初中数学冀教版（2024）八年级上册第十七章 特殊三角形17.5 反证法教学设计

这是一份初中数学冀教版（2024）八年级上册第十七章 特殊三角形17.5 反证法教学设计，共6页。

1.通过实例体会反证法的含义.
2.掌握反证法证明命题的一般步骤,能用反证法进行简单的推理证明.
3.借助实例感受反证法的思想.
学习重点
从生活实例中体会反证法的方法步骤.
学习难点
能用反证法进行简单的推理证明.
课时活动设计
导入新课
在证明一些命题为真命题时,一般用直接证明的方法,但有时用间接的证明方法可能更方便.反证法就是一种常用的间接证明方法.
设计意图:开门见山,直接引出本节课所学.
探究新知
在第九章中,我们已经知道“一个三角形中最多有一个直角”这个结论.怎样证明它呢?
思考:该命题直接去证明,显然比较麻烦,所以,我们如何去证明呢?
学生初步说出解决问题的思路,假设有两个直角的时候,不满足三角形的内角和定理,此时,教师可做出示范,引出本节课所学内容.
已知:如图,△ABC.
求证:在△ABC中,如果它含直角,那么它只能有一个直角.
证明:假设在△ABC中,有两个(或三个)直角,不妨设∠A=∠B=90°.
∵∠A+∠B=180°,
∴∠A+∠B+∠C>180°.
这与“三角形的内角和等于180°”相矛盾.
因此,三角形有两个(或三个)直角的假设是不成立的.
所以,如果三角形含直角,那么它只能有一个直角.
设计意图:通过学生思考,教师规范过程,让学生初步感受反证法的一般过程.
归纳总结
同学们,观察老师的写题思路,上面的证明过程,是先假设原命题结论不正确,然后从这个假设出发,经过逐步推理论证,最后推出与学过的三角形内角和定理相矛盾的结果,因此,假设是错误的,原结论是正确的.
这种证明命题的方法叫做反证法.
现在你能总结反证法的一般思路吗?
学生思考,说出自己的想法,最后教师总结.
用反证法证明一个命题是真命题的一般步骤:
第一步,假设命题的结论不成立.
第二步,从这个假设和其他已知条件出发,经过推理论证,得出与学过的概念、基本事实,已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果.
第三步,由矛盾的结果,判定假设不成立,从而说明命题的结论是正确的.
设计意图:学生独立思考,加深学生对反证法的理解.
典例精讲
例1 用反证法证明平行线的性质定理一:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.
已知:如图,直线AB∥CD,直线EF分别与直线AB,CD交于点G,H,∠1和∠2是同位角.
求证:∠1=∠2.
思考:应该假设什么?
证明:假设∠1≠∠2.
过点G作直线MN,使得∠EGN=∠1.
∵∠EGN=∠1,∴MN∥CD(基本事实).
又∵AB∥CD(已知),
∴过点G有两条不同的直线AB和MN都与直线CD平行,
这与“经过已知直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾.
∴∠1≠∠2的假设是不成立的.
因此,∠1=∠2.
例2 用反证法证明直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.
已知:如图,在△ABC和△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AB=A'B',AC=A'C'.
求证:△ABC≌△A'B'C'.
证明:假设△ABC与△A'B'C'不全等,即BC≠B'C'.
不妨设BC在△ABC和△A'B'C'中,
∵AC=A'C',∠C=∠C',CB=C'D,
∴△ABC≌△A'DC'(SAS).
∴AB=A'D(全等三角形的对应边相等).
∵AB=A'B'(已知),
∴A'B'=A'D(等量代换).
∴∠B'=∠A'DB'(等边对等角).
∴∠A'DB'<90°(三角形的内角和定理),
即∠C'<∠A'DB'<90°(三角形的外角大于和它不相邻的内角).
这与∠C'=90°相矛盾.
因此,BC≠B'C'的假设不成立,即△ABC与△A'B'C'不全等的假设不成立.
所以,△ABC≌△A'B'C'.
设计意图:让学生利用反证法对以前的知识进行证明,加深学生对反证法的理解.
巩固训练
1.用反证法证明:
(1)如果a·b=0,那么a,b中至少有一个等于0.
(2)两条直线相交,有且只有一个交点.
证明:(1)假设a≠0且b≠0,则ab≠0,与ab=0相矛盾.
∴假设不成立.∴a=0或b=0.
(2)假设直线a与直线b相交没有交点或有两个及两个以上交点.
若直线a与直线b没有交点,则直线a与直线b平行,与两直线相交矛盾;
若直线a与直线b有两个及两个以上交点,根据两点确定一条直线,可知直线a与直线b重合,与两条直线相交矛盾,综上,假设不成立,所以直线a与直线b有且只有一个交点.
2.已知:直线a⊥b,直线c与b相交,且c与b不垂直.用反证法证明:a与c相交.
证明:假设直线a与c不相交,即a∥c.
∵a⊥b,a∥c,
∴b⊥c.
这与已知直线c与b不垂直相矛盾,
∴假设a与c不相交不成立.
∴a与c相交.
设计意图:学生通过习题的练习,能够熟练利用反证法解决问题.
课堂小结
反证法证明的一般步骤:
第一步,假设命题的结论不成立.
第二步,从这个假设和其他已知条件出发,经过推理论证,得出与学过的概念、基本事实,已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果.
第三步,由矛盾的结果,判定假设不成立,从而说明命题的结论是正确的.
设计意图:通过对本节课所学内容的归纳总结,加深学生对所学知识的理解和掌握,培养学生归纳、总结能力.
随堂小测
1.“aA.a≠b B.a>b C.a=b D.a=b或a>b
2.证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”,第一步应假设( B )
A.三角形中至少有一个直角或钝角
B.三角形中至少有两个直角或钝角
C.三角形中没有直角或钝角
D.三角形中三个角都是直角或钝角
3.用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”,应先假设这个三角形中( B )
A.有一个内角小于60°B.每一个内角都小于60°
C.有一个内角大于60°D.每一个内角都大于60°
4.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角,那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步是 假设如果一个三角形没有两个相等的角,那么这个三角形是等腰三角形 .
5.完成下列证明.在△ABC中,如果∠C是直角,那么∠B一定是锐角.
证明:假设结论不成立,则∠B是 直角 或 钝角 .
当∠B是 直角 时,则 ∠A+∠B+∠C>180° ,这与 三角形的内角和等于180° 矛盾;
当∠B是 钝角 时,则 ∠A+∠B+∠C>180° ,这与 三角形的内角和等于180° 矛盾.
综上所述,假设不成立.
∴如果∠C是直角,那么∠B一定是锐角.
设计意图:当堂训练,当堂检测,查漏补缺.
课堂8分钟.
1.教材第164页习题第1,2题.
2.七彩作业.
17.5 反证法
反证法证明的一般步骤:
第一步,假设命题的结论不成立.
第二步,从这个假设和其他已知条件出发,经过推理论证,得出与学过的概念、基本事实,已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果.
第三步,由矛盾的结果,判定假设不成立,从而说明命题的结论是正确的.
教学反思