冀教版（2024）九年级上册24.2 解一元二次方程教案

这是一份冀教版（2024）九年级上册24.2 解一元二次方程教案，共13页。
课时目标
1.了解配方法的概念,掌握运用配方法解一元二次方程的步骤.
2.经历探索利用配方法解一元二次方程的过程,体会转化、降次的数学思想方法.
3.通过对配方法的探究活动,培养学生勇于探索的学习精神,感受数学的严谨性,增强运算能力和推理能力.
学习重点
用配方法解一元二次方程.
学习难点
探索并掌握配方法的关键——添加常数项.
课时活动设计
复习导入
1.如果x2=a(a≥0),则x叫做a的平方根.
2.如果x2=a(a≥0),则x= ±a .
3.如果x2=64,则x=±8.
4.任何数都可以作为被开方数吗?
解:负数不可以作为被开放数.
设计意图:让学生回顾平方根的定义,引导学生体会理解求一个非负数的平方根实际上就是求x2=a(a≥0)这一特殊形式的一元二次方程的解.
探究新知
探究1 直接开平方法
根据平方根的意义,解下列方程:
(1)x2=4; (2)x2=0; (3)x2+1=0.
解:(1)x1=-2,x2=2.
(2)x1=x2=0.
(3)x2=-1.因为负数没有平方根,所以原方程无实数根.
问题1:上述方程有什么共同点?你能归纳一下这类方程的根的情况吗?
学生独立思考或小组交流,教师引导学生观察分析,上述方程均可写为x2=n的形式,并根据n的取值范围可以得到方程根的三种情况.
归纳:一般地,对于可化为方程x2=n的情况,
(1)当n>0时,根据平方根的意义,方程x2=n有两个不相等的实数根x1=-n,x2=n;
(2)当n=0时,根据平方根的意义,方程x2=n有两个相等的实数根x1=x2=0;
(3)当n0,则需对b2-4ac的值分情况讨论.
①当b2-4ac>0时,b2-4ac4a2>0,得x+b2a=±b2-4ac2a.
方程有两个不相等的实数根x1=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4ac2a.
②当b2-4ac=0时,b2-4ac4a2=0,得x+b2a2=0.
方程有两个相等的实数根x1=x2=-b2a.
③当b2-4ac0,
∴x=-(-2)±242×1=2±262,
即x1=1+6,x2=1-6.
设计意图:通过练习,熟悉并归纳公式法解题的一般过程,加深学生对于根的判别式和公式法的理解,培养学生解题能力及归纳总结能力.
方法归纳
用公式法解一元二次方程的一般步骤:
1.把方程化成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),并写出a,b,c的值;
2.求出b2-4ac的值,判断方程有无实数根;
3.若有实数根,代入求根公式x=-b±b2-4ac2a,求出方程的根.
设计意图:让学生归纳总结用公式法解一元二次方程的步骤,考查学生对知识的掌握程度,培养学生观察分析和归纳总结的能力.
课堂8分钟.
1.教材第42页习题A组第1,2题,习题B组第1,2题.
2.七彩作业.
教学反思

第3课时 因式分解法
课时目标
1.了解因式分解法解一元二次方程的概念,会用因式分解法解一元二次方程.
2.能根据一元二次方程的特征,灵活选用解一元二次方程的方法.
3.经历探索用因式分解法解一元二次方程的过程,发展合情推理的能力,体会转化、降次的思想方法.
学习重点
会用因式分解法解一元二次方程.
学习难点
能根据一元二次方程的特征,选择适当的方法解一元二次方程.
课时活动设计
复习导入
1.我们已经学过几种解一元二次方程的方法?
解:(1)直接开平方法x2=n(n≥0).
(2)配方法(x+m)2=n(n≥0).
(3)公式法x=-b±b2-4ac2a(b2-4ac≥0).
2.什么是因式分解?因式分解的方法有哪几种?
解:把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解,也叫做多项式分解因式.
方法有(1)提取公因式法am+bm+cm=m(a+b+c);
(2)公式法a2-b2=(a+b)(a-b);a2±2ab+b2=(a±b)2;
(3)十字相乘法x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).
设计意图:通过复习因式分解等有关知识,激发学生学习兴趣,为学习因式分解法解一元二次方程做好铺垫.
探究新知
对于方程x2-2x=0,除了可以用配方法或公式法求解,还可以怎样求解呢?
解一元二次方程的关键是将它转化为一元一次方程,因此,可将方程的左边分解因式.于是,得x(x-2)=0.所以,x=0,或x-2=0.方程x2-2x=0的两个根为x1=0,x2=2.
学生讨论分析,教师引导学生探索上述解方程的依据:利用因式分解使方程化为两个一次式乘积为0的形式,即如果a·b=0,那么a=0或b=0.
像这样,把一元二次方程的一边化为0,另一边分解成两个一次因式的乘积,进而转化为两个一元一次方程,从而求出原方程的根,这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
设计意图:在教师引导下观察方程的特点,感悟利用因式分解达到降次的目的,让学生经历因式分解法概念的形成过程,培养学生观察问题、分析问题及解决问题的能力.
典例精讲
例 用因式分解法解下列方程.
(1)2x2-5x=0; (2)3(x-1)2=2(x-1); (3)(x+5)2=49.
解:(1)原方程可化为x(2x-5)=0.
得x=0,或2x-5=0.
即x1=0,x2=52.
(2)原方程可化为3(x-1)2-2(x-1)=0,
(x-1)(3x-5)=0.
得x-1=0,或3x-5=0.
即x1=1,x2=53.
(3)原方程可化为(x+5)2-72=0,
(x+12)(x-2)=0.
得x+12=0,或x-2=0.
即x1=-12,x2=2.
设计意图:学生独立运用因式分解法完成方程的求解,进一步掌握用因式分解法解方程的步骤,体会转化、降次的数学思想方法及整体思想.
方法归纳
因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
1.方程的右边化为等于0的形式,左边因式分解为a·b的形式;
2.根据“如果a·b=0,那么a=0,或b=0”,转化为两个一元一次方程;
3.分别解两个一元一次方程,它们的根就是原方程的根.
设计意图:让学生养成提炼解题思路,归纳总结的能力.
合作探究
解一元二次方程的方法有哪几种?根据你的学习体会,谈谈解方程时如何选择适当的解法.
学生独立回答,并尝试比较说明各种方法所适用的方程类型.教师总结.
1.如果是特殊形式(x+a)2=b(b≥0),用直接开平方法;
2.二次项系数为1,一次项系数为偶数,常用配方法解方程;
3.方程系数无明显特点,考虑用公式法解方程;
4.能化为两个一次式乘积为0的形式的方程,用因式分解法解方程.
设计意图:让学生回顾解一元二次方程的常用方法,比较各种解法的异同,使学生明确各种解法的优缺点.及时巩固所学知识,增强学生学习的信心,培养灵活应用的数学思维.
巩固练习
用适当的方法解下列方程.
(1)(x+1)2=9;(2)x2-4x=6;(3)2x2-3x-1=0;(4)(x-1)2=(2x+1)2.
解:(1)原方程可化为(x+1)2-32=0,
(x+4)(x-2)=0.
得x+4=0,或x-2=0.即x1=-4,x2=2.
(2)配方,得x2-4x+22=6+22,即(x-2)2=10.
两边开平方,得x-2=±10.所以x1=2+10,x2=2-10.
(3)a=2,b=-3,c=-1.
∵b2-4ac=(-3)2-4×2×(-1)=17>0,∴x=-(-3)±172×2=3±174,
即x1=3+174,x2=3-174.
(4)原方程可化为(x-1)2-(2x+1)2=0,
3x(-x-2)=0.
得3x=0,或-x-2=0.即x1=0,x2=-2.
设计意图:通过习题,让学生选择适当的方法解一元二次方程,增强学生灵活运用的能力.
课堂8分钟.
1.教材第44页习题A组第1,2,3题,习题B组第1,2题.
2.七彩作业.
教学反思