初中冀教版（2024）15.1 二次根式教案及反思

这是一份初中冀教版（2024）15.1 二次根式教案及反思，共10页。
课时目标
1.了解二次根式的概念,会识别二次根式.
2.了解a,(a)2,a2(其中a≥0)的意义.
3.理解二次根式的性质.
学习重点
二次根式的概念与性质.
学习难点
二次根式的性质的灵活应用.
课时活动设计
情境引入
学校要修建一个占地面积为S m2的圆形喷水池,它的半径应为多少米?如果在这个圆形喷水池的外围增加一个占地面积为a m2的环型绿化带,那么所成大圆的半径应为多少米?
解:设圆形喷水池的半径为r1 m,在圆形喷水池外围增加一个环型绿化带后所得大圆的半径为r2 m,
由题可知,πr12=S,∴r1=Sπ.
∵πr22-S=a,
∴r2=S+aπ.
设计意图:以计算圆的半径为切入点,引导学生产生学习二次根式的兴趣,激发学生的求知欲.
探究新知
1.(1)2,18,815,310的算术平方根是怎样表示的?
(2)非负数m,p+q,t2-1的算术平方根又是怎样表示的?
在上面的问题以及教学活动1中,我们得到了2,18,815,310,m,p+q,t2-1,Sπ,S+aπ等式子,上述式子有什么共同特征?
学生讨论,教师引导学生回答:都含有开方运算,并且被开方数都是非负数.
教师给出二次根式的概念:
一般地,我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式.
设计意图:让学生经历合作探究的过程,通过观察、发现、归纳得到二次根式的概念,培养学生发现问题、解决问题的能力.
探究新知
1.小亮和小颖对二次根式“a(a≥0)”分别有如下的观点.你认同小亮和小颖的观点吗?请举例说明.
小亮的观点:
因为a表示的是非负数a的算术平方根,所以,根据算术平方根的意义,有a≥0.
小颖的观点:
因为a表示的是非负数a的算术平方根,所以,根据算术平方根和被开方数的关系,有(a)2=a.
学生先独立思考,然后对小亮、小颖的观点展开交流.
2.计算a2(a≥0),并与大家交流你的结果.
教师引导学生进行讨论思考,给出二次根式的性质:
(1)a(a≥0)是一个非负数;
(2)(a)2=a(a≥0);
(3)a2=a(a≥0).
追问:根据以上性质可以很快得出22=2,那么(-2)2等于多少呢?
学生讨论,教师引导得出答案(-2)2=2,进而可以得到结论:
a2=a=a(a≥0),-a(a0时,ab2=ab,ab2=(a)2(b)2=ab,
所以ab=ab.
设计意图:通过一些具体数的开方运算,归纳、总结出二次根式的乘法和除法的一般运算规律,让学生感受知识的形成过程,培养学生严谨的科学态度.
归纳总结
二次根式的性质:
1.积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积,即
a·b=a·b(a≥0,b≥0).
2.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商,即
ab=ab(或a÷b=a÷b)(a≥0,b>0).
设计意图:加深对二次根式性质的理解和掌握.
典例精讲
例1 化简:
(1)54; (2)80; (3)758; (4)40.5.
解:(1)54=9×6=9×6=36.(2)80=16×5=16×5=45.
(3)758=15016=25×616=564.(4)40.5=812=1624=1624=81×22=922.
设计意图:例题起到承上启下的作用,既是上面性质的应用,也为下面引出最简二次根式作铺垫.
新知讲解
在例1中,观察每个小题化简前后被开方数的变化,请思考:
(1)化简前,被开方数是怎样的数?
(2)化简后,被开方数是怎样的数?它们还含有能开得尽方的因数吗?
学生讨论,教师引导得出结论:
一般地,如果一个二次根式满足下面两个条件,那么,我们把这样的二次根式叫做最简二次根式.
(1)被开方数的因数是整数,因式是整式;
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
如36,45,564,922,都是最简二次根式.
二次根式的化简过程就是将它化为最简二次根式的过程.
例2 化简:
(1)32; (2)40; (3)1.5; (4)43.
解:(1)32=16×2=42.(2)40=4×10=210.
(3)1.5=32=3×22×2=62.(4)43=4×33×3=233.
设计意图:通过观察与思考得出最简二次根式的概念,通过例题展示怎么对二次根式进行化简,让学生进一步理解最简二次根式的概念,体会二次根式的化简过程就是将它化为最简二次根式的过程.
巩固训练
1.有下列二次根式:5,13,-2a2b,x2+y2.其中是最简二次根式的有( B )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.在下列各式中,哪些是最简二次根式?哪些不是?对不是最简二次根式的进行化简.
(1)45; (2)13; (3)52; (4)0.5; (5)145.
解:(3)是最简二次根式,(1),(2),(4),(5)不是最简二次根式.
(1)45=35;(2)13=33;(4)0.5=12=22;(5)145=95=355.
设计意图:进一步巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力.
课堂小结
1.二次根式的性质:
(1)积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积,即
a·b=a·b(a≥0,b≥0).
(2)商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商,即
ab=ab(或a÷b=a÷b)(a≥0,b>0).
2.最简二次根式满足的两个条件为:
(1)被开方数的因数是整数,因式是整式;
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
设计意图:通过总结本节所学知识,加深学生对本节所学内容的理解和掌握,培养学生归纳、总结能力.
课堂8分钟.
1.教材第94页习题第1,2题.
2.七彩作业.
第2课时 二次根式的性质
1.二次根式的性质:
(1)积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积,即
a·b=a·b(a≥0,b≥0).
(2)商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商,即
ab=ab(或a÷b=a÷b)(a≥0,b>0).
2.最简二次根式满足的两个条件:
(1)被开方数的因数是整数,因式是整式;
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
教学反思