500N/m，两木块与水平地面间的动摩擦因数均为0.25，系统处于静止状态。现用F=12.5N的水平力向右拉木块B，假设最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力，则力F作用后（ ）
A．弹簧的拉伸量随之变大
B．木块A所受摩擦力大小仍然为15N
C．木块B所受摩擦力突变为零
D．若改用F′=25N的水平力向右拉木块B，木块A所受摩擦力与力F作用下时相同
6．用水平F将木块压在竖直墙上，如图所示，已知木块重G=8N，木块与墙壁之间的动摩擦因数μ=0.25，以下说法正确的是（ ）
A．当F=0时，木块沿墙面下滑，木块受到的摩擦力为0
B．当F=10N时，木块沿墙面下滑，木块受到的摩擦力为2.5N
C．当F=24N时，木块没有动，木块受到的摩擦力为8N
D．当F变大时，木块受到的摩擦力也会一直变大
7．如图所示是皮带传动示意图，A是主动轮，B是从动轮，两轮水平放置，当皮带按图示方向传动时，重10N的物体随皮带一起匀速运动，若物体与皮带间的最大静摩擦力为5N，则（ ）
A．物体m受到的摩擦力方向向右，大小为5N
B．物体m受到的摩擦力为零
C．皮带上P点所受摩擦力方向向下
D．从动轮上Q点所受摩擦力方向向下
8．如图所示，一足够长的轻质绸带放在水平光滑桌面上，绸带上放A、B两物块，A物块质量大于 B物块，两物块同时分别受到反向等大逐渐增大的力作用，两物块与绸带间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等。下列说法正确的是（ ）。
A．两物块所受摩擦力的大小可能不相等
B．两物块不可能同时相对绸带滑动
C．A物块不可能相对绸带发生滑动
D．A物块所受摩擦力一定大于 B 物块所受摩擦力
三、实验题
9．某同学用如图甲所示的装置测量木块与木板之间的动摩擦因数。跨过光滑定滑轮的细线两端分别与放置在木板上的木块和弹簧测力计相连。
（1）下列说法正确的是 。
A．实验前，应先将弹簧测力计调零
B．实验时，木板一定要匀速向左拉出
C．实验时，细线与木板水平平行
D．实验时，拉木板的速度越大越好
（2）如图乙所示是某次实验中弹簧测力计示数放大图，木块受到的滑动摩擦力Ff= N。
（3）为进行多次实验，该同学采取了在木块上增加砝码个数的方法。若木块的质量为m0，砝码的总质量、木块与木板之间的动摩擦因数和重力加速度分别用m、μ和g来表示，则木块受到的滑动摩擦力Ff= （用题中所给物理量的字母表示）；测得多组数据后，该同学描绘的Ff−m图像如图丙所示，则他测得的动摩擦因数μ＝ （结果保留一位有效数字，取g=10m/s2）。
四、解答题
10．如图所示，A物体重力为50N，B物体重力为30N，力F竖直向下，A与水平面的动摩擦因数μ=0.5，其余摩擦不计，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求：
（1）当F=0时由静止释放B物体，A物体所受摩擦力的大小和方向。
（2）当F=20N时由静止释放B物体，A物体所受摩擦力的大小和方向
实验次数
1
2
3
4
O
砝码/个数
0
1
2
3
4
砝码对木块压力/N
0
2.00
4.00
6.00
8.00
测力计读数/N
1.50
2.00
2.50
2.90
3.50
知识点1：摩擦力
1.概念
两个相互接触的物体，当它们发生相对运动或具有相对运动的趋势时，就会在接触而上产生阻碍相对运动或相对运动趋势的力，这种力叫作摩擦力。
2.分类
摩擦力可以分为静摩擦力、滑动摩擦力和滚动摩擦力。当两个相互接触的物体之间只有相对运动的趋势，而没有相对运动时，这时的摩擦力叫作静摩擦力。两个相互接触的物体有相对运动时，这时的摩擦力叫作滑动摩擦力.滚动摩擦是一个物体在另一个物体表面上滚动时产生的摩擦.
3.产生条件
（1）接触面粗糙;（2）相互接触的物体间有挤压，即存在弹力;（3）两物体间有相对运动趋势或相对运动.三个条件同时满足时，才能产生摩擦力.
①有摩擦力一定有弹力，有弹力不一定有摩擦力.
②"相对静止"≠"静止"
（1）两个物体都静止时，是相对静止的.
（2）两个物体以相同的速度运动时，二者速度大小、方向都相同，也是相对静止的。
③对相对运动趋势的理解
相对运动趋势是一种欲动而未动的特殊状态，虽然二者此时相对静止，但若接触面是光滑的，二者就无法保持这种状态，继而会发生相对运动.
知识点2 ：滑动摩擦力的方向和大小
1.滑动摩擦力的方向
滑动摩擦力的方向沿接触面，并且跟物体相对运动的方向相反.
2.滑动摩擦力的大小
滑动摩擦力的大小跟压力的大小成正比，即、，其中是比例常数，叫作动摩擦因数。
（1）与接触面的材料、接触面的粗糙程度有关，无单位，与Ff和FN无关。
（2）在、FN一定的情况下，滑动摩擦力的大小与物体的运动性质无关。
只有滑动摩擦力才能用公式计算，其中FN表示正压力，不一定等于物体的重力.例如，放在水平桌面上的物体，如果受到向下的外力F，则物体对水平桌面的压力为：FN=G+F。
滑动摩擦力的作用效果是阻碍物体间的相对运动，而不是阻碍物体的运动，所以滑动摩擦力的方向可能与物体运动方向相同，也可能相反，即摩擦力可以是动力也可以是阻力。
如图所示，F作用于A上，A、B均向右运动，vA＞vB，滑动摩擦力阻碍相对运动，A 受到B向左的摩擦力，与A运动方向相反;B受到A向右的摩擦力，与B运动方向相同。
知识点3：静摩擦力的方向和大小
1.静摩擦力的方向
与接触面相切，跟物体相对运动趋势的方向相反。
如图所示，A放在B上，用水平力F向右拉A，A并没有移动，即A、B相对静止.A相对于B具有向右的运动趋势，但是A仍然静止，说明有另一个力与F平衡.这个力就是B对A的静摩擦力，方向水平向左.同理，B相对于A具有向左的运动趋势，所以，A对B的静摩擦力的方向水平向右。
静止的物体受到的摩擦力是静摩擦力，运动的物体受到的摩擦力是滑动摩擦力.（×）
解释∶（1）运动的物体可能受到静摩擦力.如图所示，A、B两物体保持相对静止沿水平方向一起向右做匀速运动.A相对于B有沿斜面下滑的趋势，所以A和B之间有静摩擦力，而两物体相对地面都是运动的。
静止的物体可能受到滑动摩擦力如图所示，B受到水平向右的外力F的作用向右做匀速运动，A、B相对运动.B相对于A向右运动，故B受到A水平向左的滑动摩擦力;A相对于B 向左运动，A受到B水平向右的滑动摩擦力.以地面为参考系，A静止，即静止的物体也会受到滑动摩擦力。
2.对静摩擦力方向的理解
（1）相对运动趋势可能由外力引起，也可能由运动状态变化引起。
（2）静摩擦力的方向与相对运动趋势的方向相反，说明摩擦力阻碍物体间的相对运动趋势，而不阻碍物体的运动趋势，所以静摩擦力的方向可能与运动方向相同，也可能相反，也可能垂直，即静摩擦力的方向与物体运动方向无关。
用两个手指竖直捏住铅笔并保持在空中静止，根据二力平衡，铅笔受到竖直向上的静摩擦力，大小等于铅笔的重力.
（1）用手捏住铅笔竖直匀速向上运动，静摩擦力向上，与铅笔的运动方向相同;
（2）用手捏住铅笔竖直匀速向下运动，静摩擦力向上，与铅笔的运动方向相反;
（3）用手捏住铅笔水平匀速运动，静摩擦力向上，与运动方向垂直.
对摩擦力中"三个方向""的理解
①运动方向∶一般指物体相对于地面的运动方向;
②相对运动方向∶通常是指一个物体相对于与它接触的另一个物体的运动方向;
③相对运动趋势方向∶是指一个物体相对于与它接触的另一个物体有运动趋势的某个方向，但二者仍处于相对静止状态。
"相对运动趋势方向""相对运动方向""运动方向"是截然不同的表述，三者之间无必然联系。
3.静摩擦力的大小
（1）静摩擦力的大小可根据力的平衡求解，若物体处于平衡状态，静摩擦力的大小等于使物体产生相对运动趋势的外力的大小.静摩擦力的大小与正压力无关。
（2）最大静摩擦力fmax∶在数值上等于物体即将开始运动时的拉力，略大于滑动摩擦力.一般情况下，最大静摩擦力的大小与正压力成正比。
如图甲所示，用一个从零开始逐渐增大的水平力F拉物块，当F增大到某一值时，物块开始滑动，则物块在此过程中受到的摩擦力随F的变化规律如图乙所示.
（3）物体间的静摩擦力在零与最大静摩擦力之间，即0＜f静≤fmax。
①使物体产生相对运动趋势的力，可以是一个力的作用效果，也可以是多个力共同的作用效果，如图所示。
甲图中产生运动趋势的力是F，所以摩擦力向左，f=F=5N；乙图中产生运动趋势的力是F1和F2共同的作用效果，所以物体的运动趋势向右，摩擦力向左f=F1-F2=2N。
②求解摩擦力大小时，要先判断该力是滑动摩擦力还是静摩擦力，只有滑动摩擦力才可以用计算
【典例1】如图所示，水平地面上有一木箱，受到水平拉力F的作用，F随时间t正比增大，即F=kt（k为常数）。则木箱所受摩擦力f随时间t的变化图像正确的是（ ）
A． B．
C．D．
【典例2】如图所示为军校学生的日常体能训练的场景，该同学开始阶段沿杆加速向上运动然后匀速运动，最后在最高点停留片刻．已知该同学的质量为m，双手与杆之间的动摩擦因数为μ，手与杆之间的弹力为FN，重力加速度为g。下列说法中正确的是（ ）
A．整个运动过程中，手与杆之间的摩擦力为Ff=μFN
B．在匀速运动阶段，该同学受到的摩擦力为静摩擦力，加速阶段为滑动摩擦力
C．无论加速、还是匀速阶段，该同学与杆之间的摩擦力可能均是静摩擦力
D．该同学手与杆之间的弹力越大，所受的摩擦力越大
【典例3】如图所示，质量分别为4kg、5kg的木块A、B用轻质弹簧连接并置于粗糙水平面上，它们与水平面间的动摩擦因数均为0.3，弹簧的劲度系数为400N/m，且被压缩了2.5cm，A、B和弹簧组成的系统处于静止状态。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度的大小g=10m/s2。现用F=8N的水平拉力向右拉木块B，在力F作用瞬间（ ）
A．木块A所受摩擦力的大小是12N
B．木块A所受摩擦力的大小是10N
C．木块B所受摩擦力的大小是18N
D．木块B所受摩擦力的大小是10N
【典例4】如图所示，一本书重约10N，书本正面朝上。一张A4纸夹在书本间，将书本分为等质量的两部分，且能够覆盖几乎整个书页。若将A4纸抽出，至少需用约2.5N的拉力。不计A4纸的质量，则A4纸和书之间的摩擦因数最接近（ ）
A．0.25B．0.30C．0.40D．0.50
【典例5】试卷读卡器的原理可简化成如图所示的模型，搓纸轮与纸张之间的动摩擦因数为μ1，纸张与纸张之间的动摩擦因数为μ2，纸张与底部摩擦片之间的动摩擦因数为μ3，工作时搓纸轮给第1张纸压力大小为F，每张纸质量为m，正常情况下，读卡器能做到“每次只进一张纸”。图中搓纸轮沿逆时针方向转动，带动纸张向右运动，则（ ）
A．搓纸轮受到纸张的摩擦力水平向右
B．第2张纸对第3张纸的摩擦力和第3张对第4张的摩擦力相等
C．若比较纸张之间摩擦力大小，则最后一张受到上一张的摩擦力最大
D．第5张纸与第6张纸之间摩擦力大小为μ2F+5mg
重难点1：摩擦力可以是动力，也可以是阻力
摩擦力总是阻碍物体间的相对运动或相对运动趋势，相不一定阻碍物体的运动，其方向可能与物体的运动方向相同或相反，也可能成一定角度，所以可能是动力，也可能是阻力。
（1）滑动摩擦力可能是动力，也可能是阻力。如图甲所示，A、B都有向右的速度，但vA
【典例6】关于摩擦力，下列说法正确的是（ ）
A．摩擦力作用效果一定是阻碍物体间的相对运动
B．静止在粗糙水平桌面上的水杯，受到摩擦力作用
C．摩擦力的方向一定与物体的运动方向相反
D．静摩擦力一定是阻力，滑动摩擦力不一定是阻力
【典例7】下列关于摩擦力的说法中，正确的是（ ）
A．两物体间的摩擦力大小和它们间的压力一定成正比
B．在两个运动的物体之间不可能存在静摩擦力
C．两物体间有摩擦力，不一定有弹力
D．滑动摩擦力的方向与物体的运动方向可以相同，也可以相反
重难点2：摩擦力的有无及方向的判断
1.判断摩擦力有无的三种常用方法
（1）条件法∶相互接触的两个物体之间需要有弹力、接触面粗糙且两物体之间有相对运动或相对运动趋势。
（2）假设法∶当物体的摩擦力不容易判断是否存在时，可以用假设的方法。如图所示，力F作用于B物体上，但A、B 都处于静止状态，判断A、B之间是否存在摩擦力?
假设A受到B施加的摩擦力，则A物体在水平方向只受该摩擦力，所以无法保持静止状态，则假设是不成立的，故A与B之间没有摩擦力。
（3）状态法∶如图所示，若力F拉着木板向右匀速运动，判断地面对木板是否存在摩擦力?
因为木板受到向右的拉力F，且处于匀速运动状态，则地面对木板一定有向左的摩擦力才能使木板受力平衡。
2.摩擦力的方向
（1）与接触面平行或相切;
（2）与相对运动（或相对运动趋势）方向相反.
【典例8】下列实例中对部分力的方向描述正确的是（ ）
A．甲图中，半圆面对杆有竖直向上的弹力FN1，地面对杆有竖直向上的弹力FN2
B．乙图中，篮球与地面发生相互作用时，地面对篮球有竖直向上的弹力FN
C．丙图中，物体A与水平传送带共同匀速向右运动，传送带对A有水平向右的摩擦力Ff
D．丁图中，物体A随斜传送带共同匀速上滑运动时，受到沿传送带向下的摩擦力Ff
【典例9】在图示的皮带传动装置中，A轮为主动轮，B轮为从动轮，箭头表示两轮的旋转方向。关于A、B两轮所受摩擦力的方向，下列说法正确的是（ ）
A．两轮所受摩擦力的方向和两轮转动方向相同
B．两轮所受摩擦力的方向和两轮转动方向相反
C．A轮受的摩擦力方向和A轮的转动方向相同，B轮受摩擦力的方向和B轮转动方向相反
D．A轮受的摩擦力方向和A轮的转动方向相反，B轮受摩擦力的方向和B轮转动方向相同
【典例10】如图所示，一质量为m=8kg的木块放在水平桌面上，在水平方向受到F1和F2作用而处于静止状态，其中F1=10N，F2=3N。已知木块与地面的动摩擦因数为0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。重力加速度大小取g=10m/s2，则木块在水平方向受到的摩擦力Ff下列说法正确的是（ ）
A．若撤去F1保留F2，则Ff=8N，方向向左
B．若撤去F1保留F2，则Ff=3N，方向向右
C．若撤去F2保留F1，则Ff=3N，方向向左
D．若撤去F2保留F1，则Ff=10N，方向向左
【典例11】如图所示，A、B、C三个物体叠放在水平地面上，物体B受到大小为20N，方向水平向右的力的作用，物体C受到大小为5N，方向水平向左的力的作用，三者均处于静止状态，则（ ）
A．物体B对物体A的摩擦力方向水平向右
B．地面与物体C之间的摩擦力大小为5N
C．物体C对物体B的摩擦力方向水平向左
D．地面与物体C之间无摩擦力
重难点3： 摩擦力大小的计算
计算摩擦力时，首先要判断摩擦力是静摩擦力还是滑动摩擦力，可以通过两物体间是存在相对运动还是存在相对运动趋势进行判断
1.静摩擦力的大小
（1）范围∶0＜f静≤fmax
（2）计算方法∶静摩擦力的大小通常要通过受力情况和平衡条件进行计算，随着使物体产生运动趋势的外力的变化而变化。
（3）最大静摩擦力fmax的值略大于滑动摩擦力的值，高中阶段为了计算方便，往往认为最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小。
2.滑动摩擦力的大小
公式∶。公式中FN为接触面受到的正压力，与物体的重力G是两种性质的力，大小和方向不一定相同.Ff与物体是否匀速运动、运动速度的大小、接触面积的大小无关，只与和FN有关。
3.摩擦力的突变问题
摩擦力的变化过程比较复杂，有时会涉及静摩擦力的大小变化、方向变化和静摩擦力与滑动摩擦力之间的转化，要根据题意正确判断摩擦力的变化情况。
【典例12】如图所示，滑块B置于水平地面上，滑块A在一水平力F作用下紧靠滑块B（A、B接触面竖直），此时B恰好不滑动，A刚好不下滑。已知A的质量为m，B的质量为M，A与B间的动摩擦因数为μ1，B与地面间的动摩擦因数为μ2，最大静摩擦力与滑动摩擦力视为相等。则下列表达式正确的是（ ）
A．F=μ2MgB．F=μ2mgC．μ1μ2=MM+mD．μ1μ2=mM+m
【典例13】如图所示，一位同学用双手水平夹起一摞书，并停留在空中。已知手掌与书间的动摩擦因数μ1=0.3，书与书间的动摩擦因数μ2=0.25，设最大静摩擦力的大小等于滑动摩擦力大小。若每本书的质量为0.2kg，该同学对书的水平正压力为100N，每本书均呈竖直静止状态，重力加速度g=10m/s2，则下列说法正确的是（ ）
A．他最多能夹住27本书
B．他最多能夹住30本书
C．每本书受到的摩擦力的合力大小不等
D．书与书之间的摩擦力大小均相等
【典例14】如图所示，已知mA=1 kg， mB=4 kg，原长为L0=5cm的弹簧与A栓连，弹簧此时的长度为L=8 cm，其劲度系数k=100N/m，A与B之间的动摩擦因数μ=0.5，重力加速度g=10 m/s2。
（1）求此时弹簧对A的弹力；
（2）现对B施加一水平向右的力，使B保持向右滑动，一段时间后A保持静止（并未从B上滑落），求此时A与B之间摩擦力f的大小和此时弹簧的长度。
【典例15】如图所示，质量分别为m1和m2的两物块叠放在一起，用细线跨过定滑轮相连，不计滑轮摩擦，细线都呈水平状态。已知m1与m2之间的动摩擦因数为μ1，m2与地面间动摩擦因数为μ2，为了使m1匀速向右运动，所需水平拉力F为多大?
重难点4：动摩擦因数的测定
方案一∶利用砝码和弹簧测力计，借助动态平衡法测量滑动摩擦力和动摩擦因数。
如图甲所示，向砝码盘内加减砝码，轻推铁块P，使其恰能在水平板B上向左匀速滑动，则铁块P处于平衡状态。用弹簧测力计测出P和砝码盘C（含砝码）受到的重力GP和GC，由平衡条件知FN=GP，P所受滑动摩擦力Ff =GC。可求出P、B间的动摩擦因数μ=。
方案二∶利用弹簧测力计借助动态平衡法测定动摩擦因数.如图乙所示，使木板静止在水平桌面上，用手通过弹簧测力计向右拉铁块P，使铁块P向右匀速运动，读出此时弹簧测力计的读数F，再用弹簧测力计测出铁块P的重力，由平衡条件可知FN =GP，且，Ff =F，所以μ=。
方案三∶利用弹簧测力计测木板A和木块B之间的动摩擦因数μ，实验装置如图丙所示.
在水平力F作用下，只要使木板A相对木块B滑动，就可由弹簧测力计的读数得到A、B间的滑动摩擦力Ff，再用弹簧测力计测出木块B的重力GB，根据竖直方向上二力平衡可知B受到A的支持力与B的重力GB大小相等、方向相反，根据μ=可求出动摩擦目μ。
这种方案的优点在于拉动木板A做匀速直线运动或变速直线运动都可以，只要木板A相对于上面的木块B滑动，则木块B就在木板A水平向右的滑动摩擦力和水平向左的弹簧测力计的拉力作用下处于平衡状态。
【典例16】（1）某同学在做“测定木板与木块间动摩擦因素”的实验时，设计了两种实验方案：
方案一：木板固定，用弹簧测力计拉动木块，如图（a）所示。
方案二：用弹簧测力计钩住木块，用力拉动木板，如图（b）所示。除了实验必须的弹簧测力计、木块、木板、细线外，该同学还准备了若干重量均为2.00N的砝码。
上述两种方案中，你认为更合理的方案是 ，理由是 。
（2）该同学在木块上加放砝码，改变木块对木板的压力，记录了5组实验数据，如表所示
请根据上述数据在坐标纸上（图（c）中）作出摩擦力f和砝码对木块的压力F的关系图像（以F为横坐标）。
图像不过原点的原因是 。由图像可知，木块的重力为 N。木块与木板间的动摩擦因数为 。
【典例17】在探究滑块与平板小车间的摩擦因数实验中，某同学设计了如下实验装置。如甲图所示，力传感器A与计算机相连，可获得力随时间变化的规律。将力传感器固定在水平桌面上，测力端通过细绳1与滑块相连，滑块放在较长平板小车右端，滑块的质量m=2kg，小车的质量为M。另一根细绳2跨过定滑轮，其一端连接小车，另一端系一只空沙桶，初始整个装置处于静止状态，（重力加速度取g=10m/s2）。
（1）t=0时刻开始缓慢向沙桶里倒入沙子，当小车刚开始运动时，立即停止倒沙子。传感器测得力的结果如图乙所示。则可求得滑块与小车间的动摩擦因数为μ= ；从图乙还可以看出本实验中滑块与小车间的最大静摩擦力为 N。
（2）实验时如果发现桌面粗糙，则你认为对求的μ有何影响 （填“偏大”、“偏小”或“不变”）；实验中 必须要保持水平（填“细绳1”、“细绳2”或“细绳1和2”）；小车开始运动后如果继续添加沙子，对实验是否有影响 （填“有影响”或“无影响”）。
一、单选题
1．如图所示，A、B、C三个物体质量相等，它们与传送带间的动摩擦因数相同。三个物体随传送带一起匀速运动，运动方向如图中箭头所示。则下列说法正确的是（ ）
A．三个物体受到的摩擦力均不为零
B．三个物体受到的摩擦力均为零
C．B、C受到的摩擦力方向相同
D．B、C受到的摩擦力方向相反
2．如图所示，质量为m的小物块，在水平恒力F的作用下紧贴在竖直墙壁上保持静止状态。自t1时刻起F随时间均匀减小，直至t2时刻减为零，重力加速度为g，关于小物块所受摩擦力Ff大小随时间t变化的图像，下列选项可能正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
3．下列关于摩擦力的说法，正确的是（ ）
A．有摩擦力存在时一定有弹力，有弹力存在时，不一定有摩擦力
B．运动的物体不可能受静摩擦力作用
C．相对静止的物体间，也可能存在摩擦力作用
D．静摩擦力总是阻力
4．质量为10kg的木箱静止在水平地板上，至少要用31N的水平推力，才能使它从原地开始运动。现将一水平推力F作用在木箱上，F随时间t变化的图线如图所示。已知木箱在4s∼6s时间内做匀速直线运动，重力加速度g取10m/s2。则下列说法正确的是（ ）
A．木箱与地板之间的动摩擦因数为0.3
B．0∼2s时间内木箱所受摩擦力大小为0
C．2s∼4s时间内木箱所受摩擦力大小为31N
D．4s∼6s时间内木箱所受摩擦力大小为30N
5．如图所示，水平地面上有重力分别为60N和50N的A、B两木块，它们之间夹有被拉长了2.5cm的轻质弹簧，已知弹簧的劲度系数k=500N/m，两木块与水平地面间的动摩擦因数均为0.25，系统处于静止状态。现用F=12.5N的水平力向右拉木块B，假设最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力，则力F作用后（ ）
A．弹簧的拉伸量随之变大
B．木块A所受摩擦力大小仍然为15N
C．木块B所受摩擦力突变为零
D．若改用F′=25N的水平力向右拉木块B，木块A所受摩擦力与力F作用下时相同
6．用水平F将木块压在竖直墙上，如图所示，已知木块重G=8N，木块与墙壁之间的动摩擦因数μ=0.25，以下说法正确的是（ ）
A．当F=0时，木块沿墙面下滑，木块受到的摩擦力为0
B．当F=10N时，木块沿墙面下滑，木块受到的摩擦力为2.5N
C．当F=24N时，木块没有动，木块受到的摩擦力为8N
D．当F变大时，木块受到的摩擦力也会一直变大
7．如图所示是皮带传动示意图，A是主动轮，B是从动轮，两轮水平放置，当皮带按图示方向传动时，重10N的物体随皮带一起匀速运动，若物体与皮带间的最大静摩擦力为5N，则（ ）
A．物体m受到的摩擦力方向向右，大小为5N
B．物体m受到的摩擦力为零
C．皮带上P点所受摩擦力方向向下
D．从动轮上Q点所受摩擦力方向向下
8．如图所示，一足够长的轻质绸带放在水平光滑桌面上，绸带上放A、B两物块，A物块质量大于 B物块，两物块同时分别受到反向等大逐渐增大的力作用，两物块与绸带间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等。下列说法正确的是（ ）。
A．两物块所受摩擦力的大小可能不相等
B．两物块不可能同时相对绸带滑动
C．A物块不可能相对绸带发生滑动
D．A物块所受摩擦力一定大于 B 物块所受摩擦力
三、实验题
9．某同学用如图甲所示的装置测量木块与木板之间的动摩擦因数。跨过光滑定滑轮的细线两端分别与放置在木板上的木块和弹簧测力计相连。
（1）下列说法正确的是 。
A．实验前，应先将弹簧测力计调零
B．实验时，木板一定要匀速向左拉出
C．实验时，细线与木板水平平行
D．实验时，拉木板的速度越大越好
（2）如图乙所示是某次实验中弹簧测力计示数放大图，木块受到的滑动摩擦力Ff= N。
（3）为进行多次实验，该同学采取了在木块上增加砝码个数的方法。若木块的质量为m0，砝码的总质量、木块与木板之间的动摩擦因数和重力加速度分别用m、μ和g来表示，则木块受到的滑动摩擦力Ff= （用题中所给物理量的字母表示）；测得多组数据后，该同学描绘的Ff−m图像如图丙所示，则他测得的动摩擦因数μ＝ （结果保留一位有效数字，取g=10m/s2）。
四、解答题
10．如图所示，A物体重力为50N，B物体重力为30N，力F竖直向下，A与水平面的动摩擦因数μ=0.5，其余摩擦不计，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求：
（1）当F=0时由静止释放B物体，A物体所受摩擦力的大小和方向。
（2）当F=20N时由静止释放B物体，A物体所受摩擦力的大小和方向
实验次数
1
2
3
4
O
砝码/个数
0
1
2
3
4
砝码对木块压力/N
0
2.00
4.00
6.00
8.00
测力计读数/N
1.50
2.00
2.50
2.90
3.50
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