人教版（2024）九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程教案

这是一份人教版（2024）九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程教案，共28页。
21.2.1　配方法第1课时　直接开平方法 课时目标1.会利用直接开平方法解形如x2=p(p≥0)的方程;初步了解形如(x+n)2=p(p≥0)方程的解法;能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.2.通过对实例的探究过程,体会类比、转化、降次的数学思想方法.3.启发学生学会观察、分析,寻找解题的途径,提高他们分析问题、解决问题的能力. 学习重点应用直接开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的方程. 学习难点会把一个方程化成x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的形式. 课时活动设计知识回顾1.如果x2=a,那么x叫做a的　平方根　. 2.如果x2=a(a≥0),那么x=　±a　. 3.如果x2=64,那么x=　±8　. 4.如果2x2=18,那么x=　±3　. 思考:如果方程转化为x2=p,该如何解呢? 设计意图:通过复习旧的知识,引出对新知识的探究,达到衔接新旧知识的目的,为下面探究新知识打下基础.探究新知一桶油漆可刷的面积为1 500 dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?思考1:设其中一个盒子的棱长为x dm,则这个盒子的外表面面积为　6x2　dm2,10个这种盒子的外表面面积的和为　10×6x2　dm2,由此可得到方程为　10×6x2=1 500　.你能求出它的解吗? 解:设盒子的棱长为x dm,则10×6x2=1 500.整理,得x2=25.根据平方根的意义,得x=±5,即x1=5,x2=-5.可以验证,5和-5是原方程的两个根,因为棱长不能是负值,所以盒子的棱长为5 dm.思考2:对照上面解方程的过程,你认为应该怎样解方程(x+3)2=5呢?学生通过比较它与方程x2=25的异同,从而获得解一元二次方程的思路.在解方程时,由x2=25可得x=±5.类比此方法可解方程(x+3)2=5.解:由方程(x+3)2=5,①得x+3=±5,即x+3=5,或x+3=-5.②于是,方程(x+3)2=5的两个根为x1=-3+5,x2=-3-5.思考3:由方程①是如何得到方程②的?上面的解法中,由方程①得到②,实质上是把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程,这样就把方程①转化为我们会解的方程了.思考4:方程的左右两边满足什么形式时,利用平方根的意义,可以直接开平方解一元二次方程?一般地,对于方程x2=p,(1)当p>0时,根据平方根的意义,方程有两个不等的实数根x1=-p,x2=p;(2)当p=0时,方程有两个相等的实数根x1=x2=0;(3)当p0时,方程有两个不等的实数根x1=-p,x2=p;(2)当p=0时,方程有两个相等的实数根x1=x2=0;(3)当p0,即x+b2a=±b2-4ac2a,方程有两个不等的实数根x1=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4ac2a.②b2-4ac=0,4ac-b24a=0,方程有两个相等的实数根x1=x2=-b2a.③b2-4acb,则一次函数y=-kx+b的图象不经过第　一　象限. 5.若a,b是两个实数,定义一种运算“△”:a△b=a(a+b),则方程x△(x-1)=2x-1的实数根是　x1=1,x2=12　. 6.解方程:(1)x2+5x=0;　　　　　(2)2x(3x+1)-6(3x+1)=0.解:(1)x1=0,x2=-5;(2)x1=3,x2=-13. 设计意图:进一步对本节所学的知识点进行练习,当堂训练,当堂检测,查漏补缺.课堂8分钟.1.教材第14页练习第1,2题.2.七彩作业.21.2.3　因式分解法　　　1.情景呈现.2.因式分解法解方程的概念及步骤.3.用适当的方法解方程. 教学反思    *21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 课时目标1.掌握一元二次方程的根与系数的关系,会用一元二次方程的根与系数的关系进行简单计算.2.经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程,体现观察——发现——猜想——验证的思维转化过程,培养学生分析问题和解决问题的能力.3.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养数学意识. 学习重点掌握一元二次方程的根与系数的关系. 学习难点利用一元二次方程的根与系数的关系进行简单计算. 课时活动设计复习引入1.一元二次方程的解法有哪些?一元二次方程的求根公式是什么呢?解:配方法、公式法、因式分解法.x=-b±b2-4ac2a.2.思考:一元二次方程的根与系数之间的关系还有其他表现方式吗? 设计意图:通过循序渐进的方法,先复习一元二次方程的求根公式,引出根与系数之间的联系;结合思考,不仅可以引出本节所学知识,还抛出学生探究的新问题,为学习新知作铺垫.探究新知选用合适的方法求解下列一元二次方程,并将所得结果填入表格中,观察方程的系数与两根的和与积有什么联系?(1)(x-3)(x-4)=0;　　(2)x2-2x=0;　　(3)2x2+3x-2=0.　　观察方程的系数与两根的和与积有什么联系?把猜想的结果在小组内交流.教师引导学生得出根与系数之间关系,猜想:x1+x2=-ba,x1x2=ca.教师引导学生检验猜想是否正确.从因式分解可知,若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,或x-x2=0,那么方程(x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数).将方程化为x2+px+q=0的形式,你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗?把方程(x-x1)(x-x2)=0的左边展开,化为一般形式,即x2-(x1+x2)x+x1x2=0.这个方程的二次项系数为1,一次项系数p=-(x1+x2),常数项q=x1x2.于是,上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系:x1+x2=-p,x1x2=q.对于方程ax2+bx+c=0(a≠0)来说,二次项系数a未必是1,当Δ≥0时,该方程的两个根与它的系数之间有什么关系呢?(公式法证明)由求根公式可知,x1=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4ac2a.由此可得x1+x2=-b+b2-4ac2a+-b-b2-4ac2a=-2b2a=-ba.x1x2=-b+b2-4ac2a·-b-b2-4ac2a=(-b)2-(b2-4ac)24a2=4ac4a2=ca.即方程的两个根x1,x2和系数a,b,c的关系为x1+x2=-ba,x1x2=ca. 设计意图:教师引导学生通过观察、猜想、验证根与系数的关系,经历一元二次方程根与系数关系的推导过程,加深同学们对根与系数关系的理解.归纳总结一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1,x2,那么x1+x2=-ba,x1x2=ca.这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为:两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数,两个根的积等于常数项与二次项系数的比. 设计意图:形成一元二次方程的根与系数关系的符号语言和文字语言的表现方式.典例精讲例　根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程两个根x1,x2的和与积:(1)x2-6x-15=0;　　　　　　　　　(2)3x2+7x-9=0.解:(1)x1+x2=-ba=--61=-(-6)=6,x1x2=ca=-151=-15.(2)x1+x2=-ba=-73,x1x2=ca=3-9=-3. 设计意图:通过例题讲解,规范学生对解题步骤的书写,让学生感受数学的严谨性.拓展应用1.已知关于x的一元二次方程x2-3x-2=0的两个实数根分别为x1,x2,则x1x2+x1+x2的值为(　B　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.-1 B.1 C.5 D.-52.下列各项中,方程的两个根互为相反数的是(　B　)A.x2+1=0 B.x2-1=0 C.x2+x=0 D.x2-x=03.若x=-2是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根,则方程的另一个根及m的值分别是　0,0　. 4.若m,n是方程x2-x-2 022=0的两个实数根,则m2+m+2n的值为　2 024　. 5.设x1,x2是一元二次方程2x2-5x+1=0的两个根,利用根与系数的关系求(x1-3)(x2-3)的值.解:∵x1+x2=52,x1x2=12,∴(x1-3)(x2-3)=x1x2-3(x1+x2)+9=12-3×52+9=2.6.已知一元二次方程x2+2x-6=0的两个根x1,x2.(1)(x1+1)(x2+1)=　-7　; (2)x12+x22=　16　; (3)1x1+1x2= 13　; (4)|x1-x2|=　27　.  设计意图:应用提升,让学生体会知识的不同考法,既达到了知识的灵活应用,又提高了自身的解题能力.课堂小结一元二次方程的根与系数的关系都有哪些? 设计意图:通过小结,让学生回顾本节所学知识,使学生牢固的掌握本节所学内容.随堂小测1.a,b是关于x的一元二次方程x2-2x-5=0的两个实数根,则下列说法错误的是(　A　)A.a+b=-2 B.ab=-5 C.a2-2a=5 D.b2-2b=52.已知m,n是一元二次方程x2+2x-9=0的两个根,则m2+mn+2m的值为　0　. 3.已知关于x的方程x2-(2m-1)x+m2=0的两个实数根为x1,x2,若(x1+1)(x2+1)=3,则m的值为　1或-3　. 4.已知一元二次方程x2-2x+m=0.(1)若方程有两个实数根,求m的范围;(2)若方程的两个实数根为x1,x2,且x1+3x2=3,求m的值.解:(1)∵方程x2-2x+m=0有两个实数根,∴Δ=(-2)2-4m≥0,解得m≤1.(2)由两根关系知,x1+x2=2,x1x2=m,∴x1+x2=2,x1+3x2=3,解得x1=12,x2=32.∴m=x1x2=34. 设计意图:进一步对本节所学的知识点进行练习,当堂训练,当堂检测,查漏补缺.课堂8分钟.1.教材第16页练习,第17页习题21.2第7题.2.七彩作业.*21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系　　　1.探究一元二次方程的根与系数的关系.2.例题精讲. 教学反思    方程两根两根和x1+x2两根积x1x2x1x2(x-3)(x-4)=0　3　 　4　 　7　 　12　 x2-2x=0　2　 　0　 　2　 　0　 2x2+3x-2=0 12 　-2　 　-32　 　-1