2024年北京市中考数学一模考前调研试题

这是一份2024年北京市中考数学一模考前调研试题，共33页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．第19届亚运会即将在杭州举办，据官网消息杭州奥体中心体育场建筑总面积约为216000平方米，数据216000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
2．下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．B．
C．D．
4．如果，那么的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M和N，分别以M和N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE，以同样的方式作射线BF，AE和BF交于点O，则∠AOB的度数是（ ）
A．100°B．135°C．145°D．125°
6．如图为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道．若点与点的水平距离米，水平赛道米，赛道的坡角均为，则点的高为(
A．米B．米C．米D．米
7．我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，将矩形沿着、、翻折，使得点、、恰好都落在点处，小聪同学得出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是( )
A．①②③B．①③⑤C．①④⑤D．②③⑤
二、填空题
9．因式分解： ．
10．在一个不透明的塑料袋中装有红色、白色球共20个，除着色外其它都相同，小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在左右，则口袋中红色球可能有 个
11．方程的解为 ；
12．若点，，在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是 ．
13．某公司欲招聘一名职员．对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达等三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示：
如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是 ．
14．如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当取最大值时，点A的坐标为 ．

15．如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点C，则 ．
16．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=12，AD=10，点E是CD的中点．将这张纸片依次折叠两次；如图2，第一次折叠纸片使点A与点E重合，折痕为MN，连接ME、NE；如图3，第二次折叠纸片使点N与点E重合，点B落在处，折痕为HG，连接HE，则 ．
三、解答题
17．计算：．
18．解不等式组： ，并写出不等式组的所有整数解．
19．先化简，再求值：，其中．
20．某学校在推进新课改的过程中，开设的体育社团活动课有：A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了如图所示的两幅不完整的统计图．
(1)则该班的总人数为______人，其中学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数是______度；
(2)补全条形统计图；
(3)该班班委4人中，2人选修篮球，1人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中选2人了解他们对体育社团活动课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率．
21．如图，在平行四边形中，平分，点为边中点，过点作的垂线交于点，交延长线于点．
(1)连接，求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的长．
22．在平面直角坐标系中，一次函数的图象平行于直线，且经过点．
(1)求和的值；
(2)当时，对于的每一个值，一次函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围．
23．某校兴趣小组在学科实践活动中，从市场上销售的A，B两个品种的花生仁中各随机抽取30粒，测量其长轴长度，然后对测量数据进行了收集、整理和分析．下面是部分信息．
a．两种花生仁的长轴长度统计表：
b.两种花生仁的长轴长度的平均数、中位数、众数、方差如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)兴趣小组的同学在进行抽样时，以下操作正确的是_________（填序号）；
①从数量足够多的两种花生仁中挑取颗粒大的各30粒；
②将数量足够多的两种花生仁分别放在两个不透明的袋子中，摇匀后从中各取出30粒；
(2)写出a，b，c的值；
(3)学校食堂准备从A，B两个品种的花生仁中选购一批做配菜食材，根据菜品质量要求，花生仁大小要均匀，那么兴趣小组应向食堂推荐选购_____（填“A”或“B”）品种花生仁，理由是_______________________
24．图1是某种手机支架在水平桌面上放置的实物图，图2是其侧面的示意图，其中支杆，可绕支点C，B调节角度，DE为手机的支撑面，，支点A为DE的中点，且．
(1)若支杆BC与桌面的夹角，求支点B到桌面的距离；
(2)在（1）的条件下，若支杆BC与AB的夹角，求支撑面下端E到桌面的距离．（结果精确到1cm，参考数据：，，，，，）
25．如图，在中，以AB为直径作交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作于点G，交BA的延长线于点H．
(1)求证：直线HG是的切线；
(2)若，求CG的长．
26．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数的图象交于点A (1， 3)和点B (3， n)，与x轴交于点C，与y轴交于点D，
(1)求反比例函数的表达式及n的值；
(2)将△OCD沿直线AB翻折，点O落在第一象限内的点E处， EC与反比例函数的图象交于点F，
①请求出点F的坐标；
②在x轴上是否存在点P，使得△DPF是以DF为斜边的直角三角形?若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

27．如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为（单位：m）．

(1)求上边缘抛物线的函数解析式；
(2)此时，距喷水口水平距离为5.5米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到水？并写出你的判断过程；
(3)求出下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；
(4)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出的取值范围．
28．在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D、E和F分别是斜边AB、直角边AC和直角边BC上的动点，∠EDF=90°，
(1)如图1，若四边形DECF是正方形，求这个正方形的边长．
(2)如图2，若E点正好运动到C点，并且tan∠DCF=，求BF的长．
(3)如图3，当时，求的值
项目
应聘者
综合知识
工作经验
语言表达
甲
乙
丙
花生仁长轴长度（mm）
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
A品种花生仁粒数
5
10
6
7
2
0
0
0
0
0
B品种花生仁粒数
0
0
2
3
6
4
5
4
4
2
平均数
中位数
众数
方差
A品种花生仁
a
13.5
c
1.4
B品种花生仁
17.5
b
16
3.9
参考答案：
1．A
【分析】把一个大于10的数记成的形式，其中，n为正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．
【详解】解：根据科学记数法的概念可得，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示较大的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
2．A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．
3．D
【分析】根据题意可得，然后根据数的乘法和加法法则以及不等式的性质进行判断即可.
【详解】解：由题意可得：，所以，
∴，
观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的；
故选：D.
【点睛】本题考查了实数与数轴以及不等式的性质，正确理解题意、得出是解题的关键.
4．A
【分析】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
利用平行线的性质可得的度数，再利用平角定义可得的度数．
【详解】解：如图，
，
，
，
故选：A．
5．B
【分析】利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形，在根据角平分线的性质及三角形内角和即可求得答案．
【详解】解：，，，
，
为直角三角形，，
，
由题意得，
射线AE和射线BF分别为和的角平分线，
，，
，
，
故选B．
【点睛】本题考查了角平分线的作法、三角形内角和及利用勾股定理的逆定理，解题关键熟练掌握勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形及角平分线的性质．
6．A
【分析】延长AB交ED于F，得到平行四边形BCDF和直角△AEF，通过解直角三角形得出结果．
【详解】解：延长AB交ED于F，
∵BC∥DE，
∴∠AFE=，
∴∠CDF=∠BFE=，
∴BF∥CD，
∴四边形BCDF是平行四边形，
∴DF=BC=b，
∴EF=DE-DF=a-b，
在直角△AEF中，
∵tan∠AFE=，
∴AE=，
故选择A．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解决问题的关键是把实际问题转化为数学问题，即构造直角三角形．
7．A
【分析】根据“现在拿30斗谷子，共换了5斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：依题意，得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组和数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．B
【分析】由折叠的性质知，，点为的中点，点为的中点，设，在中，由勾股定理求得，然后利用勾股定理再求得，据此求解即可．
【详解】解：根据折叠的性质知，，
∴，
同理，
∴
∴；故①正确；
根据折叠的性质知，，
∴，即点为的中点，
同理可得点为的中点，
设，，则，
∴，
在中，，
即，
∴，
∴，故②不正确；
设，则，
在中，，
即，
∴，即，
，
∴，
∴；故③正确；
∴，
∴；故⑤正确；
∵与不一定相等，
∴不成立，故④不正确；
综上，正确的有①③⑤，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了折叠问题，相似三角形的判定，勾股定理，矩形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
9．
【分析】此题主要考查了提取公因式法与公式法的综合运用，正确运用平方差公式是解题关键．首先提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
10．3
【分析】设有红球有x个，利用频率约等于概率进行计算即可．
【详解】解：设红球有x个，
根据题意得：，
解得：，
即红色球的个数为3个，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了由频率估计概率，已知概率求数量的知识，解题的关键是了解大量重复实验中事件发生的频率等于事件发生的概率．
11．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：去分母得：，
去括号得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
12．
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【详解】∵点，，在反比例函数的图象上，
∴，，，
∵，
∴，
故答案为：．
13．乙
【分析】分别计算甲、乙、丙三名应聘者的成绩的加权平均数，比较大小即可求解．
【详解】解：，
，
，
∵
∴被录用的是乙，
故答案为：乙．
【点睛】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．
14．
【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，勾股定理，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最小值时点的位置．
由中知要使取得最大值，则需取得最大值，连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，据此求解可得．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵点、点关于原点对称，
∴，
∴，
若要使取得最大值，则需取得最大值，
连接，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，
过点作轴于点，

则、，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∴，
即点A的坐标为，
故答案为：．
15．
【分析】过点C作轴于点D，由题意易得，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解．
【详解】解：过点C作轴于点D，如图所示：

∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴点，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键．
16．
【分析】根据折叠的性质可知，是的中点，是斜边上的中线，故有，设，则，在中，由勾股定理得，可求 的值，如图，作，四边形是矩形，，有即，可求的值，进而可求的值，根据，求的值，进而可求的值．
【详解】解：由折叠的性质可知，，，，是线段的垂直平分线
∴，
∴
∴是的中点
∴是斜边上的中线
∴
∴
设，则
在中，由勾股定理得即
解得
∴
如图，作
∵
∴四边形是矩形
∵
∴
∴
∴即
解得
∴
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，折叠的性质，勾股定理，三角形相似，正切等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．
17．2
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】解：


．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18．1≤x＜4，不等式组的所有整数解为1，2，3．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可，进而即可得到整数解．
【详解】解：，
解不等式①，得x≥1；
解不等式②，得x＜4．
∴原不等式组的解集为1≤x＜4，
∴不等式组的所有整数解为1，2，3．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．，
【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后再将代入计算即可解答．
【详解】解：
．
当时，
原式．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质及其运算、分母有理化，正确的化简分式是解答本题的关键．
20．(1)50，72
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用“选A：篮球”的学生人数除以其所占的百分比即可求得该班学生的总人数，再利用学生选D“羽毛球”的人数除以总人数，再乘以，即可求得结果；
（2）利用选足球的学生的百分比乘以总人数求得选足球的人数，再利用总人数减去其他课程的人数求得选乒乓球的学生人数，即可补全条形统计图；
（3）画出树状图可得共有12种等可能的情况，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的情况有4种，再利用概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：由题意可得：该班的总人数为：（人），
学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数为：，
故答案为：50；72；
（2）解：由题意可得：
选“B：足球”的学生人数为：（人），
选“E：乒乓球”的学生人数为：（人）
补全条形统计图如下；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的情况有4种；
∴选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率为．
【点睛】本题考查用样本估计总体、画条形统计图、求扇形统计图的圆心角、用列表法或树状图求概率及概率公式，熟练掌握用列表法或树状图求概率及概率公式是解题的关键．
21．(1)见详解
(2)12
【分析】（1）首先根据平行四边形的性质和角平分线的定义证明，推导四边形为菱形，易知，进而证明，即可证明四边形是平行四边形；
（2）首先证明，，易得，在中，借助三角函数解得，然后根据“平行四边形对角线相互平分”的性质即可获得答案．
【详解】（1）证明：连接，交于点，如下图，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，
∴，
又∵，
∴，
∵，即，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）可知，四边形是平行四边形，，
∴，，
∴，
∵点为边中点，
∴，
∴在中，，即，
解得，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
22．(1)，
(2)
【分析】对于（1），先根据平行确定k，再将点代入计算得出答案；
对于（2），根据，再分情况讨论即可．
【详解】（1）∵一次函数的图像平行于，
∴一次函数的关系式为．
∵一次函数的图像经过点，
∴，
解得，
∴一次函数的关系式为；
（2）当时，一次函数的值大于函数的值，
∴，
即．
当时，对于任意x的每一个值都符合题意；
当时，，则，与相矛盾；
当时，，则，
，
解得，
∴．
【点睛】本题主要考查了求一次函数关系式，一次函数与不等式，一次函数的应用等，根据两直线平行得出函数关系式中的k值是解题的关键．
23．(1)②
(2)，，
(3)A，A的方差小于B的方差．
【分析】（1）抽样时应当尽量避免主观因素的影响据此即可解答；
（2）根据平均数、中位数、众数的定义求解即可；
（3）根据方差的意义即可解答．
【详解】（1）解：抽样时应当尽量避免主观因素的影响，则②符合题意．
故答案为②．
（2）解：A品种花生仁的平均数为：；
A品种花生仁的样本中13出现了10次，次数最多，则众数为；
B品种花生仁的样本有30个数据，从小到大排列处于中间为第15和第16的数据分别是17,18，则中位数为．
（3）解：由于菜品质量要求，花生仁大小要均匀，即数据波动小，方差小；因为A品种花生仁的方差1.4小于B品种花生仁的方差,则应选A．
故答案为：A，A的方差小于B的方差．
【点睛】本题主要考查了抽样调查、平均数、中位数、众数、方差等知识点，理解平均数、中位数、众数、方差的意义是解答本题的关键．
24．(1)B到桌面距离为；
(2)E到桌面距离大约为
【分析】（1）过B作于F ，则，代入数值即可求解；
（2）过A作于G，过B作于H，过E作于K，由，，求得，根据E到桌面的距离即可求解．
【详解】（1）过B作于F
则
∴
∴B到桌面距离为
（2）过A作于G，过B作于H，过E作于K
∵
∴
∵，
∴
∵，
∴，
∴
∴
答：E到桌面距离大约为
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接OD，利用三角形中位线的定义和性质可得，再利用平行线的性质即可证明；
（2）先通过平行线的性质得出，设，再通过解直角三角形求出半径长度，再利用三角形中位线定理和相似三角形的判定和性质分别求出BC，BG的长度，即可求解．
【详解】（1）连接OD，
，
，
∵D是AC的中点，AB为直径，
，
，
直线HG是的切线；
（2）由（1）得，
∴，
，
，
设，
，
，
在中，，
，
解得，
∴，
∵D是AC的中点，AB为直径，
，
，
，
，即，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，三角形中位线的性质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质及解直角三角形，熟练掌握知识点是解题的关键．
26．（1）；（2）① ；②存在，或
【分析】（1）把A （1，3）代入得到反比例函数的表达式为y=，把B（3，n）代入y=即可得到结论；
（2）①设直线AB的解析式为：y=kx+b，解方程组得到直线AB的解析式为y=-x+4，求得点C （4，0），点D（0，4），得到△COD是等腰直角三角形，推出四边形OCED是正方形，得到E（4，4），把x=4代入y=中即可得到结论；
②设点P（m，0），根据勾股定理得到DP2=m2+16，PF2=（4-m）2+（）2，FD2=16+（4-）2，列方程即可得到结论．
【详解】解：（1）∵直线AB与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A （1，3）和点B（3，n），
∴把A （1，3）代入y得，3，
∴k＝3，
∴反比例函数的表达式为y，
把B（3，n）代入y得，n1；
（2）①设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+4，
当y＝0时，x＝4，当x＝0时，y＝4，
∴点C （4，0），点D（0，4），
∴OC＝OD＝4，
∴△COD是等腰直角三角形，
∴∠ODC＝∠OCD＝45°，
∵将△OCD沿直线AB翻折，
∴四边形OCED是正方形，
∴DE＝CE＝4，
∴E（4，4），
把x＝4代入y中得，y，
∴F（4，）；
②存在，
理由：设点P（m，0），
∴DP2＝m2+16，PF2＝（4﹣m）2+（）2，FD2＝16+（4）2，
∵△DPF是以DF为斜边的直角三角形，
∴DP2+PF2＝FD2，
即m2+16+（4﹣m）2+（）2＝16+（4）2，
解得：m＝1或m＝3，
故在x轴上存在点P，使得△DPF是以DF为斜边的直角三角形，此时点P的坐标为 （1，0）或（3，0）．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．
27．(1)
(2)该行人会被洒水车淋到水，过程见解析
(3)
(4)
【分析】（1）由题意知，，，设上边缘抛物线的函数解析式为，待定系数法求解析式即可；
（2）将代入，解得，或（舍去），则，由，进行判断作答即可；
（3）由题意知，关于直线的对称点为，由下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可求的坐标；
（3）将代入解得，或（舍去），当时，要使，则，进而可求，由下边缘抛物线可得，，然后作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，，，
设上边缘抛物线的函数解析式为，
将代入得，，
解得，，
∴；
（2）解：将代入得，，整理得，，
解得，或（舍去），
∴，
∵，
∴该行人会被洒水车淋到水；
（3）解：由题意知，关于直线的对称点为，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴；
（4）解：将代入得，，整理得，，
解得，或（舍去），
∵当时，随的增大而减小，
∴当时，要使，则，
∴，
由下边缘抛物线可得，，
综上所述，．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数解析式，二次函数的平移．熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
28．(1)；
(2)1；
(3)
【分析】（1）设正方形的边长为x，则AE＝3－x，由正方形的性质，得DEBC，则AE：AC＝DE：BC，代入计算即可求解；
（2）过D点作DG⊥BC，垂足为G点，由tan∠DCF＝，得DG：CG＝1：2，设DG＝y，则CG＝2y，则BG＝4－2x，根据DGAC，得DG：AC＝BG：BC，代入即可求得x=1.2，从而求得BG＝4－2x＝1.6，再根据tan∠GDF =tan∠DCF＝，得，即可求得FG＝0.6，然后由FB＝BG－FG求解即可；
（3）过D点作DM⊥AC，垂足为M点，作DN⊥BC，垂足为N点，先由勾股定理求得AB=5，再证明Rt△DME∽Rt△DNF，得＝，由=，得=，设DM＝z，则DN＝2z，再由DMBC ，得DM：BC＝AM：AC＝AD：AB，即z：4＝（3－2z）：3 ，解得 z＝，所以：4＝AD：5 ，求得AD＝，BD＝5－＝，即可代入求解．
【详解】（1）解：∵四边形AOBC是的正方形，
∴DEBC，
∴AE：AC＝DE：BC
设正方形的边长为x，则AE＝3－x，
∴（3－x）：3＝x：4，
解得 x＝，
即这个正方形的边长为；
（2）解：过D点作DG⊥BC，垂足为G点，如图2，
∵tan∠DCF＝，
∴DG：CG＝1：2
设DG＝y，则CG＝2y，
∴BG＝4－2y，
∵DGAC，
∴DG：AC＝BG：BC，
∴y：3＝（4－2y）：4，解得 y＝1.2 ，
BG＝4－2y＝1.6，
∵∠EDF＝，
∴∠CDG＋∠GDF＝，
∵DG⊥BC，
∴∠CDG＋∠DCG＝，
∴∠GDF＝∠DCG，
∵tan∠DCF＝，
∴tan∠GDF＝，
∴，
∵DG＝1.2，
∴FG＝0.6，
∴FB＝BG－FG＝1.6－0.6 ＝1；
（3）解：过D点作DM⊥AC，垂足为M点，过D点作DN⊥BC，垂足为N点，如图3，
∵∠ACB＝，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
∵DM⊥AC，DN⊥BC，∠ACB＝，
∴∠MDN＝，
∴∠MDE＋∠EDN＝，
∵∠EDF＝，
∴∠FDN＋∠EDN＝，
∴∠MDE＝∠FDN，
∴Rt△DME∽Rt△DNF，
∴＝，
∵=，
∴=，
设DM＝z，则DN＝2z，
∵DMBC ，
∴DM：BC＝AM：AC＝AD：AB，
∴z：4＝（3－2z）：3 ，解得 z＝，
∴：4＝AD：5 ，
∴AD＝，BD＝5－＝，
∴＝．
【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形；熟练掌握相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
A
A
D
A
B
A
A
B