冀教版（2024）八年级上册17.3 勾股定理教案

这是一份冀教版（2024）八年级上册17.3 勾股定理教案，共14页。
课时目标
1.理解如何用面积法证明勾股定理,并掌握勾股定理.
2.会初步应用勾股定理进行简单的计算.
学习重点
理解掌握勾股定理.
学习难点
会用勾股定理进行简单的计算.
课时活动设计
复习回顾
直角三角形的性质定理:
1.直角三角形的两个锐角互余.
2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
3.在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.
直角三角形的判定定理:
如果一个三角形的两个角互余,那么这个三角形是直角三角形.
本节课,我们接着研究直角三角形三边之间的关系.
设计意图:通过对上节课内容的复习,学生能熟练说出直角三角形的性质定理和判定定理,引出本节课所学内容.
探究新知
1.如图1,每个小方格都是边长为1的小正方形,在所围成的△ABC中,∠ACB=90°.图中以AC,BC,AB为边的正方形的面积分别是多少?这三个正方形的面积之间具有怎样的关系?
解:以AC为边的正方形的面积是9,以BC为边的正方形的面积是16,以AB为边的正方形的面积是25.以AC为边的正方形的面积与以BC为边的正方形的面积之和等于以AB为边的正方形的面积.
2.图2是用大小相同的两种颜色的正方形地砖铺成的地面示意图,∠ACB=90°.分别以AC,BC,AB为边的三个正方形(红色框标出)的面积之间有怎样的关系?
解:以AC为边的正方形的面积与以BC为边的正方形的面积之和等于以AB为边的正方形的面积.
3.如图3,在△ABC中,∠ACB=90°,请你猜想:分别以AC,BC,AB为边的三个正方形的面积之间也具有图1和图2中三个正方形的面积之间所具有的关系吗?如果具有这种关系,请用图3中Rt△ABC的边把这种关系表示出来.
解:具有,a2+b2=c2
学生组内合作,互相交流讨论,教师及时给予指导和点评.
通过探究可知:在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方.
猜想:如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
几何语言:如图,在Rt△ABC中,∵∠C=90°,
∴a2+b2=c2.
4.如何证明你的猜想呢?学生进行分组,让学生课前准备材料.
步骤如下:
(1)随意确定两条线段a,b;
(2)剪4个以a,b为直角边的直角三角形;
(3)用这4个直角三角形拼成一个正方形;
(4)思考:你拼的正方形中是否含有以斜边c为边的正方形?
(5)能否用拼出的图形说明a2+b2=c2?
小组合作,进行拼图,在黑板上将拼图粘贴进行演示说明.
5.展示成果:
图1证明:∵S大正方形=c2,S小正方形=(b-a)2,
∴S大正方形=4·S三角形+S小正方形,
∴c2=4×12ab+(b-a)2=a2+b2.
图2证明:∵S大正方形=(a+b)2,S小正方形=c2,
∴S大正方形=4·S三角形+S小正方形,
∴(a+b)2=4×12ab+c2,
∴a2+b2=c2.
设计意图:通过操作探究,初步得出结论,在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方,利用等面积的方法证明勾股定理,提高学生动手操作能力,培养学生合作交流意识.
归纳总结
如图,我国古代把直角三角形较短的直角边叫做“勾”,较长的直角边叫做“股”,斜边叫做“弦”.因此,直角三角形三边之间的关系称为勾股定理.
勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
也可以叙述为直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
几何语言:如图,在Rt△ABC中,∵∠C=90°,∴a2+b2=c2.
所以,知道直角三角形任意的两边长,就能求出第三边,勾股定理给我们提供了一个求三角形边长的方法.
设计意图:通过教师总结并规范几何语言,学生能够准确了解勾股定理.
巩固训练
1.在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)已知a=6,c=10,求b;
(2)已知a=40,b=9,求c.
解:(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,由勾股定理,可得b=c2-a2=102-62=8;
(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,由勾股定理,可得c=a2+b2=402+92=41.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,a?c=3?5,b=8,则a= 6 ,c= 10 .
3.在Rt△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,若a=3,b=4,则以c为边的正方形的面积为 25或7 .
4.求出下列各图中阴影部分的面积(单位:cm2).
图1阴影部分的面积为 1 cm2 ; 图2阴影部分的面积为 81 cm2 .
设计意图:学生通过练习习题,能够熟练利用勾股定理解决相关问题,提高学生解决问题的能力.
课堂小结
勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
设计意图:通过回顾本节课所学的知识,加深学生对本节课所学内容的理解,培养学生善于反思的习惯.
课堂8分钟.
1.教材第152页习题A组第2,3题,第153页习题B组第2题.
2.七彩作业.
第1课时 勾股定理
勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
几何语言:如图,在Rt△ABC中,∵∠C=90°,∴a2+b2=c2(勾股定理).
教学反思

第2课时 勾股定理的应用
课时目标
1.正确运用勾股定理解决简单的实际问题.
2.学会选择适当的数学模型解决实际问题.
3.发展运用数学的能力,根据已知条件构建模型,培养学生建模能力.
学习重点
能运用勾股定理解决简单的实际问题.
学习难点
能运用勾股定理解决简单的实际问题.
课时活动设计
复习回顾
勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
几何语言:如图,在Rt△ABC中,∵∠C=90°,∴a2+b2=c2(勾股定理).
设计意图:通过对上节课内容的复习,学生能熟练说出勾股定理的内容,为本节课利用勾股定理解决实际问题作铺垫.
典例精讲
例1 如图所示,为了测得湖边上点A和点C间的距离,一观测者在点B设立了一根标杆,使∠ACB=90°.测得AB=200 m,BC=160 m,根据测量结果,求点A和点C间的距离.
解:在△ABC中,∵∠ACB=90°,
∴AC2+BC2=AB2(勾股定理).
∵AB=200 m,BC=160 m,
∴AC=AB2-BC2=2002-1602=120(m).
答:点A和点C间的距离是120 m.
例2 如图是某厂房屋顶的三角架的示意图.已知AB=AC=17 m,AD⊥BC,垂足为D,AD=8 m,求BC的长.
解:在Rt△ABD中,
∵AB=17 m,AD=8 m,
∴BD2=AB2-AD2=172-82=225.
∴BD=15 m.
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BC=2BD=2×15=30(m).
设计意图:通过例题练习,学生能够熟练应用勾股定理解决实际问题,提高学生解决问题的能力.
巩固训练
1.如图所示,在长为50 mm,宽为40 mm的长方形零件上有两个圆孔,与孔中心A,B相关的数据如图所示.求孔中心A和B间的距离.
解:∵△ABC是直角三角形,
∴AB2=AC2+BC2.
∵AC=50-15-26=9(mm),BC=40-18-10=12(mm),
∴AB=AC2+BC2=92+122=15(mm)
答:孔中心A和B间的距离是15 mm.
2.如图,一架梯子搭在墙上,已知梯子每两根横木之间的距离(包括一根横木的宽在内)以及梯子下端到第一根横木的距离都是0.5 m,梯子下端A到墙脚B的距离是3 m.求墙高.
解:设墙高BC的高度为x m,
由题意,得AC的长度为0.5×10=5(m).
在Rt△ABC中,∠ABC=90°.
由勾股定理,得AB2+BC2=AC2,
即32+x2=52,解得x=4.
答:墙高4 m.
设计意图:把实际问题转化为利用勾股定理解直角三角形的数学问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.
当堂训练
1.如图,在△ABC中,AB=AC=12,BC=16.求△ABC的面积.
解:如图,过点A作AD⊥BC于点D,
∵AB=AC=12,BC=16,
∴BD=CD=12BC=12×16=8.
在Rt△ABD中,由勾股定理,得AD=AB2-BD2=122-82=45.
∴S△ABC=12BC·AD=12×16×45=325.
设计意图:新知识和旧知识相结合,促进了学生对教材内容的整体理解和把握,培养学生的核心素养.
课堂小结
本节课你有什么收获?和同伴交流一下.
设计意图:以提问的方式引导学生回顾本节课所学内容,加深学生对勾股定理的理解,培养学生数学应用意识,提高学生分析问题、解决问题的能力.
课堂8分钟.
1.教材第155页习题A组第2题,习题B组第1题.
2.七彩作业.
第2课时 勾股定理的应用
勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
教学反思

第3课时 勾股定理的逆定理
课时目标
1.理解并掌握勾股定理的逆定理.
2.体会勾股定理逆定理的探究和证明过程.
3.能够运用勾股定理的逆定理解决实际问题.
学习重点
理解并掌握勾股定理的逆定理.
学习难点
能够运用勾股定理的逆定理解决实际问题.
课时活动设计
复习回顾
勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
几何语言:如图,在Rt△ABC中,∵∠C=90°,∴a2+b2=c2(勾股定理).
那么,如果已知a2+b2=c2,能否说明∠C是直角呢?带着这个问题,我们开始今天的学习.
设计意图:通过对上节课内容的复习,学生能熟练说出勾股定理的内容,并直接引出本节课所学知识.
探究新知
在△ABC中,由边的关系a2+b2=c2,推导出∠C是直角较难做到.若作一个与△ABC全等的直角三角形,则可借助于全等的性质来说明∠C是直角.
本活动,让学生尝试把要证明的命题,用几何语言写出来.
已知:如图所示,在△ABC中,AB=c,BC=a,CA=b,且a2+b2=c2.
求证:∠C=90°.
证明:如图所示,作△A'B'C',使∠C'=90°,B'C'=a,C'A'=b,由勾股定理,可得A'B'2=a2+b2.
∵a2+b2=c2,
∴A'B'2=c2,即A'B'=c.
在△ABC和△A'B'C'中,
∵BC=B'C',AC=A'C',AB=A'B',
∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).
∴∠C=∠C'=90°(全等三角形的对应角相等).
所以,如果三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形,这是勾股定理的逆定理.
判断一个三角形是否是直角三角形,我们可以利用定义,也可以利用勾股定理逆定理.
那么,请同学思考:勾股定理和其逆定理有什么区别?两者应用的条件分别是什么?
同学们独立思考后,交换意见,最后教师总结.
勾股定理与其逆定理的关系:勾股定理是已知直角三角形,得到三边长的关系,它是直角三角形的重要性质之一;而勾股定理的逆定理是由三角形三边长的关系判断一个三角形是不是直角三角形,这是直角三角形的判定,也是判断两直线是否垂直的方法之一.二者的条件和结论刚好相反.
设计意图:通过证明,学生能够明白勾股定理逆定理的合理性,加深学生对勾股定理逆定理的理解,培养学生逆向思维.
典例精讲
例 如图,是一个机器零件的示意图,∠ACD=90°是这种零件合格的一项指标,现测得AB=4 cm,BC=3 cm,CD=12 cm,AD=13 cm,∠ABC=90°.根据这些条件,能否知道∠ACD=90°?
解:在△ABC中,∵∠ABC=90°,
∴AC2=AB2+BC2(勾股定理).
∵AB=4,BC=3,
∴AC2=32+42=52,∴AC=5.
在△ACD中,∵AC=5,CD=12,AD=13,
∴AC2+CD2=52+122=169,AD2=132=169.
∴AC2+CD2=AD2.
∴∠ACD=90°(勾股定理的逆定理).
所以,根据这些条件,能知道∠ACD=90°.
设计意图:学生通过练习例题,初步感受利用勾股定理的逆定理解决相关问题.
巩固训练
1.满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是( C )
A.三个内角比为1：2：1 B.三边之比为3：4：5
C.三边之比为2：3：4 D.三个内角比为1：2：3
2.有四个三角形分别满足下列条件:①三个内角之比为3?4?5;②其中一个内角等于另外两个内角和;③三边长分别是7,24,25;④三边之比为1?2?3;⑤其中两边的平方差等于第三边的平方.其中是直角三角形的有( B )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
3.已知三角形两边长为2和6,要使这个三角形为直角三角形,则第三边的平方为( C )
A.32 B.40 C.40或32 D.以上都不对
4.下列每组数分别是一个三角形三条边的长,请你判断哪一组数对应的三角形是直角三角形,并说明理由.
(1)0.5,1.2,1.3; (2)8,12,413; (3)4,5,6.
解:(1)这组数对应的三角形是直角三角形.因为0.52+1.22=1.69=1.32,由勾股定理的逆定理,可得这组数对应的三角形是直角三角形.
(2)这组数对应的三角形是直角三角形.因为82+122=208=(413)2,由勾股定理的逆定理,可得这组数对应的三角形是直角三角形.
(3)这组数对应的三角形不是直角三角形.因为42+52=41≠62,由勾股定理的逆定理,可得这组数对应的三角形不是直角三角形.
5.如图,已知在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积.
解:如图,连接AC.
在Rt△ABC中,∵∠B=90°,AB=4,BC=3,
∴AC=AB2+BC2=32+42=5(勾股定理).
∵AC2+DC2=52+122=169,AD2=132=169,
∴AC2+DC2=AD2.
∴∠ACD=90°(勾股定理的逆定理).
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12×4×3+12×5×12=36.
设计意图:学生通过习题的练习,能够熟练利用勾股定理及其逆定理解决相关问题.
课堂小结
勾股定理的逆定理:如果三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
设计意图:通过回顾本节课所学的知识,加深学生对本节课所学内容的理解,培养学生善于反思的习惯.
课堂8分钟.
1.教材第157页习题A组第2题,第158页习题B组第1,2题.
2.七彩作业.
第3课时 勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
教学反思