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初中数学冀教版（2024）八年级上册第十四章 实数14.3 实数教学设计
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这是一份初中数学冀教版（2024）八年级上册第十四章 实数14.3 实数教学设计，共4页。
课时目标
1.通过对实际问题的探究,使学生认识到数的扩充的必要性.
2.通过经历从有理数扩充到实数的过程,了解无理数和实数,能正确地对实数进行分类,感悟数的扩充.
3.通过无理数和有理数的概念特征,能正确地识别无理数,提高辨析的能力.
学习重点
探索无理数的概念的过程、了解无理数和实数的概念.
学习难点
对无理数的认识.
课时活动设计
情境引入
如图1所示,在半透明纸上画一个两条直角边都是2 cm的直角三角形ABC,然后剪下这个三角形,再沿斜边上的高CD剪开后,拼成如图2所示的正方形.
(1)这个三角形的面积和拼成的正方形的面积是不是相等?面积是多少?
(2)如果设正方形的边长为x cm,那么x与这个正方形的面积有怎样的关系?
解:(1)相等.因为S△ABC=12×2×2=2(cm2),所以S正方形=2 cm2.
(2)根据题意,得x2=2.因为正方形的边长是整数,所以x是2的算术平方根,即x=2.
问题:2是一个什么样的数呢?
设计意图:通过实际问题的探究,前后知识得到了衔接,学生认识到数的扩充的必要性,为本节的学习作铺垫.
探究新知
1.初步感知
(1)2是整数吗?-3,-2,-1,0,1,2,3的平方等于2吗?你认为有平方后等于2的整数吗?
(2)2是分数吗?-53,-23,-13,-12,12,13,23,53的平方等于2吗?你认为有平方后等于2的分数吗?
(3)2会是有理数吗?
教师引导学生小组交流,使学生认识到:
(1)整数的平方是整数,没有平方后等于2的整数.
(2)分数的平方是分数,没有平方后等于2的分数.
(3)平方后等于2的数既不是整数,也不是分数,所以2不是以前熟悉的有理数.
想一想:2到底是什么样的数呢?
2.强化认识
借助计算机可以得到2=1.414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569….它是一个无限不循环小数.
我们早就认识的圆周率π,它也是一个无限不循环小数:
π=3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 1….
所以2和π都是无限不循环小数.
有理数包括整数和分数两部分,整数和分数都可以代成怎样的小数?
(1)整数可以写成小数形式,如-10=-10.0,-1=-1.0,0=0.0,50=50.0.
对于任意给定的一个整数,你能将它写成小数的形式吗?
(2)分数可以写成有限小数或无限循环小数,如-1100=-0.01,-35=-0.6,72=3.5,316=0.187 5,-13=-0.333 33…=-0.3·,23=0.666 66…=0.6·,722=0.318 18…=0.318··.
任意给定一个分数,你能将它写成有限小数或无限循环小数的形式吗?(可以借助计算器计算)
(3)有理数是不是总可以写成有限小数或无限循环小数的形式呢?
学生自主交流,讨论上面的问题,教师进行总结.
总结:任意有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式,反过来,有限小数或无限循环小数都是有理数.由此可见,无限不循环小数不是有理数.我们把无限不循环小数叫做无理数.
在这里要把握无理数的两个本质特征:首先是无限小数,并且是不循环的小数.所以2,33,π这些都是无理数.
无理数和有理数一样都是有正负的,无理数包括正无理数和负无理数.
我们把有理数和无理数统称为实数.
师生一起探究,实数可以怎么分类?学生组内讨论,教师归纳总结.
归纳总结:实数的分类.
实数有理数整数正整数0负整数分数正分数负分数有限小数或无限循环小数无理数正无理数负无理数无限不循环小数
实数还可以分为正实数、0、负实数.
实数正实数正有理数正无理数0负实数负有理数负无理数
设计意图:引导学生认识到有理数可以化成有限小数或无限循环小数的形式,使学生类比有理数的特点,总结出无理数的概念,了解数的扩充的必要性和实数的意义,并明确实数的分类,提高学生对实数的理解.
典例精讲
例 有下列各数,哪些数是有理数,哪些数是无理数?
13,-38,3.14,π,-2,39,0.101 001 000 1…(每两个1之间依次多一个0).
解:是有理数的有13,-38,3.14,是无理数的有π,-2,39,0.101 001 000 1…(每两个1之间依次多一个0).
设计意图:通过例题探究,充分理解有理数和无理数的区别,能够把新旧知识联系起来,建立起新的知识结构,增强学生探究与归纳能力,提升学生的数学素养.
课堂小结
学生小组内交流总结.
1.无理数的定义.
2.实数如何分类?
设计意图:通过小结,学生梳理本节课的内容,同学互帮互助,解决困惑,充分发挥学生的主体意识,提高学生的语言概括能力和发散思维能力.
课堂8分钟.
1.教材第71页练习第1,2题,习题A组第1,2题,第72页习题B组第1,2题.
2.七彩作业.
第1课时 实数的相关概念及分类
1.无理数的概念.
2.实数的分类.
实数有理数整数正整数0负整数分数正分数负分数有限小数或无限循环小数无理数正无理数负无理数无限不循环小数
实数还可以分为正实数、0、负实数.
实数正实数正有理数正无理数0负实数负有理数负无理数
教学反思
第2课时 实数的有关性质
课时目标
1.认识无理数存在的普遍性.
2.了解实数的意义,知道实数与数轴上的点是一一对应的.
3.理解实数的倒数、相反数、绝对值的意义.
学习重点
认识无理数存在的普遍性,知道实数与数轴上的点是一一对应的.
学习难点
理解实数与数轴上的点一一对应.
课时活动设计
回顾引入
我们知道,任意一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示,那么无理数能不能用数轴上的点来表示呢?
设计意图:使学生回顾有理数的知识点,用类比方法引出本节所学的内容.
探究新知
学生观察思考并回答问题,教师总结补充.
1.如图所示,将面积分别为2和3的两个正方形放置在数轴上,使得正方形的一个顶点和原点O重合,一条边恰好落在数轴正方向上,其另一个顶点分别为数轴上的点A和点B.
(1)线段OA,OB的长分别是多少?
(2)点A,B在数轴上对应的数分别是哪两个数?
2.如图所示,设一枚5角硬币的直径为1个单位长度,将这枚硬币放置在平面内一条数轴上,使硬币边缘上的一点P与原点O重合.让这枚硬币沿数轴的正方向无滑动滚动一周,这时点P转到数轴上点P'的位置.
(1)线段OP'的长是多少?
(2)在数轴上与点P'对应的数是哪个数?
实际上,1题中小正方形的边长是2,所以线段OA的长为2,与点A对应的数是2;同理,线段OB的长为3,与点B对应的数是3.第2题中线段OP'与的长等于π,与点P'对应的数是π.
教师提问:通过以上几个问题,你有什么发现?说说你的看法.
无理数和有理数一样,也可以用数轴上的点来表示.
教师归纳:每个有理数或无理数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的点表示的数是有理数或无理数.实数和数轴上的点是一一对应的.
解读“一一对应”:每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;数轴上的每一个点都表示一个实数.
设计意图:教师引导学生发现实数和数轴上的点是一一对应的.经过观察和思考,加深学生的理解,锻炼学生发现问题的能力和表达能力.
新知讲解
复习有理数的相反数、绝对值、倒数,类比有理数的有关意义,谈谈实数的相关意义.
有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义在实数范围内仍然有意义.
1.相反数:一个实数a的相反数是-a;互为相反数的两数的和为0.
2.绝对值:一个正实数的绝对值等于它本身;
一个负实数的绝对值等于它的相反数.
0的绝对值是0.
设a表示一个实数,则|a|=a(a≥0),-a(a<0).
3.倒数:乘积为1的两个实数互为倒数.a的倒数是1a(a≠0).
总结:实数是由有理数和无理数组成的,任意实数都有绝对值、相反数和倒数(0没有倒数),它们和有理数的绝对值、相反数和倒数的意义是一样的.
我们可对实数作如下分类:
实数有理数正有理数0负有理数无理数正无理数负无理数
设计意图:回顾有理数的相反数、绝对值、倒数,类比有理数思考实数的相关性质,发展学生的类比思维.
巩固训练
求下列各数的相反数、倒数、绝对值:
(1)-89;(2)17;(3)-9;(4)3-3;(5)3827;(6)-π.
解:(1)-89的相反数是89,倒数是-98,绝对值是89.
(2)17的相反数是-17,倒数是117,绝对值是17.
(3)-9的相反数是3,倒数是-13,绝对值是3.
(4)3-3相反数是33,倒数是-133,绝对值是33.
(5)3827的相反数是-23,倒数是32的绝对值是23.
(6)-π的相反数是π,倒数是-1π,绝对值是π.
设计意图:通过具体实例巩固实数的的相反数、倒数、绝对值.
课堂小结
组内交流,师生归纳.
(1)实数与数轴的关系.
(2)有理数的相反数、绝对值、倒数的概念.
设计意图:通过小结,学生梳理本节课的内容,同学互帮互助,解决困惑,充分发挥学生的主体意识,提高学生的语言概括能力和发散思维能力.
课堂8分钟.
1.教材第75页习题A组第1,2题,习题B组第1题.
2.七彩作业.
第2课时 实数的有关性质
1.实数与数轴的关系:
实数和数轴上的点是一一对应的.
2.实数的性质:
一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;
0的绝对值是0.
教学反思
第3课时 比较实数的大小
课时目标
1.能够对实数进行大小比较,提高学生逻辑思维能力和运算能力.
2.能利用有理数估计一个无理数的大致范围,培养学生的数感和运算能力.
学习重点
实数的大小比较,利用有理数估计一个无理数的大致范围.
学习难点
利用有理数估计一个无理数的大致范围.
课时活动设计
回顾引入
在七年级,我们学习了有理数的大小比较,请同学们回忆有理数的大小比较的方法,并独立完成以下题目.
1.数轴上的点A,B,C,D分别表示什么数?请把点A,B,C,D分别表示的数按照从小到大的顺序排列起来.
解:点A表示-4,点B表示-1,点C表示0,点D表示3.从小到大排列是-4<-1<0<3.
2.比较大小:
6 > 0;-3 < 0;2.5 > -100;-4 > -8.
总结:(1)数轴比较法.在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大.
(2)法则比较法.正数大于0,0大于负数,正数大于负数.两个负数比较,绝对值大的反而小.
思考:现在有理数扩充到了实数,那么两个实数该如何比较大小呢?
设计意图:通过实例让学生比较有理数的大小,可以帮助学生回忆有理数大小比较的方法,并且为学习新知识作铺垫,激发学生的学习欲望.
探究新知
利用数轴比较两个实数的大小
两个有理数可以通过数轴来比较大小,那么两个无理数是否也可以通过数轴来比较大小?
由两个正方形的面积(3和2)的大小,能不能得到它们边长(3和2)的大小?
让学生在数轴上表示3和2,展示作法.
如图,显然点A表示的数是2,点B表示的数是3,点B在点A的右边,所以3>2.
观察数轴上表示3和2的两点的位置,思考:
(1)3和2都位于哪两个整数之间?
(2)在整数1和2之间的无理数有多少?
学生通过观察明确任何一个无理数都在两个相邻整数之间,便于两个实数进行大小比较.
如果将面积分别为a和b(a>b)的两个正方形,按上图所示方式摆放,它们的边长a和b的大小关系是怎样的?
学生分小组交流、讨论,教师和学生一起总结.
总结:一般地,已知两个正数a和b,如果a>b,那么a>b;反过来,如果a>b,那么a>b.同样地,数轴上的两点,右边的点表示的数大于左边的点表示的数.
设计意图:通过类比有理数利用数轴比较大小的方法,让学生自己总结出比较实数大小的方法,提高学生的迁移应用能力.
典例精讲
例 请你根据如图所示的数轴上点的位置,将下列各数用“<”按从小到大的顺序排列起来:
-3,2,3,3,0,5,-8,-5.
解:-8<-5<-3<0<2<3<5<3.
设计意图:通过例题巩固新知,提高学生的应用能力.
探究新知
两个实数的大小比较,除了利用数轴比较之外,还有没有其他的方法?下面我们共同来研究这个问题.
例1 比较下列各组数中两个数的大小:
(1)223和7; (2)-10和-π.
分析:因为7是无理数,223化成小数后是无限循环小数.可借助计算器进行比较大小.
思考:如果不借助计算器,如何比较呢?请同学们交流讨论,师生共同给出解答过程.
当一个正有理数和一个正无理数直观上不好比较时,我们可以通过把它们分别平方,进行有理数的比较,再比较它们的大小.因为这两个数都是正数,我们可以通过比较它们的平方比较出这两个数的大小.我们把这种方法称为“平方法”.
总结:已知两个正数a和b,如果a>b,那么a2>b2;反过来,如果a2>b2,那么a>b.
两个负数相比较,绝对值大的反而小,首先我们应比较它们的绝对值的大小.
注意:1.两个负数相比较,首先应比较它们的绝对值,再根据绝对值大的反而小,比较两个负数的大小.2.对π这样的无限不循环小数,可以找一个和π接近的数做平方去比较.
解:(1)因为2232=832=649,(7)2=7=639,而649>639,
所以649>7.即223>7.
(2)因为(10)2=10,π2=(3.141 5…)2,而10>3.152>π2,
所以10>π.从而-10<-π.
例2 判断下列各实数在哪两个相邻的整数之间:
(1)5; (2)-23.
分析:(1)因为完全平方数的算术平方根为自然数,所以首先在5的左右两边找距离5最近的完全平方数4和9,然后依据被开方数越大,算术平方根越大,即可找到5在哪两个相邻的整数之间.(2)这是一个负无理数,我们可以先找-23的绝对值在哪两个相邻的整数之间,再依据不等式的性质可以得到结论.
解:(1)因为4<5<9,所以4<5<9.所以2<5<3,即5在2和3之间.
(2)因为0<23<1,所以0<23<1.
所以0<23<1.从而-1<-23<0,即-23在-1和0之间.
归纳:实数的大小比较常用的方法有(1)平方比较法;(2)数轴法;(3)倒数比较法;(4)估算法;(5)作差法;(6)用计算器计算结果比较法.
设计意图:通过例题,学生掌握比较实数的方法,除了利用数轴比较,还可以利用平方法等估计无理数的大小.培养学生对知识的灵活应用,增强学生思维的发散性.
典例精讲
例 比较下列各组数中两个数的大小:
(1)5和2; (2)5-1和1; (3)5-12和0.5.
解:(1)因为(5)2=5,22=4,5>4,所以5>2.
(2)两边都减1,得5-1>2-1,即5-1>1.
(3)两边都除以2,得5-12>12,即5-12>0.5.
设计意图:通过例题,学生掌握利用有理数估计实数大小的方法,熟练掌握比较实数大小的方法,提高学生的数学思维能力与计算能力.
课堂小结
1.类比有理数的大小比较,扩展到实数的大小比较:
“形”上,在数轴上的两点,右边的点表示的数大于左边的点表示的数.
“数”上,正数大于0,0大于负数,正数大于负数.两个负数比较,绝对值大的反而小.
两个实数的比较,可以采用“平方法”等比较大小.
2.用有理数估算一个无理数的大致范围,可以找距离被开方数最近的两个完全平方数,再利用不等式的性质估算出其范围.
设计意图:回顾本节课内容,掌握比较无理数大小的几种方法,归纳总结相关知识,提高学生总结归纳能力和综合运用能力.
课堂8分钟.
1.教材第78页练习第2,3题,习题A组第1,2,3题.
2.七彩作业.
教学反思
课时目标
1.通过对实际问题的探究,使学生认识到数的扩充的必要性.
2.通过经历从有理数扩充到实数的过程,了解无理数和实数,能正确地对实数进行分类,感悟数的扩充.
3.通过无理数和有理数的概念特征,能正确地识别无理数,提高辨析的能力.
学习重点
探索无理数的概念的过程、了解无理数和实数的概念.
学习难点
对无理数的认识.
课时活动设计
情境引入
如图1所示,在半透明纸上画一个两条直角边都是2 cm的直角三角形ABC,然后剪下这个三角形,再沿斜边上的高CD剪开后,拼成如图2所示的正方形.
(1)这个三角形的面积和拼成的正方形的面积是不是相等?面积是多少?
(2)如果设正方形的边长为x cm,那么x与这个正方形的面积有怎样的关系?
解:(1)相等.因为S△ABC=12×2×2=2(cm2),所以S正方形=2 cm2.
(2)根据题意,得x2=2.因为正方形的边长是整数,所以x是2的算术平方根,即x=2.
问题:2是一个什么样的数呢?
设计意图:通过实际问题的探究,前后知识得到了衔接,学生认识到数的扩充的必要性,为本节的学习作铺垫.
探究新知
1.初步感知
(1)2是整数吗?-3,-2,-1,0,1,2,3的平方等于2吗?你认为有平方后等于2的整数吗?
(2)2是分数吗?-53,-23,-13,-12,12,13,23,53的平方等于2吗?你认为有平方后等于2的分数吗?
(3)2会是有理数吗?
教师引导学生小组交流,使学生认识到:
(1)整数的平方是整数,没有平方后等于2的整数.
(2)分数的平方是分数,没有平方后等于2的分数.
(3)平方后等于2的数既不是整数,也不是分数,所以2不是以前熟悉的有理数.
想一想:2到底是什么样的数呢?
2.强化认识
借助计算机可以得到2=1.414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569….它是一个无限不循环小数.
我们早就认识的圆周率π,它也是一个无限不循环小数:
π=3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 1….
所以2和π都是无限不循环小数.
有理数包括整数和分数两部分,整数和分数都可以代成怎样的小数?
(1)整数可以写成小数形式,如-10=-10.0,-1=-1.0,0=0.0,50=50.0.
对于任意给定的一个整数,你能将它写成小数的形式吗?
(2)分数可以写成有限小数或无限循环小数,如-1100=-0.01,-35=-0.6,72=3.5,316=0.187 5,-13=-0.333 33…=-0.3·,23=0.666 66…=0.6·,722=0.318 18…=0.318··.
任意给定一个分数,你能将它写成有限小数或无限循环小数的形式吗?(可以借助计算器计算)
(3)有理数是不是总可以写成有限小数或无限循环小数的形式呢?
学生自主交流,讨论上面的问题,教师进行总结.
总结:任意有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式,反过来,有限小数或无限循环小数都是有理数.由此可见,无限不循环小数不是有理数.我们把无限不循环小数叫做无理数.
在这里要把握无理数的两个本质特征:首先是无限小数,并且是不循环的小数.所以2,33,π这些都是无理数.
无理数和有理数一样都是有正负的,无理数包括正无理数和负无理数.
我们把有理数和无理数统称为实数.
师生一起探究,实数可以怎么分类?学生组内讨论,教师归纳总结.
归纳总结:实数的分类.
实数有理数整数正整数0负整数分数正分数负分数有限小数或无限循环小数无理数正无理数负无理数无限不循环小数
实数还可以分为正实数、0、负实数.
实数正实数正有理数正无理数0负实数负有理数负无理数
设计意图:引导学生认识到有理数可以化成有限小数或无限循环小数的形式,使学生类比有理数的特点,总结出无理数的概念,了解数的扩充的必要性和实数的意义,并明确实数的分类,提高学生对实数的理解.
典例精讲
例 有下列各数,哪些数是有理数,哪些数是无理数?
13,-38,3.14,π,-2,39,0.101 001 000 1…(每两个1之间依次多一个0).
解:是有理数的有13,-38,3.14,是无理数的有π,-2,39,0.101 001 000 1…(每两个1之间依次多一个0).
设计意图:通过例题探究,充分理解有理数和无理数的区别,能够把新旧知识联系起来,建立起新的知识结构,增强学生探究与归纳能力,提升学生的数学素养.
课堂小结
学生小组内交流总结.
1.无理数的定义.
2.实数如何分类?
设计意图:通过小结,学生梳理本节课的内容,同学互帮互助,解决困惑,充分发挥学生的主体意识,提高学生的语言概括能力和发散思维能力.
课堂8分钟.
1.教材第71页练习第1,2题,习题A组第1,2题,第72页习题B组第1,2题.
2.七彩作业.
第1课时 实数的相关概念及分类
1.无理数的概念.
2.实数的分类.
实数有理数整数正整数0负整数分数正分数负分数有限小数或无限循环小数无理数正无理数负无理数无限不循环小数
实数还可以分为正实数、0、负实数.
实数正实数正有理数正无理数0负实数负有理数负无理数
教学反思
第2课时 实数的有关性质
课时目标
1.认识无理数存在的普遍性.
2.了解实数的意义,知道实数与数轴上的点是一一对应的.
3.理解实数的倒数、相反数、绝对值的意义.
学习重点
认识无理数存在的普遍性,知道实数与数轴上的点是一一对应的.
学习难点
理解实数与数轴上的点一一对应.
课时活动设计
回顾引入
我们知道,任意一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示,那么无理数能不能用数轴上的点来表示呢?
设计意图:使学生回顾有理数的知识点,用类比方法引出本节所学的内容.
探究新知
学生观察思考并回答问题,教师总结补充.
1.如图所示,将面积分别为2和3的两个正方形放置在数轴上,使得正方形的一个顶点和原点O重合,一条边恰好落在数轴正方向上,其另一个顶点分别为数轴上的点A和点B.
(1)线段OA,OB的长分别是多少?
(2)点A,B在数轴上对应的数分别是哪两个数?
2.如图所示,设一枚5角硬币的直径为1个单位长度,将这枚硬币放置在平面内一条数轴上,使硬币边缘上的一点P与原点O重合.让这枚硬币沿数轴的正方向无滑动滚动一周,这时点P转到数轴上点P'的位置.
(1)线段OP'的长是多少?
(2)在数轴上与点P'对应的数是哪个数?
实际上,1题中小正方形的边长是2,所以线段OA的长为2,与点A对应的数是2;同理,线段OB的长为3,与点B对应的数是3.第2题中线段OP'与的长等于π,与点P'对应的数是π.
教师提问:通过以上几个问题,你有什么发现?说说你的看法.
无理数和有理数一样,也可以用数轴上的点来表示.
教师归纳:每个有理数或无理数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的点表示的数是有理数或无理数.实数和数轴上的点是一一对应的.
解读“一一对应”:每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;数轴上的每一个点都表示一个实数.
设计意图:教师引导学生发现实数和数轴上的点是一一对应的.经过观察和思考,加深学生的理解,锻炼学生发现问题的能力和表达能力.
新知讲解
复习有理数的相反数、绝对值、倒数,类比有理数的有关意义,谈谈实数的相关意义.
有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义在实数范围内仍然有意义.
1.相反数:一个实数a的相反数是-a;互为相反数的两数的和为0.
2.绝对值:一个正实数的绝对值等于它本身;
一个负实数的绝对值等于它的相反数.
0的绝对值是0.
设a表示一个实数,则|a|=a(a≥0),-a(a<0).
3.倒数:乘积为1的两个实数互为倒数.a的倒数是1a(a≠0).
总结:实数是由有理数和无理数组成的,任意实数都有绝对值、相反数和倒数(0没有倒数),它们和有理数的绝对值、相反数和倒数的意义是一样的.
我们可对实数作如下分类:
实数有理数正有理数0负有理数无理数正无理数负无理数
设计意图:回顾有理数的相反数、绝对值、倒数,类比有理数思考实数的相关性质,发展学生的类比思维.
巩固训练
求下列各数的相反数、倒数、绝对值:
(1)-89;(2)17;(3)-9;(4)3-3;(5)3827;(6)-π.
解:(1)-89的相反数是89,倒数是-98,绝对值是89.
(2)17的相反数是-17,倒数是117,绝对值是17.
(3)-9的相反数是3,倒数是-13,绝对值是3.
(4)3-3相反数是33,倒数是-133,绝对值是33.
(5)3827的相反数是-23,倒数是32的绝对值是23.
(6)-π的相反数是π,倒数是-1π,绝对值是π.
设计意图:通过具体实例巩固实数的的相反数、倒数、绝对值.
课堂小结
组内交流,师生归纳.
(1)实数与数轴的关系.
(2)有理数的相反数、绝对值、倒数的概念.
设计意图:通过小结,学生梳理本节课的内容,同学互帮互助,解决困惑,充分发挥学生的主体意识,提高学生的语言概括能力和发散思维能力.
课堂8分钟.
1.教材第75页习题A组第1,2题,习题B组第1题.
2.七彩作业.
第2课时 实数的有关性质
1.实数与数轴的关系:
实数和数轴上的点是一一对应的.
2.实数的性质:
一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;
0的绝对值是0.
教学反思
第3课时 比较实数的大小
课时目标
1.能够对实数进行大小比较,提高学生逻辑思维能力和运算能力.
2.能利用有理数估计一个无理数的大致范围,培养学生的数感和运算能力.
学习重点
实数的大小比较,利用有理数估计一个无理数的大致范围.
学习难点
利用有理数估计一个无理数的大致范围.
课时活动设计
回顾引入
在七年级,我们学习了有理数的大小比较,请同学们回忆有理数的大小比较的方法,并独立完成以下题目.
1.数轴上的点A,B,C,D分别表示什么数?请把点A,B,C,D分别表示的数按照从小到大的顺序排列起来.
解:点A表示-4,点B表示-1,点C表示0,点D表示3.从小到大排列是-4<-1<0<3.
2.比较大小:
6 > 0;-3 < 0;2.5 > -100;-4 > -8.
总结:(1)数轴比较法.在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大.
(2)法则比较法.正数大于0,0大于负数,正数大于负数.两个负数比较,绝对值大的反而小.
思考:现在有理数扩充到了实数,那么两个实数该如何比较大小呢?
设计意图:通过实例让学生比较有理数的大小,可以帮助学生回忆有理数大小比较的方法,并且为学习新知识作铺垫,激发学生的学习欲望.
探究新知
利用数轴比较两个实数的大小
两个有理数可以通过数轴来比较大小,那么两个无理数是否也可以通过数轴来比较大小?
由两个正方形的面积(3和2)的大小,能不能得到它们边长(3和2)的大小?
让学生在数轴上表示3和2,展示作法.
如图,显然点A表示的数是2,点B表示的数是3,点B在点A的右边,所以3>2.
观察数轴上表示3和2的两点的位置,思考:
(1)3和2都位于哪两个整数之间?
(2)在整数1和2之间的无理数有多少?
学生通过观察明确任何一个无理数都在两个相邻整数之间,便于两个实数进行大小比较.
如果将面积分别为a和b(a>b)的两个正方形,按上图所示方式摆放,它们的边长a和b的大小关系是怎样的?
学生分小组交流、讨论,教师和学生一起总结.
总结:一般地,已知两个正数a和b,如果a>b,那么a>b;反过来,如果a>b,那么a>b.同样地,数轴上的两点,右边的点表示的数大于左边的点表示的数.
设计意图:通过类比有理数利用数轴比较大小的方法,让学生自己总结出比较实数大小的方法,提高学生的迁移应用能力.
典例精讲
例 请你根据如图所示的数轴上点的位置,将下列各数用“<”按从小到大的顺序排列起来:
-3,2,3,3,0,5,-8,-5.
解:-8<-5<-3<0<2<3<5<3.
设计意图:通过例题巩固新知,提高学生的应用能力.
探究新知
两个实数的大小比较,除了利用数轴比较之外,还有没有其他的方法?下面我们共同来研究这个问题.
例1 比较下列各组数中两个数的大小:
(1)223和7; (2)-10和-π.
分析:因为7是无理数,223化成小数后是无限循环小数.可借助计算器进行比较大小.
思考:如果不借助计算器,如何比较呢?请同学们交流讨论,师生共同给出解答过程.
当一个正有理数和一个正无理数直观上不好比较时,我们可以通过把它们分别平方,进行有理数的比较,再比较它们的大小.因为这两个数都是正数,我们可以通过比较它们的平方比较出这两个数的大小.我们把这种方法称为“平方法”.
总结:已知两个正数a和b,如果a>b,那么a2>b2;反过来,如果a2>b2,那么a>b.
两个负数相比较,绝对值大的反而小,首先我们应比较它们的绝对值的大小.
注意:1.两个负数相比较,首先应比较它们的绝对值,再根据绝对值大的反而小,比较两个负数的大小.2.对π这样的无限不循环小数,可以找一个和π接近的数做平方去比较.
解:(1)因为2232=832=649,(7)2=7=639,而649>639,
所以649>7.即223>7.
(2)因为(10)2=10,π2=(3.141 5…)2,而10>3.152>π2,
所以10>π.从而-10<-π.
例2 判断下列各实数在哪两个相邻的整数之间:
(1)5; (2)-23.
分析:(1)因为完全平方数的算术平方根为自然数,所以首先在5的左右两边找距离5最近的完全平方数4和9,然后依据被开方数越大,算术平方根越大,即可找到5在哪两个相邻的整数之间.(2)这是一个负无理数,我们可以先找-23的绝对值在哪两个相邻的整数之间,再依据不等式的性质可以得到结论.
解:(1)因为4<5<9,所以4<5<9.所以2<5<3,即5在2和3之间.
(2)因为0<23<1,所以0<23<1.
所以0<23<1.从而-1<-23<0,即-23在-1和0之间.
归纳:实数的大小比较常用的方法有(1)平方比较法;(2)数轴法;(3)倒数比较法;(4)估算法;(5)作差法;(6)用计算器计算结果比较法.
设计意图:通过例题,学生掌握比较实数的方法,除了利用数轴比较,还可以利用平方法等估计无理数的大小.培养学生对知识的灵活应用,增强学生思维的发散性.
典例精讲
例 比较下列各组数中两个数的大小:
(1)5和2; (2)5-1和1; (3)5-12和0.5.
解:(1)因为(5)2=5,22=4,5>4,所以5>2.
(2)两边都减1,得5-1>2-1,即5-1>1.
(3)两边都除以2,得5-12>12,即5-12>0.5.
设计意图:通过例题,学生掌握利用有理数估计实数大小的方法,熟练掌握比较实数大小的方法,提高学生的数学思维能力与计算能力.
课堂小结
1.类比有理数的大小比较,扩展到实数的大小比较:
“形”上,在数轴上的两点,右边的点表示的数大于左边的点表示的数.
“数”上,正数大于0,0大于负数,正数大于负数.两个负数比较,绝对值大的反而小.
两个实数的比较,可以采用“平方法”等比较大小.
2.用有理数估算一个无理数的大致范围,可以找距离被开方数最近的两个完全平方数,再利用不等式的性质估算出其范围.
设计意图:回顾本节课内容,掌握比较无理数大小的几种方法,归纳总结相关知识,提高学生总结归纳能力和综合运用能力.
课堂8分钟.
1.教材第78页练习第2,3题,习题A组第1,2,3题.
2.七彩作业.
教学反思
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