冀教版（2024）八年级上册12.4 分式方程教案

这是一份冀教版（2024）八年级上册12.4 分式方程教案，共5页。

1.经历从实际问题中建立分式方程的过程,进一步体会模型思想,培养符号意识.
2.了解分式方程、分式方程的解和增根的概念.
3.会解可化为一元一次方程的分式方程(方程中的分式不超过两个),会检验根的合理性.
学习重点
理解分式方程、分式方程的解、分式方程的增根的概念.
学习难点
会解分式方程,会检验根的合理性.
课时活动设计
情境引入
小红家到学校的路程为38 km.小红从家去学校总是先乘公共汽车,下车后再步行2 km,才能到学校,路途所用时间是1 h.已知公共汽车的速度是小红步行速度的9倍,求小红步行的速度.
一起探究:1.上述问题中有哪些等量关系?
2.根据你所发现的等量关系,设未知数并列出方程.
让学生尝试解决问题,教师可给予点拨和引导.
解:1.问题中的等量关系为(1)小红乘公共汽车的时间+小红步行的时间=小红上学路上的时间;(2)公共汽车的速度=9×小红步行的速度.
2.如果设小红步行的速度为x km/h,那么公共汽车的速度为9x km/h,
根据等量关系(1),可得到方程38-29x+2x =1.
如果设小红步行的时间为x h,那么她乘公共汽车的时间为(1-x)h,根据等量关系(2),可得到方程38-21-x =9×2x.
设计意图:通过一个行程问题,引导学生从分析入手,找到题中的等量关系,培养学生的逻辑推理能力.列出含有未知数的式子表示有关的量,并进一步根据等量关系列出方程,为探索分式方程及分式方程的解法做准备.
探究新知
探究1 分式方程的概念
大家谈谈:上面得到的方程与我们已学过的方程有什么不同?这两个方程有哪些共同特点?
学生合作交流,并且尝试总结分式方程的概念.
解:我们以前学习的方程都是整式方程,它们的未知数不在分母中;
共同点:(1)方程中含有分母38-29x+2x=1.
(2)这些方程的分母中含有未知数.
结论:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
(1)分式方程的两个特点:①方程中含有分母;②分母中含有未知数.
(2)分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别,是区分分式方程和整式方程的依据.
(3)分式方程的分母中含有未知数,而不是一般的字母参数.
探究2 解分式方程
教师活动:教师引导学生分析.
解方程:9030+v = 6030-v.
解分式方程的步骤:
①转化为整式方程——去分母,等式两边同乘最简公分母⇨一化;
②得到整式方程,解方程——90(30-v)=60(30+v),v=6⇨二解;
③检验所得结果是否正确——将结果代入分式方程后,等号两边是否相等⇨三检验.
解:方程两边同乘(30+v)(30-v),
得90(30-v)=60(30+v).
整理,得150v=900.
解得v=6.
检验:将v=6代入原分式方程中,左边=52=右边,
因此v=6是原分式方程的解.
在这里使得分式方程等号两端相等的未知数的值叫做分式方程的解(也叫做分式方程的根).
归纳:解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程,具体做法是“去分母”即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.
设计意图:1.通过学生合作交流,总结归纳出分式方程的概念,培养学生抽象概括能力.2.让学生运用“转化”思想,把待解决或未解决的问题,通过转化,化归到已经解决或比较容易解决的问题中去,提高学生分析问题、解决问题的能力.
典例精讲
例 解方程:
(1)38-21-x = 9×2x; (2)38-29x+2x=1.
解:(1)方程两边同乘x(1-x),得36x=18(1-x).
解这个整式方程,得x=13.
经检验,x=13是原分式方程的解.
(2)方程两边同乘9x,得36+18=9x.
解这个整式方程,得x=6.
经检验,x=6是原分式方程的解.
注意:(1)解分式方程的基本思想是“化整”,即“化分式方程为整式方程”,而“化整”的关键是找最简公分母;
(2)解分式方程一定要注意验根,验根是解分式方程必不可少的步骤;
(3)在去分母时,方程两边同乘最简公分母,必须每一项都要乘,不能认为有分母的就要乘,没有分母的就不用乘,而是有几项就要乘几项,不能漏乘.
设计意图:通过例题,加强学生对解分式方程方法及易错点的掌握.
探究新知
下面是小华解方程x+1x-1 = x-31-x+1的过程:
方程两边同乘x-1,得x+1=-(x-3)+(x-1).
解这个整式方程,得x=1.
你认为x=1是方程x+1x-1 = x-31-x+1的解吗?为什么?
学生思考,小组合作交流.
解:不是,因为当x=1时,x-1=0,即这个分式方程的分母为0,方程中的分式无意义,所以x=1不是这个分式方程的解.
归纳:在解分式方程时,首先是通过去分母将分式方程转化为整式方程,并解这个整式方程,然后要将整式方程的根代入分式方程(或公分母)中检验.当分母的值不等于0时,这个整式方程的根就是分式方程的根;当分母的值为0时,分式方程无解,我们把这样的根叫做分式方程的增根.
分式方程的增根:①是整式方程的根;
②使分式方程的分母(或公分母)为0.
设计意图:引导学生思考为什么这样求出的方程的根不一定是分式方程的根,使学生进一步理解分式方程增根产生的原因和验根的方法.
巩固训练
解方程:2x+2 - 2-x2+x=3.
解:方程两边同乘x+2,得2-(2-x)=3(x+2).解这个整式方程,得x=-3.经检验,x=-3是原分式方程的解.
设计意图:进一步巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力.
课堂小结
本节课我们主要学习了哪些内容?与同学交流你的想法.
1.分式方程的概念:
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
2.解分式方程的一般步骤:
一化;二解;三检验.
3.分式方程的增根:
(1)分式方程有增根时的应用:①最简公分母为0,求增根;②将增根代入整式方程求其他参数.
(2)分式方程无解:①分式方程有增根;②化为的整式方程无解.
设计意图:通过小结,帮助学生理清知识脉络,同时明确本节课的学习目标,巩固学习效果.
课堂8分钟.
1.教材第20页习题A组第1,2题,习题B组.
2.七彩作业.
教学反思