2024年广东省中考数学学业水平模拟试题（三）

这是一份2024年广东省中考数学学业水平模拟试题（三），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．一个数的相反数的倒数是，则这个数为（ ）
A．B．C．D．
2．如图是由一个长方体和一个三棱柱组成的几何体，则它的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知a与c互为相反数，且，那么下列关系式正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．寒假期间，小明和好朋友一起前往三亚旅游．他们租住的宾馆坐落在坡度为的斜坡上．宾馆高为129米．某天，小明在宾馆顶楼的海景房处向外看风景，发现宾馆前有一座雕像(雕像的高度忽略不计)，已知雕像距离海岸线的距离为260米，与宾馆的水平距离为36米，远处海面上一艘即将靠岸的轮船的俯角为．则轮船距离海岸线的距离的长为( )
(参考数据：，)
A．262米B．212米C．244米D．276米
7．如图，，为的两条弦，过点的切线交延长线于点，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形ABCD沿AC折叠，使点D落到点处，交AB于点F，则AF的长为（ ）
A．6B．5C．4D．3
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0；⑤（a+c）2＜b2．其中，正确结论的个数是（ ）

A．2B．3C．4D．5
10．如图，在等腰中，，顶点A为反比例函数（其中）图像上的一点，点B在x轴正半轴上，过点B作，交反比例函数的图像于点C，连接交于点D，若，，则的面积为（ ）
A．B．6C．D．5
二、填空题
11．美美在“阳光大课间”活动中进行了5次一分钟跳绳练习，所跳个数分别为：163，163，160，157，161．这组数据的众数为 ．
12．在实数范围内因式分解： ．
13．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
14．现从﹣2，﹣，3中，任取两个不同的数分别作为二次函数y＝ax2﹣2x＋b中的a和b，则所得抛物线与x轴有公共点的概率为 ．
15．如图，在矩形ABCD中，，，对角线AC、BD交于点O，以A为圆心，AB的长为半径画圆，交CD于点F，连接FO并延长交AB于M，连接AF；如图所示，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留）
三、解答题
16．计算：
(1)．
(2)．
17．解方程组：
(1)
(2)
18．2024年4月23日是第29个“世界读书日”，成都市某校组织读书征文比赛活动，评出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图．
请你根据图中信息解答下列问题：
(1)本次比赛获奖的总人数共有 人；扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数是 ；补全条形统计图；
(2)学校从甲、乙、丙、丁4位一等奖获得者中随机抽取2人参加“世界读书日”宣传活动，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率．
19．问题：探究函数的图象与性质．小华根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：
（1）在函数中，自变量可以是任意实数：
（2）下表是与的几组对应值．
①________；
②若，为该函数图象上不同的两点，则________；
（3）在下面的平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．并根据描出的点，画出该函数的图象：
根据函数图象可得：
①该函数的最小值为________；
②已知直线与函数的图象交于、两点，当时的取值范围是________．
20．如图，在平行四边形中，按下列步骤作图：
①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交于点N，交于点M；
②再分别以点M和点N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G；
③作射线交于F；
④作//交于E；
⑤连接交于点P；
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接CP，若，，，求的长．
21．某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示：
(1)试求出y关于x的函数表达式．
(2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？
22．如图，在等腰直角中，，，点E为的中点，，将线段绕点E顺时针旋转，连接、；点D为中点，连接，直线与直线交于点N．
(1)如图1，若，，求的长；
(2)连接并延长至点M，使，连接．
①如图2，若，求证：；
②如图3，当点G、F、B共线时，，连接，，请直接写出的值．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，其中A−4,0，，．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点为直线下方抛物线上一点，，当线段的长度最大时，求点的坐标；
(3)将沿直线平移，平移后的三角形为（其中点与点不重合），点是坐标平面内一点，若以，，，为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
…
1
0
－1
－2
－1
0
…
销售价格x（元/千克）
50
40
日销售量y（千克）
100
200
参考答案：
1．C
【分析】根据倒数的定义“乘积为1的两个数互为倒数”求出的倒数为，再根据相反数的定义“绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数”求出的相反数即可．
【详解】解：的倒数为，
的相反数为．
故选：C．
【点睛】本题考查相反数和倒数的定义．理解相反数和倒数的定义是解答本题的关键．
2．B
【分析】本题主要考查了立体图形的三视图，三视图是指主视图，俯视图，左视图，解答此题的关键是弄清三视图的定义．
主视图是指从正面看所得的图形，根据主视图的定义解答即可．
【详解】解：这个几何体的主视图是：
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式解析式写出顶点坐标即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：的顶点坐标是，
故选：．
4．D
【分析】根据同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、完全平方公式和幂的乘方的运算法则进行计算即可．
【详解】解：∵，故A不符合题意；
∵，故B不符合题意；
∵，故C不符合题意；
∵，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、完全平方公式和幂的乘方的运算法则，熟练掌握相关法则是解题的关键．
5．D
【分析】本题考查了相反数的定义，由相反数的定义得出，再逐项判断即可得出答案，熟练掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解此题的关键．
【详解】解：∵a与c互为相反数，且，
∴，
A、的结果不确定，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
6．B
【分析】如图，延长AB交ED的延长线于G，作CH⊥DG于H，CF⊥BG于F．求出DG，BG，根据tan27°=，构建方程解决问题即可．
【详解】解：如图，延长AB交ED的延长线于G，作CH⊥DG于H，CF⊥BG于F
在Rt△CDH中，
∵CD=260（米），CH：DH=1：2.4
∴CH=100(米)，DH=240(米)
在Rt△BCF中
∵CF=36米，BF：CF=1：2.4
∴BF=15(米)
∵四边形CFGH是矩形
∴HG=CF=36(米)，FG=CH=100(米)
∴DG=DH+HG=276(米)，AG=AB+BF+FG=244(米)
∵tan27°==0.5
∴=0.5
∴DE=212(米)
故选：B．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，掌握锐角三角函数的定义，添加合适的辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．
7．B
【分析】本题主要考查了切线的性质和圆周角定理．连接，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质即可求得．
【详解】解：连接，
与相切于，
，
，
，
，
，
故选：B．
8．B
【分析】由折叠可知AD＝A＝4，∠DCA＝∠CA，由矩形可得ABCD，进而得出∠DCA＝∠CAF，AF＝FC，设未知数，在直角三角形中由勾股定理求解即可．
【详解】解：由折叠可知AD＝＝4，∠DCA＝
∵四边形ABCD是矩形，
∴CDAB，
∴∠DCA＝∠CAF，
∴∠CAF＝∠FCA，
∴AF＝FC，
设AF＝x，则FC＝x，FB＝8﹣x，
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得x＝5，
即AF＝5，
故选：B．
【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，直角三角形的边角关系，理解翻折变换的性质、直角三角形的边角关系是解决问题的前提．
9．C
【分析】抛物线有两个交点，＞0，①正确；抛物线开口、对称轴和y轴的交点可以判断出a＞0，b＜0，c＜0，②正确；③中没有b，可以用对称轴，即b=-2a，替换掉b，把x=-2代入函数，可得8a+c＞0；③正确；④中a的系数为9，可以考虑到把x=3代入后得到，其对应的y值小于0，故④正确；考虑到⑤中出现两个平方，且系数都为1，把x=±1代入后相乘可得到（a+b+c）（a+b-c）=＞0，所以⑤正确．
【详解】解：抛物线与x轴有两个不同的交点，因此b2﹣4ac＞0，故①正确；
抛物线开口向上，因此a＞0，对称轴为x＝1＞0，a、b异号，因此b＜0，抛物线与y轴交在负半轴，因此c＜0，所以abc＞0，故②正确；
由图象可知，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，又对称轴x＝﹣＝1，即，b＝﹣2a，所以8a+c＞0，故③正确；
当x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，因此④正确；
当x＝1时，y＝a+b+c＜0，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，所以（a+b+c）（a﹣b+c）＞0，即（a+c）2﹣b2＞0，也就是（a+c）2＞b2，故⑤错误，
综上所述，正确结论有：①②③④
故选：C．
【点睛】本题考查了由二次函数的图像来确认系数的正负性及大小关系，这类题是中考的热点题，考生应多多总结．
10．C
【分析】过点A作轴于点H，交于点E，进而求出，而求出反比例函数的解析，根据易证，由相似三角形的性质求出，设，则，，进而求出面积即可．
【详解】解：过点A作轴于点H，交于点E，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
轴，轴，
，
，
，，
，
，，
设，则，，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练识记这些知识是解题的关键．
11．163
【分析】本题考查了求一组数据的众数，理解众数的定义是解题关键．根据众数是一组数据中出现次数最多的数值求解即可．
【详解】解：这组数据中出现次数最多的是163，出现了两次，
∴这组数据的众数为163，
故答案为：163．
12．
【分析】本题考查因式分解，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则，根据提公因式法和平方差公式进行因式分解，即可解题．
【详解】解：，
故答案为：．
13．
【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解即可．
【详解】解：若代数式有意义，则，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，分母不为零是解题的关键．
14．
【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，利用二次函数的性质，找出抛物线y＝ax2﹣2x＋b与x轴有公共点的个数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：﹣＝﹣0.5，＝0.5，根据题意画图如下：
，
共有12种等情况数，其中抛物线与x轴有公共点（4﹣4ab≥0，即ab≤1）的有10种情况，
则抛物线y＝ax2﹣2x＋b与x轴有公共点的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和画树状图求概率，准确计算是解题的关键．
15．
【分析】根据AB为半径的圆弧交CD于F，得出AF=AB=，根据四边形ABCD为矩形，得出∠ADF=90°，DC∥AB，DC=AB=，AO=CO，根据勾股定理DF=，可证△ADF为等腰直角三角形，得出∠BAF=∠DFA=45°，根据扇形面积公式求出S扇形ABF=，再求出S△AMF=即可．
【详解】解：∵AB为半径的圆弧交CD于F，
∴AF=AB=，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADF=90°，DC∥AB，DC=AB=，AO=CO，
∴DF=，
∴AD=DF=2，
∴△ADF为等腰直角三角形，
∴∠DFA=45°，
∴∠BAF=∠DFA=45°，
∴S扇形ABF=，
∵CF=DC-DF=，
∵DC∥AB，
∴∠FCO=∠MAO，
在△AOM和△COF中，
，
∴△AOM≌△COF（ASA），
∴AM=CF=，
∴S△AMF=，
∴S阴影=S扇形BAF-S△AMF=，
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，等腰直径三角形的判定，扇形面积，三角形全等判定与性质，三角形面积，掌握矩形的性质，等腰直径三角形的判定，扇形面积，三角形全等判定与性质，三角形面积是解题关键．
16．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了分式的加减乘除混合运算，实数的运算．
（1）原式利用零指数幂，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组．
（1）利用加减消元法进行计算即可；
（2）先将方程组整理成一般式，再利用加减消元法求解可得．
【详解】（1）解：，
，，
解得，
把代入①，，
解得，
∴原方程组的解是；
（2）解：，
化简方程组可得，，
得，，
解得，
将代入②，得，
∴方程组的解为．
18．(1)40；108°；统计图见解析
(2)
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联；列表法与树状图法；
（1）由一等奖人数及其所占百分比可得被调查的总人数，用360°乘以二等奖人数所占比例即可，根据40减去一、二等奖的人数得出三等奖的人数，进而补全统计图，即可求解；
（2）画出树状图得出所有等可能结果数，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）本次比赛获奖的总人数共有（人），
扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数是，
三等奖人数：（人）
统计图如图所示，
（2）树状图如图所示，
∵从四人中随机抽取两人有种等可能结果，恰好是甲和乙的有种可能，
∴抽取两人恰好是甲和乙的概率是．
19．（2）①1；②−10；（3）图象见解析；①-2；②或
【分析】（2）①把x＝3代入y＝|x|−2，即可求出m；②把y＝8代入y＝|x|−2，即可求出n；
（3）描点连线即可画出图象①根据该函数的图象即可求解；②在同一平面直角坐标系中画出的图象，根据图象即可求出时x的取值范围．
【详解】解：（2）①把x＝3代入y＝|x|−2，得m＝3−2＝1．
故答案为：1；
把y＝8代入y＝|x|−2，得8＝|x|−2，
解得x＝−10或10，
∵A（n，8），B（10，8）为该函数图象上不同的两点，
∴n＝−10．
故答案为：−10；
（3）该函数的图象如图，
①由图象可知，该函数的最小值为−2；
故答案为：−2；
②在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，如下图，
由图象可知，当时x的取值范围是：或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，利用了数形结合思想．正确画出函数的图象是解题的关键．
20．（1）见解析；（2）
【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AD∥BC，再证明四边形ABEF为平行四边形，由作法得BF平分∠ABE，即∠ABF=∠EBF，然后证明AB=AF，从而可判断平行四边形ABEF为菱形；
（2）过P点作PH⊥BC于H，如图，根据菱形的性质得到∠PBH=30°，BP⊥PE，BE=BA=8，然后利用含30度的直角三角形三边的关系进行计算．
【详解】解：（1）证明：四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
四边形为平行四边形，
由作法得平分，即，
，
，
，
，
平行四边形为菱形；
（2）解：过点作于，如图，
四边形是菱形，
，，，
在中，，
，
在中，，
，
，
．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质和菱形的判定与性质．
21．(1)
(2)销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，由表中数据即可得出结论；
（2）根据每日总利润=每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为．
将和分别代入，得：
，
解得：，
∴y关于x的函数表达式是：；
（2）解：，
∵，
∴当时，在的范围内，
W取到最大值，最大值是2250．
答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元．
【点睛】本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式．
22．(1)3
(2)①证明见解析 ②
【分析】（1）连接，过点E作于J．求出，再求出，即可得解；
（2）①连接，．先证明四边形是正方形，得出，设，则，求出，的长，即可得解；②可以假设，．则再求出，证明，即可得解．
【详解】（1）解：如图1中，连接，过点E作于J．
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：①如图2中，连接，．
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴E，G，N，F四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
②如图3中，
∵，
∴可以假设，．则，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、旋转变换，正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
23．(1)
(2)
(3)点的坐标为、、或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点作轴交于点，利用待定系数法求出直线的解析式为，设，，则，当时，最大，此时最大，即可求解；
（3）根据题意可设，得到，，，分三种情况讨论：①，②，③，即可求解．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于点A−4,0，点，
设抛物线解析式为，
抛物线过，
，
，
此抛物线解析式为；
（2）过点作轴交于点，如下图所示，
设直线的解析式为，
A−4,0，，
，
解得：，
直线的解析式为，
设，，
则，
，，
当时，最大，此时最大，
；
（3）根据题意可设，
A−4,0，，
，，，
①，即，
，，
，，
②，即，
，
，，
③，即，
（不合题意，舍去），
综上所述，满足条件的点坐标有、、或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，菱形的性质，平移的性质，解题的关键是灵活运用相关知识．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
D
D
D
B
B
B
C
C